17.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，系统梳理二次项系数为1和不为1时根与系数的关系原理，构建从定义理解到应用（判断根、求系数、代数式值等）的递进学习支架。 资料通过选择、填空、解答及材料阅读等多样题型设计，如第2题代数式值计算、第29题材料探究，培养学生运算能力与推理意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 题型1 根与系数的关系 ▉题型1 根与系数的关系 【知识点的认识】 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　） A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0 2．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 4．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 5．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 6．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3 7．已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一根是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 8．下列方程中两根之和为2的方程是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．3x2﹣6x+1＝0 D． 9．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　 　 ． 11．方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1•x2＝﹣4，则m＝ 　 　 ． 12．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝　 ． 13．若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　 　 ． 14．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）＝　 ． 15．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　 ． 16．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为0和﹣3，则p＝　 　 ．q＝　 　 ． 17．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝　 　 ． 18．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝ 　 ． 19．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　 ． 20．若a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则2a﹣ab+2b的值为　 　 ． 21．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是　 　 ． 22．已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 　 　 ． 23．已知实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则的值为 　 ． 24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　 ． 25．对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 　 ． 26．已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 ． 27．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是m，n，且m2+n2＝2，试求k的值． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）不解方程，说明此方程的根的情况； （2）设此方程的两个实数根分别是x1，x2，且满足，求m的值． 29．阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，． 材料2：已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝ 　 ． （2）类比探究：已知实数m、n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求的值． 30．材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则x＝a或x＝b，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：x1＝a，x2＝b． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝1． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为：x1＝　 ，x2＝　 　 ； （2）若方程的两个解为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的方程的两个解x1，x2满足，求t的值． 31．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ；x1•x2＝ 　 　 ； （2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值； （3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1•x2﹣3，求m的值． 32．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 33．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0的两个实数根． （1）当关于x的方程的一个根是x1＝﹣2时，求m的值； （2）当m＝1时，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 题型1 根与系数的关系 ▉题型1 根与系数的关系 【知识点的认识】 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　） A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0 【答案】C 【解答】解：∵关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣m＝0，解得m＝0； 又∵Δ＝m2﹣4n≥0， ∴n≤0， 故选：C． 2．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根， ∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024， ∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024， ∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024） ＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024） ＝mn ＝2024， 故选：C． 3．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1•x23． 故选：C． 4．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】C 【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的实数根， ∴m2+m﹣3＝0， ∴m2＝﹣m+3， ∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025， ∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1， ∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026． 故选：C． 5．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的根，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴x1•x2＝﹣3． 故选：B． 6．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+3＝0的二次项系数a＝1，常数项c＝3， ∴x1•x23． 故选：B． 7．已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一根是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：设方程x2+kx﹣2＝0的另一根是x＝t， 则有：﹣1•t＝﹣2， ∴t＝2． 故选：A． 8．下列方程中两根之和为2的方程是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．3x2﹣6x+1＝0 D． 【答案】C 【解答】解：在方程x2+2x+1＝0中，两根之和等于﹣2，故A不符合题意； 在方程x2﹣x+2＝0中，两根之和等于1，故B不符合题意； 在方程3x2﹣6x+1＝0中，两根之和等于2，故C符合题意； 在方程中，两根之和等于4，故D不符合题意， 故选：C． 9．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣m， ∵2x1＝x2， ∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1， ∴x2＝﹣2， ∴﹣m＝x1•x2＝2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣5＝0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：设方程的两个实数根为x1，x2， 则， ∴， 令2m2+16m+26＝44，即m2+8m﹣9＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣9， 由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝16m+36≥0， 即：， 综上所述：m＝1． 故答案为：1． 11．方程x2﹣mx+2m＝0的两个根为x1，x2．若x1•x2＝﹣4，则m＝ 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意可知：x1x2＝2m， ∵x1•x2＝﹣4， ∴2m＝﹣4，解得m＝﹣2 故答案为：﹣2． 12．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7， ∴x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，（2k+1）2﹣4k2≥0，即k， ∵x12+x22＝7， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k+1）2﹣2k2＝7， 整理得：2k2+4k﹣6＝0， 分解因式得：（2k+6）（k﹣1）＝0， 解得：k＝﹣3（不符合题意，舍去）或k＝1， 故答案为：1 13．若一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，则另一根为x＝　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m＝0有一个根为2，另一根为x1， ∴x1+2＝﹣4， 解得，x1＝﹣6， 故答案为：﹣6． 14．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝k， ∵x1x2+2x1+2x2＝1， ∴k+2×3＝1， 解得k＝﹣5， 又∵方程有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k， 综合以上可知实数k＝﹣5． 故答案为：﹣5． 16．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为0和﹣3，则p＝　﹣3　 ．q＝　0　 ． 【答案】﹣3；0 【解答】解：设关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根为x1、x2．则 x1+x2＝﹣3＝p，即p＝﹣3； x1•x2＝0＝q，即q＝0； 故答案为：﹣3、0． 17．一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β，则α+β+α•β＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝1的两根α、β， ∴α+β＝2；αβ＝﹣1． 则α+β+α•β＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 18．设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根，则a+b﹣ab＝　2015　 ． 【答案】2015． 【解答】解：∵设a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2018． ∴a+b﹣ab＝﹣3﹣（﹣2018）＝2015， 故答案为：2015． 19．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　2031　 ． 【答案】2031． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根， ∴，x1+x2＝﹣3， ∴． 所以的值为2031， 故答案为：2031． 20．若a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则2a﹣ab+2b的值为　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根， ∴ab＝﹣6，a+b＝2， ∴原式＝2（a+b）﹣ab＝2×2﹣（﹣6）＝4+6＝10， ∴值为10． 故答案为：10． 21．设x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝m． ∵x1+x2﹣x1x2＝3﹣m＝2， ∴m＝1． 故答案为1． 22．已知方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2， ∴x1+x23． 故答案为：3． 23．已知实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根， ∴a+b＝2，ab＝﹣3， ∴， 故答案为：． 24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2， ∴， ∵关于x的方程ax2+bx+2＝0是“邻近根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴， ∴， ∴， 整理得：b2＝a2+8a， ∴t＝b2﹣4a2 ＝a2+8a﹣4a2 ＝﹣3a2+8a ， ∵﹣3＜0， ∴， 故答案为：． 25．对于实数a，b，定义运算“a*b，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：由x2﹣8x+16＝0得x1＝x2＝4， 根据定义，x1*x2＝4*4＝4×4﹣42＝0， 故答案为：0． 26．已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两个根， ∴x1+x2，x1x2＝﹣2， ∴x1﹣x1 x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x22； 故答案为：． 27．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是m，n，且m2+n2＝2，试求k的值． 【答案】（1）k≤1；（2）k＝1． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0， ∴k≤1； （2）根据根与系数的关系可得m+n＝2，mn＝2k﹣1， 则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝22﹣2（2k﹣1） ＝4﹣4k+2 ＝6﹣4k， 由题意得6﹣4k＝2， 解得k＝1， ∵k≤1， ∴所求k＝1． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）不解方程，说明此方程的根的情况； （2）设此方程的两个实数根分别是x1，x2，且满足，求m的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根； （2）m的值为﹣2或1． 【解答】解：（1）在方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0中， c＝m2+m，a＝1，b＝﹣2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0， 即Δ＞0， 故方程有两个不相等的实数根． （2）∵此方程的两个实数根分别是x1，x2， ∴，， ∴， 即 ＝（2m+1）2﹣2（m2+m） ＝4m2+4m+1﹣2m2﹣2m ＝2m2+2m+1， 又∵， 得方程2m2+2m+1＝5， 化简得m2+m﹣2＝0， 解得m＝﹣2或m＝1． 29．阅读材料： 材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，． 材料2：已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值． 解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2＝　﹣2　 ，x1x2＝　　 ． （2）类比探究：已知实数m、n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．求的值． 【答案】（1）﹣2；；（2）；（3）﹣1． 【解答】解：（1），； 故答案为﹣2；； （2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n， ∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0， ∴m+n＝1，， ∴； （3）把t2+7t+7＝0变形为7•（）2+7•1＝0， 实数s和可看作方程7x2+7x+1＝0的两根， ∴s1，s•， ∴ ＝2s+7• ＝2（s）+7• ＝2×（﹣1）+7 ＝﹣1． 30．材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则x＝a或x＝b，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：x1＝a，x2＝b． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝1． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为：x1＝　﹣2　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）若方程的两个解为x1＝m，x2＝n，求的值； （3）若关于x的方程的两个解x1，x2满足，求t的值． 【答案】（1）﹣2，﹣4；（2）﹣14；（3）t． 【解答】解：（1）由题意，∵方程为， ∴x（﹣2）+（﹣4）． ∴方程的两个解为：x1＝﹣2，x2＝﹣4． 故答案为：﹣2，﹣4． （2）由题意，∵方程的两个解为x1＝m，x2＝n， ∴mn＝﹣2，m+n＝5． ∴ ＝﹣14． （3）由题意，∵方程为， ∴x+15t﹣5，即x+1t+4t﹣5． ∴x1+1＝t，x2+1＝4t﹣5或x1+1＝4t﹣5，x2+1＝t． ∴x1＝t﹣1，x2＝4t﹣6或x1＝4t﹣6，x2＝t﹣1． ∴2x1+x2＝2（t﹣1）+4t﹣6＝6t﹣8或2x1+x2＝2（4t﹣6）+t﹣1＝9t﹣13． 又∵， ∴6t﹣8或9t﹣13． ∴t或t． 又∵t，x2+1＝4t﹣5＝0， ∴不合题意． 综上，t． 31．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣1）×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝ 　6　 ；x1•x2＝ 　﹣15　 ； （2）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，求的值； （3）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0的两个实数根且x1+x2＝x1•x2﹣3，求m的值． 【答案】（1）6，﹣15； （2）4； （3）3． 【解答】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝6；x1•x2＝﹣15； 故答案为：6，﹣15； （2）根据根与系数的关系得x1+x22，x1•x2， 所以4； （3）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+1， ∵x1+x2＝x1•x2﹣3， ∴2m+1＝m2+1﹣3， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∵m， ∴m的值为3． 32．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）k≤2； （2）k＝2． 【解答】解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0， 解得k≤2； （2）由根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，x2x1+k﹣1＝0， ∴x2x1﹣k+1， ∵， ∴， ∴， 解得k＝2或5， 由（1）知k≤2，则k＝2． 33．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0的两个实数根． （1）当关于x的方程的一个根是x1＝﹣2时，求m的值； （2）当m＝1时，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）3． 【解答】解：（1）将x＝﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣m×（﹣2）﹣1＝0， 解得：m， ∴m的值为； （2）当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣1＝0， ∵x1，x2是关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12﹣2×（﹣1）＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $