1.1幂的乘除 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“幂的乘除”核心内容，系统涵盖科学记数法表示较小数、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法四大题型，构建从数的表示到运算规律的完整知识支架。 资料以现实情境实例（如超薄钢厚度、石墨烯键长）培养数学眼光，通过分层练习题发展运算能力与推理意识，题型分类清晰，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏，体现数学语言的精确表达与应用价值。

第一章第一节 幂的乘除 题型1 科学记数法—表示较小的数 题型2 同底数幂的乘法 题型3 幂的乘方与积的乘方 题型4 同底数幂的除法 题型1．科学记数法—表示较小的数（共15小题） 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 1．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6 2．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.00000000142米．数0.000000000142用科学记数法表示是（　　） A．1.42×10﹣9 B．0.142×10﹣10 C．1.42×10﹣10 D．1.42×10﹣11 3．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058m，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（　　） A．5.8×10﹣9 B．5.8×10﹣10 C．0.58×10﹣9 D．0.58×10﹣10 4．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9 5．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（　　） A．0.1125×10﹣5 B．1.125×10﹣6 C．1.125×10﹣7 D．11.25×10﹣7 6．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7 7．清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　） A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106 8．自然界的可见光中红光波长最长，因其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为0.00000069米左右，0.00000069用科学记数法表示为（　　） A．0.69×10﹣6 B．6.9×10﹣7 C．6.9×10﹣8 D．69×10﹣9 9．DeepSeek成立于2023年7月17日，由知名量化资管巨头幻方量化创立．作为大厂外唯一一家储备万张A100芯片的公司，其为DeepSeek的技术研发提供了强大的硬件支持．A100芯片采用了目前最先进的台积电7nm工艺，7nm即0.000000007m用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7m B．0.7×10﹣11m C．7×10﹣11m D．7×10﹣9m 10．我们每位同学要加强自我保护，养成良好的生活习惯，每个人都是健康的第一责任人．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107 11．在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　） A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7 12．某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为2×10﹣5，下列与数据“2×10﹣5”相等的是（　　） A． B． C． D． 13．刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为32μm～38μm，其中1μm＝10﹣6m，数据“38μm”换算成米用科学记数法表示为（　　） A．3.8×10﹣7 m B．3.8×10﹣5m C．0.38×10﹣4m D．3.8×10﹣3m 14．科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示为　 微米． 15．幺米，英文全称yoctometer，简称ym，也称为攸米．是公认的最小长度单位，1幺米为1ym＝10﹣24m＝1.0570×10﹣40光年＝0.001仄米，则200ym用科学记数法表示为 　 m． 题型2．同底数幂的乘法（共15小题） （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 16．计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 17．计算a3•a的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 18．若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a＝3b+3b+3b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．2a+b＝3 C．3a﹣b＝1 D．3a﹣2b＝1 19．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　） A．128 B．64 C．32 D．16 20．不一定相等的一组是（　　） A．a+b与b+a B．3a与a+a+a C．a3与a•a•a D．3（a+b）与3a+b 21．已知算式：①（﹣a）3•（﹣a）•（﹣a）2＝a6；②（﹣a）4•（﹣a）•（﹣a）2＝﹣a7；③（﹣a）3•（﹣a）•（﹣a）2＝﹣a6；④（﹣a）4•（﹣a）•（﹣a）2＝a7；其中正确的算式是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 22．已知x+y＝2，则2x•2y＝　 　 ． 23．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n，例如：因为24＝16，所以（2，16]＝4． （1）若（2，y]＝5，则 　 ； （2）已知（3，2]＝a，（3，6]＝b，（3，y]＝c，若3a+2b﹣1＝c，则y的值为　 　 ． 24．已知m，n为正整数，若3m+n﹣4＝0，则23m×2n＝ 　 ． 25．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN，类似还可以证明对数的另一个性质：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 请利用以上内容计算log318+log32﹣log34＝　 　 ． 26．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1），则h（2）＝ 　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝ （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 27．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　 　 ，（4，1）＝　0　 （2，0.25）＝　 　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 28．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　 　 ，； （2）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 29．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　 　 ，f（4，64）＝　 　 ； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 30．计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 题型3．幂的乘方与积的乘方（共15小题） （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 31．计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 32．下列计算正确的是（　　） A．2x2﹣x2＝x2 B．x2+x3＝x5 C．x2•x3＝x6 D．（x2）3＝x5 33．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 34．下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝a6 D．a3•a＝2a4 35．计算（﹣2m2n）4的结果是（　　） A．﹣16m8n4 B．16m8n4 C．﹣16m6n4 D．16m6n4 36．已知a＝522，b＝433，c＝344，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 37．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，则这四个数从大到小排列顺序是（　　） A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d 38．下列运算正确的是（　　） A．﹣a2•a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a6 39．若10x＝2，10y＝3，则1002x+y的结果是 　 　 ． 40．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ． 41．已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝　 　 ． 故答案为：108． 42．已知ax＝﹣5，ay＝3，则a2x+y的值是　 　 ． 43．在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 44．阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：520　 　 420，961　 　 2741；（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 45．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，例如：若5m＝54，则m＝4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： （1）如果2×4x×32x＝236，求x的值； （2）如果3x+2+3x+1＝108，求x的值． 题型4．同底数幂的除法（共15小题） 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 46．下列运算正确的是（　　） A．a3•（﹣a）4＝a7 B．（a2）6＝a8 C．（2ab2）3＝2a3b6 D．﹣a8÷a2＝﹣a4 47．下列计算正确的是（　　） A．（﹣a）2+a3＝a5 B．a2•（﹣a）3＝﹣a6 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣a）3÷a2＝a 48．已知xm＝2，xn＝4，问x3m﹣n等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 49．下列运算正确的是（　　） A．x6÷x2＝x3 B．x3•x3＝2x3 C．（﹣x）2÷（﹣x2）＝﹣1 D． 50．已知32m＝10，3n＝2，则92m﹣n的值为（　　） A．25 B．96 C．5 D．3 51．下列算式正确的是（　　） A．x5+x5＝x10 B．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 C．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 D．4×2n×2n﹣1＝22n+1 52．计算（2xy）3÷2xy2的结果是（　　） A．2y B．3x2y C．4xy D．4x2y 53．已知10x＝3，10y＝2，求10x﹣2y的值为 　　 ． 54．已知xm＝6，xn＝2，则xm﹣n＝　　 ． 55．如果3m＝9，9n＝81，那么33m﹣2n的值为　 　 ． 56．幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若3m×9m×27m＝312，求m的值． （2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？ 57．（1）已知am＝3，an＝2，求：①am+n的值；②a3m﹣2n的值； （2）已知2×4x+1×16＝223，求x的值． 58．已知2x＝6，2y＝3，求下列各式的值： （1）2x+y； （2）22x﹣3y． 59．（1）已知2x＝5，2y＝3，求：2x﹣2y的值； （2）x﹣2y+3＝0，求：2x÷4y×8的值． 60．规定a*b＝ab﹣1，如：2*1＝2×1﹣1＝1． （1）若42*4x﹣1＝63，求x的值； （2）求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章第一节 幂的乘除 题型1 科学记数法—表示较小的数 题型2 同底数幂的乘法 题型3 幂的乘方与积的乘方 题型4 同底数幂的除法 题型1．科学记数法—表示较小的数（共15小题） 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 1．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．15×10﹣4 D．0.15×10﹣6 【答案】A 【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5． 故选：A． 2．石墨烯是单层碳原子组成的二维材料，结构是六边形晶格，当两层石墨烯以特定角度堆叠时，会出现超导现象．石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.00000000142米．数0.000000000142用科学记数法表示是（　　） A．1.42×10﹣9 B．0.142×10﹣10 C．1.42×10﹣10 D．1.42×10﹣11 【答案】C． 【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10． 故选：C． 3．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058m，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（　　） A．5.8×10﹣9 B．5.8×10﹣10 C．0.58×10﹣9 D．0.58×10﹣10 【答案】B 【解答】解：0.00000000058＝5.8×10﹣10． 故选：B． 4．华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9 【答案】D 【解答】解：0.000 000 007＝7×10﹣9． 故选：D． 5．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（　　） A．0.1125×10﹣5 B．1.125×10﹣6 C．1.125×10﹣7 D．11.25×10﹣7 【答案】B 【解答】解：0.000001125＝1.125×10﹣6． 故选：B． 6．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7 【答案】A 【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为8.93×10﹣5， 故选：A． 7．清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　） A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106 【答案】B 【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6， 故选：B． 8．自然界的可见光中红光波长最长，因其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为0.00000069米左右，0.00000069用科学记数法表示为（　　） A．0.69×10﹣6 B．6.9×10﹣7 C．6.9×10﹣8 D．69×10﹣9 【答案】B． 【解答】解：0.00000069＝6.9×10﹣7． 故选：B． 9．DeepSeek成立于2023年7月17日，由知名量化资管巨头幻方量化创立．作为大厂外唯一一家储备万张A100芯片的公司，其为DeepSeek的技术研发提供了强大的硬件支持．A100芯片采用了目前最先进的台积电7nm工艺，7nm即0.000000007m用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7m B．0.7×10﹣11m C．7×10﹣11m D．7×10﹣9m 【答案】D． 【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9． 故选：D． 10．我们每位同学要加强自我保护，养成良好的生活习惯，每个人都是健康的第一责任人．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107 【答案】B． 【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7． 故选：B． 11．在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000012米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　） A．1.2×10﹣5 B．1.2×10﹣6 C．0.12×10﹣4 D．120×10﹣7 【答案】A 【解答】解：0.000012＝1.2×10﹣5． 故选：A． 12．某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为2×10﹣5，下列与数据“2×10﹣5”相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， 观察选项，选项D符合题意． 故选：D． 13．刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为32μm～38μm，其中1μm＝10﹣6m，数据“38μm”换算成米用科学记数法表示为（　　） A．3.8×10﹣7 m B．3.8×10﹣5m C．0.38×10﹣4m D．3.8×10﹣3m 【答案】B 【解答】解：∵1μm＝10﹣6m， ∴38μm＝38×10﹣6m＝3.8×10﹣5m． 故选：B． 14．科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学记数法表示为　4.3×10﹣3 微米． 【答案】4.3×10﹣3 【解答】解：0.0043＝4.3×10﹣3． 故答案为4.3×10﹣3． 15．幺米，英文全称yoctometer，简称ym，也称为攸米．是公认的最小长度单位，1幺米为1ym＝10﹣24m＝1.0570×10﹣40光年＝0.001仄米，则200ym用科学记数法表示为 　2×10﹣22 m． 【答案】2×10﹣22 【解答】解：200ym＝200×10﹣24m＝2×10﹣22m． 故答案为：2×10﹣22． 题型2．同底数幂的乘法（共15小题） （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 16．计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 【答案】B 【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6． 故选：B． 17．计算a3•a的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 【答案】C 【解答】解：根据同底数幂相乘运算法则可得： a3•a＝a3+1＝a4， 故选：C． 18．若a，b是正整数，且满足3a×3a×3a＝3b+3b+3b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．2a+b＝3 C．3a﹣b＝1 D．3a﹣2b＝1 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，33a＝3×3b，即33a＝3b+1， ∴3a＝b+1， 即3a﹣b＝1． 故选：C． 19．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（　　） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】A 【解答】解：由题意，得5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y， 即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y， ∴ 解得 ∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128， 故选：A． 20．不一定相等的一组是（　　） A．a+b与b+a B．3a与a+a+a C．a3与a•a•a D．3（a+b）与3a+b 【答案】D 【解答】解：A：因为a+b＝b+a，所以A选项一定相等； B：因为a+a+a＝3a，所以B选项一定相等； C：因为a•a•a＝a3，所以C选项一定相等； D：因为3（a+b）＝3a+3b，所以3（a+b）与3a+b不一定相等． 故选：D． 21．已知算式：①（﹣a）3•（﹣a）•（﹣a）2＝a6；②（﹣a）4•（﹣a）•（﹣a）2＝﹣a7；③（﹣a）3•（﹣a）•（﹣a）2＝﹣a6；④（﹣a）4•（﹣a）•（﹣a）2＝a7；其中正确的算式是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】A 【解答】解：①（﹣a）3•（﹣a）•（﹣a）2＝（﹣a）6＝a6，则①正确，③错误； ②（﹣a）4•（﹣a）•（﹣a）2＝（﹣a）7＝﹣a7，则②正确，④错误； 故选：A． 22．已知x+y＝2，则2x•2y＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由条件可知2x•2y＝2x+y＝22＝4， 故答案为：4． 23．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n，例如：因为24＝16，所以（2，16]＝4． （1）若（2，y]＝5，则y＝32　 ； （2）已知（3，2]＝a，（3，6]＝b，（3，y]＝c，若3a+2b﹣1＝c，则y的值为　96　 ． 【答案】（1）y＝32； （2）96． 【解答】解：（1）∵（2，y]＝5， ∴25＝y， ∴y＝32， 故答案为：y＝32； （2）∵（3，2]＝a，（3，6]＝b，（3，y]＝c， ∴3a＝2，3b＝6，3c＝y， ∴（3a）3＝23，（3b）2＝62，3c＝y， 即33a＝8，32b＝36，3c＝y， ∴33a•32b＝33a+2b＝8×36， ∵3a+2b﹣1＝c， 即3a+2b＝c+1， ∴3c+1＝8×36， ∴3×3c＝8×36， ∴3c＝96， ∴y＝96， 故答案为：96． 24．已知m，n为正整数，若3m+n﹣4＝0，则23m×2n＝ 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：∵3m+n﹣4＝0， ∴3m+n＝4， ∴23m×2n＝23m+n＝24＝16， 故答案为：16． 25．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N），又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN，类似还可以证明对数的另一个性质：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 请利用以上内容计算log318+log32﹣log34＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：log318+log32﹣log34 ＝log3（2×9）+log32﹣log34 ＝log32+log39+log32﹣log34 ＝2+（log32+log32）﹣log34 ＝2+log32×2﹣log34 ＝2+log34﹣log34 ＝2． 故答案为：2． 26．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空： （1）若h（1），则h（2）＝　　 ； （2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝kn+2017 （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 【答案】；kn+2017 【解答】解：（1）∵h（1），h（m+n）＝h（m）•h（n）， ∴h（2）＝h（1+1）； （2）∵h（1）＝k（k≠0）， ∴h（2）＝h（1）•h（1）＝k2， h（3）＝h（2）•h（1）＝k3， h（4）＝h（3）•h（1）＝k4， …… h（n）＝h（n﹣1）•h（1）＝kn， ∴h（n）•h（2017）＝kn•k2017＝kn+2017． 故答案为：；kn+2017． 27．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 （1）根据上述规定，填空： （3，27）＝　3　 ，（4，1）＝　0　 （2，0.25）＝　﹣2　 ； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2， 故答案为：3，0，﹣2； （2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴3a＝5，3b＝6，3c＝30， ∴3a×3b＝30， ∴3a×3b＝3c， ∴a+b＝c． 28．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　4　 ，； （2）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 【答案】（1）4；； （2）x＝5． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴L（2，16）＝4； ∵， ∴； 故答案为：4；； （2）∵L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2， ∴ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，a2x+2＝mn， ∴mn＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8， ∴a4x﹣8＝a2x+2， ∴2x+2＝4x﹣8， ∴x＝5． 29．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3． （1）填空：f（2，4）＝　2　 ，f（4，64）＝　3　 ； （2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）； （3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值． 【答案】（1）2，3； （2）1； （3）6． 【解答】解：（1）∵22＝4， ∴f（2，4）＝2， ∵43＝4×4×4＝64， ∴f（4，64）＝3， 故答案为：2，3； （2）∵（﹣3）4＝81，53＝125， ∴f（﹣3，81）＝4，f（5，125）＝3， ∴原式＝4﹣3＝1； （3）∵（﹣2）5＝﹣32，43＝64，而f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3， ∴a＝﹣2，b＝64， 又∵（﹣2）6＝64， ∴f（a，b） ＝f（﹣2，64） ＝6． 30．计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 【答案】（1）m6； （2）﹣（m﹣n）8． 【解答】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3 ＝（﹣m）1+2+3 ＝（﹣m）6 ＝m6； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4 ＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4 ＝﹣（m﹣n）8． 题型3．幂的乘方与积的乘方（共15小题） （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 31．计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：原式 ＝4． 故选：A． 32．下列计算正确的是（　　） A．2x2﹣x2＝x2 B．x2+x3＝x5 C．x2•x3＝x6 D．（x2）3＝x5 【答案】A 【解答】解：A、2x2﹣x2＝x2，故A符合题意； B、x2与x3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意； C、x2•x3＝x5，故C不符合题意； D、（x2）3＝x6，故D不符合题意； 故选：A． 33．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（）2024 ＝﹣2×（﹣2）2024 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 故选：D． 34．下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．（﹣a3）2＝a6 D．a3•a＝2a4 【答案】C 【解答】解：A、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意； B、（2a）3＝8a3，故该项不正确，不符合题意； C、（﹣a3）2＝a6，故该项正确，符合题意； D、a3•a＝a4，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 35．计算（﹣2m2n）4的结果是（　　） A．﹣16m8n4 B．16m8n4 C．﹣16m6n4 D．16m6n4 【答案】B 【解答】解：原式＝16m8n4， 故选：B． 36．已知a＝522，b＝433，c＝344，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【答案】D 【解答】解：∵a＝（52）11＝2511，b＝（43）11＝6411，c＝（34）11＝8111， 且81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， ∴c＞b＞a． 故选：D． 37．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，则这四个数从大到小排列顺序是（　　） A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d 【答案】B 【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411，d＝522＝（52）11＝2511， 而2511＜3211＜6411＜8111， ∴d＜a＜c＜b． 故选：B． 38．下列运算正确的是（　　） A．﹣a2•a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a6 【答案】D 【解答】解：A．﹣a2•a3＝﹣a5，故A不符合题意； B．a2•a3＝a5，故B不符合题意； C．a2与a3不能合并，故C不符合题意； D．（a2）3＝a6，故D符合题意； 故选：D． 39．若10x＝2，10y＝3，则1002x+y的结果是 　144　 ． 【答案】144． 【解答】解：∵10x＝2，10y＝3， ∴1002x+y ＝（10x）4×（10y）2 ＝24×32 ＝144， 故答案为：144． 40．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算：{4，2}+{4，32}的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据题意，{a，b}+{a，c}＝{a，bc}， 设{4，2}＝x，{4，32}＝y，{4，2×32}＝{4，64}＝z， ∴4x＝2，4y＝32，4z＝64， ∵4x•4y＝4x+y＝64＝4z＝43， ∴x+y＝z＝3， ∴原式＝3． 故答案为：3． 41．已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝　108　 ． 【答案】108． 【解答】解：∵xa＝2，xb＝3， ∴x2a+3b ＝x2a•x3b ＝（xa）2•（xb）3 ＝22×33 ＝4×27 ＝108， 故答案为：108． 42．已知ax＝﹣5，ay＝3，则a2x+y的值是　75　 ． 【答案】75． 【解答】解：∵ax＝﹣5，ay＝3， ∴a2x+y＝a2x•ay＝（ax）2•ay＝（﹣5）2×3＝75， 故答案为：75． 43．在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 【答案】（1）3； （2）4． 【解答】解：（1）∵9x＝36， ∴（32）x＝36， ∴32x＝36， ∴2x＝6， ∴x＝3； （2）∵64×2x＝210， ∴26×2x＝210， ∴26+x＝210， ∴6+x＝10， ∴x＝4． 44．阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：520　＞　 420，961　＜　 2741；（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【答案】（1）＞；＜；（2）233＜322；（3）312×510＜310×512． 【解答】解：（1）∵5＞4， ∴520＞420， ∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123， ∴961＜2741． 故答案为：＞；＜； （2）∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9， ∴233＜322； （3）∵， ∴312×510＜310×512． 45．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，例如：若5m＝54，则m＝4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： （1）如果2×4x×32x＝236，求x的值； （2）如果3x+2+3x+1＝108，求x的值． 【答案】（1）5； （2）2． 【解答】解：（1）因为2×4x×32x＝236， 所以2×22x×25x＝236， 即21+7x＝236， 所以1+7x＝36， 解得：x＝5； （2）因为3x+2+3x+1＝108， 所以3×3x+1+3x+1＝4×27，4×3x+1＝4×33， 即3x+1＝33， 所以x+1＝3， 解得：x＝2． 题型4．同底数幂的除法（共15小题） 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 46．下列运算正确的是（　　） A．a3•（﹣a）4＝a7 B．（a2）6＝a8 C．（2ab2）3＝2a3b6 D．﹣a8÷a2＝﹣a4 【答案】A 【解答】解：A、a3•（﹣a）4＝a3•a4＝a7，原计算正确，符合题意； B、计算结果是a12，原计算错误，不符合题意； C、计算结果是8a3b6，原计算错误，不符合题意； D、计算结果是﹣a6，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 47．下列计算正确的是（　　） A．（﹣a）2+a3＝a5 B．a2•（﹣a）3＝﹣a6 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣a）3÷a2＝a 【答案】C 【解答】解：A、（﹣a）2+a3＝a2+a3，故不符合题意； B、a2•（﹣a）3＝﹣a5，故不符合题意； C、（﹣a2）3＝﹣a6，故符合题意； D、（﹣a）3÷a2＝﹣a，故不符合题意； 故选：C． 48．已知xm＝2，xn＝4，问x3m﹣n等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：当xm＝2，xn＝4时， x3m﹣n＝x3m÷xn＝（xm）3÷xn＝23÷4＝8÷4＝2． 故选：A． 49．下列运算正确的是（　　） A．x6÷x2＝x3 B．x3•x3＝2x3 C．（﹣x）2÷（﹣x2）＝﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：A．x6÷x2＝x4，故该选项不正确，不符合题意； B．x3•x3＝x6，故该选项不正确，不符合题意； C． （﹣x）2÷（﹣x2）＝x2÷（﹣x2）＝﹣1，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 50．已知32m＝10，3n＝2，则92m﹣n的值为（　　） A．25 B．96 C．5 D．3 【答案】A 【解答】解：∵32m＝10，3n＝2， ∴92m﹣n＝（32）2m﹣n＝（32m）2÷（3n）2＝100÷4＝25． 故选：A． 51．下列算式正确的是（　　） A．x5+x5＝x10 B．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 C．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 D．4×2n×2n﹣1＝22n+1 【答案】D 【解答】解：A、应为x5+x5＝2x5，故本选项错误； B、应为（﹣3pq）2＝9p2q2，故本选项错误； C、应为（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（b4c4）÷（b2c2）＝b2c2，故本选项错误； D、4×2n×2n﹣1＝22×2n×2n﹣1＝22n+1，正确． 故选：D． 52．计算（2xy）3÷2xy2的结果是（　　） A．2y B．3x2y C．4xy D．4x2y 【答案】D 【解答】解：（2xy）3÷2xy2 ＝8x3y3÷2xy2 ＝4x2y． 故选：D． 53．已知10x＝3，10y＝2，求10x﹣2y的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵10x＝3，10y＝2， ∴10x﹣2y， 故答案为：． 54．已知xm＝6，xn＝2，则xm﹣n＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：xm﹣n＝xm÷xn＝6÷2＝3， 故答案为：3． 55．如果3m＝9，9n＝81，那么33m﹣2n的值为　9　 ． 【答案】9 【解答】解：∵3m＝9，9n＝32n＝81＝92， ∴33m﹣2n ＝（3m）3÷32n ＝93÷92 ＝9． 故答案为：9． 56．幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若3m×9m×27m＝312，求m的值． （2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵3m×9m×27m＝312， ∴3m×（32）m×（33）m＝312， ∴3m×32m×33m＝312， ∴m+2m+3m＝12， ∴6m＝12， 解得：m＝2； （2）∵a＝255＝（25）11＝3211， b＝344＝（34）11＝8111， c＝533＝（53）11＝12511， ∵32＜81＜125， ∴3211＜8111＜12511， ∴a＜b＜c． 57．（1）已知am＝3，an＝2，求：①am+n的值；②a3m﹣2n的值； （2）已知2×4x+1×16＝223，求x的值． 【答案】（1）①6；②； （2）8． 【解答】解：（1）∵am＝3，an＝2， ∴am+n＝am⋅an＝3×2＝6，； （2）∵2×4x+1×16＝223， ∴2×（22）x+1×24＝223， ∴2×22x+2×24＝223， ∴21+2x+2+4＝223， ∴1+2x+2+4＝23， 解得：x＝8． 58．已知2x＝6，2y＝3，求下列各式的值： （1）2x+y； （2）22x﹣3y． 【答案】（1）18； （2）． 【解答】解：（1）∵2x＝6，2y＝3， ∴2x+y＝2x•2y＝6×3＝18； （2）∵2x＝6，2y＝3， ∴22x﹣3y＝22x÷23y＝（2x）2÷（2y）3＝62÷33． 59．（1）已知2x＝5，2y＝3，求：2x﹣2y的值； （2）x﹣2y+3＝0，求：2x÷4y×8的值． 【答案】（1）； （2）1． 【解答】解：（1）当2x＝5，2y＝3时， 2x﹣2y ＝2x÷22y ＝2x÷（2y）2 ＝5÷32 ； （2）当x﹣2y+3＝0时， 2x÷4y×8 ＝2x÷22y×23 ＝2x﹣2y+3 ＝20 ＝1． 60．规定a*b＝ab﹣1，如：2*1＝2×1﹣1＝1． （1）若42*4x﹣1＝63，求x的值； （2）求的值． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）∵a*b＝ab﹣1， ∴42×4x﹣1＝42×4x﹣1﹣1＝41+x﹣1，即41+x﹣1＝63， ∴41+x＝64＝43， ∴1+x＝3， 解得x＝2； （2）∵a*b＝ab﹣1， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $