17.2 一元二次方程的解法 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦一元二次方程的解法这一核心知识点，系统梳理配方法、公式法、因式分解法的原理与步骤。从配方法的完全平方变形，到公式法的求根公式推导，再到因式分解法的降次转化，构建从基础原理到实际应用的学习支架。 资料以知识点讲解配合分层练习题，培养学生运算能力与推理意识。如配方法明确五步步骤并配选择、解答题，助学生理解推理过程。课中辅助教师系统授课，课后通过多样化练习助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

第17章 17.2 一元二次方程的解法 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法 题型3 解一元二次方程-因式分解法 ▉题型1 解一元二次方程-配方法 【知识点的认识】 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣4）2＝13 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣8）2＝67 2．若用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程变形为（　　） A． B． C．（2x﹣1）2＝1 D． 3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　） A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15 4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+4＝0，配方的结果是（　　） A．（x+4）2＝18 B．（x﹣4）2＝12 C．（x+4）2＝12 D．（x﹣4）2＝4 5．解方程：3x2﹣10x+6＝0（配方法）． 6．（1）x2+6x＝﹣4； （2）． 7．计算： （1）（x+3）2﹣36＝0； （2）x2+2x＝5； （3）． 8．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 9．计算：（1）； 解方程：（2）2x2+4x﹣5＝0． 10．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 11．（1）计算：||； （2）解方程：x2﹣6x+4＝0． ▉题型2 解一元二次方程-公式法 【知识点的认识】 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 12．当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2时，代数式的值是 　 　 ． 13．若a＝1，b＝10，c＝﹣15，求代数式的值． 14．根据下列条件，求代数式的值． （1）a＝1，b＝8，c＝﹣4； （2）a＝3，b＝﹣6，c＝2． 15．解方程： （1）（2x﹣3）2＝49； （2）x2﹣5x+3＝0． 16．解方程： （1）2x2+3x﹣1＝0；（配方法） （2）2x2﹣1＝x（x+3）． 17．（1）． （2）． （3）； （4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1． 18．解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 19．（1）解分式方程：； （2）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0． 20．（1）化简：； （2）解不等式组：； （3）解分式方程：； （4）解方程：2x2＝2x+1． 21．按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中． ▉题型3 解一元二次方程-因式分解法 【知识点的认识】 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 22．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　） A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2 23．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2 24．方程x（x﹣2）＝0的根为（　　） A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 25．方程x2﹣x＝0的解为 ． 26．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为　 　 ． 27．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　 　 ． 28．解下列方程： （1）6（x﹣1）2﹣54＝0；（用直接开方法） （2）9x2﹣（x﹣1）2＝0；（用因式分解法） （3）x2+6x+1＝0；（用配方法） （4）2y2+8y﹣1＝0．（用公式法） 29．解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3x2﹣6x﹣2＝0． 30．适当的方法解方程： （1）3x2+2x﹣1＝0； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0． 31．计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 32．解下列一元二次方程： （1）（x+1）2＝4； （2）2x2﹣7x+3＝0． 33．（1）解方程：（3x﹣1）2＝49； （2）解方程：3x2+4x﹣7＝0； （3）计算：． （4）解方程：． 34．解下列关于x的方程． （1）6x（x﹣1）＝x﹣1； （2）3x2﹣2x＝x2+x+1． 35．（1）计算：； （2）解方程：（x﹣1）（x+7）＝2x+14． 36．用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 37．（1）分解因式x3﹣4x2+4x； （2）解不等式组； （3）解方程：； （4）解方程：x2﹣5x﹣1＝0． 38．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣x﹣6＝0． 39．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）用配方法解：2x2+3x﹣5＝0． 40．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如： ①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）； ②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）； 材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4； ②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5． 41．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.2 一元二次方程的解法 题型1 解一元二次方程-配方法 题型2 解一元二次方程-公式法 题型3 解一元二次方程-因式分解法 ▉题型1 解一元二次方程-配方法 【知识点的认识】 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣4）2＝13 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣8）2＝67 【答案】A 【解答】解：x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣8x＝3， x2﹣8x+42＝3+42， （x﹣4）2＝19， 故选：A． 2．若用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程变形为（　　） A． B． C．（2x﹣1）2＝1 D． 【答案】D 【解答】解：2x2﹣4x+1＝02x2﹣4x＝﹣1． 故选：D． 3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　） A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15 【答案】B 【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0， ∴x2﹣8x＝1， ∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17， 故选：B． 4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+4＝0，配方的结果是（　　） A．（x+4）2＝18 B．（x﹣4）2＝12 C．（x+4）2＝12 D．（x﹣4）2＝4 【答案】B 【解答】解：x2﹣8x+4＝0， x2﹣8x+42﹣42+4＝0， ∴（x﹣4）2＝12， 故选：B． 5．解方程：3x2﹣10x+6＝0（配方法）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：移项得3x2﹣10x＝﹣6． 二次项系数化为1，得x2x＝﹣2； 配方得x2x+（）2＝﹣2， 即（x）2， 开方得：x±， ∴x1，x2． 6．（1）x2+6x＝﹣4； （2）． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣3． （2）x＝2． 【解答】解：（1）x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5， ∴x+3， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣3． （2）， 方程两边同乘以x﹣1，得 4﹣（2x﹣1）＝x﹣1 解得x＝2． 检验：x＝2时，x﹣1≠0． 故原分式方程的根为x＝2． 7．计算： （1）（x+3）2﹣36＝0； （2）x2+2x＝5； （3）． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣9； （2），； （3）x＝5． 【解答】解：（1）（x+3）2﹣36＝0， （x+3）2＝36， x+3＝±6， ∴x+3＝6或x+3＝﹣6， ∴x1＝3，x2＝﹣9； （2）x2+2x＝5， x2+2x+1＝6， （x+1）2＝6， ， ∴或， ∴，； （3）， 两边同上乘以（x﹣3）（x﹣2），得2（x﹣2）＝3（x﹣3）， 解得：x＝5， 当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）≠0， ∴原分式方程的解为：x＝5． 8．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2）x2﹣4x﹣7＝0， 移项得，x2﹣4x＝7， 配方得x2﹣4x+4＝11， 即（x﹣2）2＝11， 所以 所以． 9．计算：（1）； 解方程：（2）2x2+4x﹣5＝0． 【答案】（1）10﹣4； （2）x11，x21． 【解答】解：（1）（）（） 2×222 ＝5﹣2+3﹣44 ＝10﹣4； （2）2x2+4x﹣5＝0， ∴x2+2x0， ∴x2+2x， ∴x2+2x+11， ∴（x+1）2， ∴x+1＝±， ∴x11，x21． 10．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 【答案】（1）； （2）x1＝2，x2＝2． 【解答】解：（1）原式＝325﹣4 1； （2）x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11， ∴x﹣2 ∴x1＝2，x2＝2． 11．（1）计算：||； （2）解方程：x2﹣6x+4＝0． 【答案】（1）21； （2）x1＝3，x2＝3． 【解答】解：（1）原式＝23﹣（2） ＝23﹣2 ＝21； （2）x2﹣6x+4＝0， x2﹣6x＝﹣4， x2﹣6x+9＝5， （x﹣3）2＝5． 所以x﹣3， 解得：x1＝3，x2＝3． ▉题型2 解一元二次方程-公式法 【知识点的认识】 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 12．当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2时，代数式的值是 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12， ∴1． 故答案为：1． 13．若a＝1，b＝10，c＝﹣15，求代数式的值． 【答案】﹣5+2． 【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15． ∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160， ∴5+2． 14．根据下列条件，求代数式的值． （1）a＝1，b＝8，c＝﹣4； （2）a＝3，b＝﹣6，c＝2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当a＝1，b＝8，c＝﹣4时，原式4+2； （2）当a＝3，b＝﹣6，c＝2时，原式1． 15．解方程： （1）（2x﹣3）2＝49； （2）x2﹣5x+3＝0． 【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣2； （2）x1，x2． 【解答】解：（1）（2x﹣3）2＝49， 2x﹣3＝±7， ∴2x﹣3＝7或2x﹣3＝﹣7， 解得x1＝5，x2＝﹣2； （2）x2﹣5x+3＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝3， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0， x， x1，x2． 16．解方程： （1）2x2+3x﹣1＝0；（配方法） （2）2x2﹣1＝x（x+3）． 【答案】（1），； （2），． 【解答】解：（1）2x2+3x﹣1＝0， ， ， ， ， ，； （2）2x2﹣1＝x2+3x， x2﹣3x﹣1＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴， ∴，． 17．（1）． （2）． （3）； （4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1． 【答案】（1）x； （2）x； （3）x1＝x2； （4）y1，y2． 【解答】解：（1）去分母得5﹣（x2+2x）＝x（1﹣x）， 解得x， 检验：当x时，x（x+2）≠0，则x为原方程的解， 所以原方程的解为x； （2）•••2， 2， 去分母得1＝2（x+1）， 解得x， 检验：当x时，x+1≠0，则x为原方程的解， 所以原方程的解为x； （3）2x2﹣2x+1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， ∴x， ∴x1＝x2； （4）（y+2）2＝9y2﹣6y+1， （y+2）2＝（3y﹣1）2， y+2＝±（3y﹣1）， 所以y1，y2． 18．解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 【答案】（1），； （2）x1＝1，． 【解答】解：（1）原方程移项得x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， ， 解得：，； （2）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴， 解得：x1＝1，． 19．（1）解分式方程：； （2）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0． 【答案】（1）x＝﹣3； （2）． 【解答】解：（1）， 2x+1＝x﹣2， x＝﹣3， 当x＝﹣3时，x﹣2≠0， 所以x＝﹣3是原方程的解． （2）3x2+2x﹣2＝0， Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， 则x， 所以． 20．（1）化简：； （2）解不等式组：； （3）解分式方程：； （4）解方程：2x2＝2x+1． 【答案】（1）； （2）﹣2≤x≤1； （3）无解； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， 由①得：5x+1≥3x﹣3， 5x﹣3x≥﹣3﹣1， 2x≥﹣4， x≥﹣2， 由②得：3（x﹣3）≥2（2x﹣5）， 3x﹣9≥4x﹣10， 3x﹣4x≥9﹣10， ﹣x≥﹣1， x≤1， ∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1； （3）， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1）得： （x+1）2﹣4＝x2﹣1， x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 2x＝4﹣1﹣1， 2x＝2， x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， ∴原分式方程无解； （4）2x2＝2x+1， 2x2﹣2x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1） ＝4+8 ＝12， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 21．按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）﹣2≤x＜1； （2）x1＝x2； （3）；． 【解答】解：（1）， 由①得：2x﹣2＜3﹣3x， 整理得：5x＜5， 解得：x＜1， 由②得：2（x﹣1）﹣6≤3（x﹣2）， 即2x﹣2﹣6≤3x﹣6， 整理得：﹣x≤2， 解得：x≥﹣2， 故原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1； （2）原方程变形得：2x2﹣2x+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝3， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×3＝24﹣24＝0， ∴x， 即x1＝x2； （3）原式＝（）• • ， 当x1时， 原式． ▉题型3 解一元二次方程-因式分解法 【知识点的认识】 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 22．一元二次方程（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　） A．3 B．2 C．﹣1 D．3或2 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣2）2＝x﹣2， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 故选：D． 23．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2 【答案】D 【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1． 故选：D． 24．方程x（x﹣2）＝0的根为（　　） A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【答案】C 【解答】解：∵x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 故选：C． 25．方程x2﹣x＝0的解为 x1＝0，x2＝1　 ． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 26．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的根，则这个三角形的周长为　20　 ． 【答案】20． 【解答】解：x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0，x﹣8＝0， x1＝2，x2＝8， ①三角形的三边是5，7，2， ∵5+2＝7， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是5+7+8＝20， 故答案为：20． 27．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 可得x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝4， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10， 故答案为：10． 28．解下列方程： （1）6（x﹣1）2﹣54＝0；（用直接开方法） （2）9x2﹣（x﹣1）2＝0；（用因式分解法） （3）x2+6x+1＝0；（用配方法） （4）2y2+8y﹣1＝0．（用公式法） 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2； （2）x1，x2； （3）x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2； （4）y1，y2． 【解答】解：（1）6（x﹣1）2﹣54＝0， 6（x﹣1）2＝54， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， ∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （2）9x2﹣（x﹣1）2＝0， [3x+（x﹣1）][3x﹣（x﹣1）]＝0， （3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0， （4x﹣1）（2x+1）＝0， ∴4x﹣1＝0或2x+1＝0， 解得x1，x2； （3）x2+6x+1＝0， x2+6x＝﹣1， x2+6x+32＝﹣1+32， （x+3）2＝8， x+3＝±2， 解得x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2； （4）2y2+8y﹣1＝0， a＝2，b＝8，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72＞0， y， ∴y1，y2． 29．解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3x2﹣6x﹣2＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）3x2﹣6x﹣2＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±， 所以x1＝1，x2＝1． 30．适当的方法解方程： （1）3x2+2x﹣1＝0； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0． 【答案】（1）无解； （2）x1＝1，x2＝﹣4； （3），x2＝﹣1． 【解答】解：（1）3x2+2x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22+4×3×1＝16， ∴x， ∴x1，x2＝﹣1； （2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x， 原方程可变为：x2+3x﹣4＝0， 分解因式得：（x﹣1）（x+4）＝0， ∴x﹣1＝0或x+4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4． （3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0， 分解因式得：（2x﹣1）（2x+2）＝0， ∴2x﹣1＝0或2x+2＝0， 解得：，x2＝﹣1． 31．计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】（1）； （2）x1＝3，x2＝﹣1． 【解答】解：（1） ； （2）x2﹣2x﹣3＝0， x2﹣2x＝3， x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 32．解下列一元二次方程： （1）（x+1）2＝4； （2）2x2﹣7x+3＝0． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1； （2）． 【解答】解：（1）（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， 解得，x1＝﹣3，x2＝1； （2）2x2﹣7x+3＝0， （x﹣3）（2x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0， 解得，． 33．（1）解方程：（3x﹣1）2＝49； （2）解方程：3x2+4x﹣7＝0； （3）计算：． （4）解方程：． 【答案】（1）x1，x2＝﹣2； （2）x1＝1；x2； （3）﹣a﹣1； （4）无解． 【解答】解：（1）（3x﹣1）2＝49， 3x﹣1＝±7， 3x﹣1＝7或3x﹣1＝﹣7， x1，x2＝﹣2； （2）3x2+4x﹣7＝0， （x﹣1）（3x+7）＝0， x﹣1＝0或3x+7＝0， x1＝1；x2； （3） • ＝﹣a﹣1； （4）， 3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4）， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0， ∴x＝4是原方程的增根， ∴原方程无解． 34．解下列关于x的方程． （1）6x（x﹣1）＝x﹣1； （2）3x2﹣2x＝x2+x+1． 【答案】（1）x1＝1，x2； （2）x1，x2． 【解答】解：（1）6x（x﹣1）＝x﹣1， 6x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（6x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或6x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2； （2）3x2﹣2x＝x2+x+1， 2x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2． 35．（1）计算：； （2）解方程：（x﹣1）（x+7）＝2x+14． 【答案】（1）1； （2）x1＝3，x2＝﹣7． 【解答】解：（1）原式 ＝1； （2）由题意得，（x﹣1）（x+7）﹣2（x+7）＝0， ∴（x﹣1﹣2）（x+7）＝0， ∴x﹣1﹣2＝0或x+7＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣7． 36．用因式分解法解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）． 【答案】x1＝3，x2＝5． 【解答】解：∵（x﹣3）2＝2（x﹣3）， ∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 37．（1）分解因式x3﹣4x2+4x； （2）解不等式组； （3）解方程：； （4）解方程：x2﹣5x﹣1＝0． 【答案】（1）x（x﹣2）2； （2）﹣1＜x≤1； （3）x＝1； （4）x1，x2． 【解答】解：（1）x3﹣4x2+4x＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2； （2）解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：x≤1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤1； （3）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2）， 解得x＝1， 当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （4）x2﹣5x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝25+4＝29＞0， ∴x， ∴x1，x2． 38．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣x﹣6＝0． 【答案】（1）；（2）x1＝3，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）原式13 1 ； （2）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， 则x﹣3＝0或x+2＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2． 39．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）用配方法解：2x2+3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2）x1＝1，x2． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2+3x﹣5＝0， x2x， x2x，即（x）2， ∴x， ∴x1＝1，x2． 40．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如： ①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）； ②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）； 材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4； ②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5． 【答案】（1）（x﹣2）（x+1）； （2）①（x﹣y+4）（x﹣y+1）； ②（m+n﹣1）（m+n﹣5）． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）； （2）①（x﹣y）2+5（x﹣y）+4 ＝（x﹣y+4）（x﹣y+1）； ②（m+n）（m+n﹣6）+5 ＝（m+n）2﹣6（m+n）+5 ＝（m+n﹣1）（m+n﹣5）． 41．（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）2＜x≤5，解集表示在数轴上见解答． 【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0， （x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （2）， 解不等式①，得x＞2， 解不等式②，得x≤5， ∴不等式组的解集为2＜x≤5． 解集表示在数轴上如图． 学科网（北京）股份有限公司 $