1.3 乘法公式 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理完全平方公式和平方差公式的结构特征、巧记方法及应用要点，通过基础计算、几何验证、综合探究等题型搭建学习支架，衔接整式乘法与后续因式分解内容。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，如用图形面积拼接验证公式培养数学眼光，设计换元法、配方法题目发展推理能力，结合长方形面积等实际问题强化模型意识。课中助力分层教学，课后多样化练习帮助学生查漏补缺。

第一章第三节 乘法公式 题型1 完全平方公式 题型2 平方差公式 题型1.完全平方公式（共30小题） （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解：∵（x+2y）2＝10， ∴x2+4xy+4y2＝10①， ∵（x﹣2y）2＝18， ∴x2﹣4xy+4y2＝18②， ②﹣①得：﹣8xy＝8， ∴xy＝﹣1． 故选：A． 2．已知x+y＝5，xy＝6，则x2+y2的值是（　　） A．1 B．13 C．17 D．25 【答案】B 【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， 将xy＝6代入得：x2+12+y2＝25， 则x2+y2＝13． 故选：B． 3．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【答案】D 【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式， ∴﹣my＝±4•y•4， 解得：m＝±16． 故选：D． 4．若（x+y）2＝（x﹣y）2+A，则A等于（　　） A．2xy B．﹣2xy C．﹣4xy D．4xy 【答案】D 【解答】解：由题意可得： 原式＝x2﹣2xy+y2+A， ∴A＝4xy， 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a 【答案】D 【解答】解：A．a4与a3不能合并，所以A选项不符合题意； B． （a﹣1）2＝a2﹣2a+1，所以B选项不符合题意； C． （2a3b）2＝4a6b2，所以C选项不符合题意； D．a（2a+1）＝2a2+a，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①（3x+y）2＝9x2+6xy+y2，故①运算错误； ②（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故②运算错误； ③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故③运算正确； ④，故④运算错误． 所以运算错误的有①②④，共3个． 故选：C． 7．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【解答】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①， 由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②， 由①﹣②得2ab+40﹣50＝0， ∴ab＝5， 即长方形的面积为5， 故选：A． 8．如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（　　） A．12 B．18 C．16 D．14 【答案】B 【解答】解：设AB＝a，AD＝b， 则ab＝6，a2+b2＝69， 那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81， ∵a+b＞0， ∴a+b＝9， ∴长方形ABCD的周长是2×9＝18， 故选：B． 9．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（　　） A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36 【答案】C 【解答】解：由（2a±3b）2＝4a2±12ab+9b2， ∴染黑的部分为±12． 故选：C． 10．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12， ∴ab＝3， ∴长方形的面积为3， 故选：A． 11．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝　4　 ． 【答案】4 【解答】解：∵a﹣b＝2 ∴原式＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a﹣2b＝2（a﹣b）＝4 故答案为：4 12．已知，则ab+bc+ca的值等于 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，由a﹣b＝b﹣c可得：a﹣c， 由a2+b2+c2＝1可得2（a2+b2+c2）＝2， 再利用完全平方公式可得：2（a2+b2+c2）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2+2（ab+bc+ca）， 将a2+b2+c2＝1，a﹣b＝b﹣c，a﹣c代入可得： 2×1＝（）2+（）2+（）2+2（ab+bc+ca）， 解得ab+bc+ca． 13．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．问：4x2﹣12xy+10y2+4y+9的最　小　 值是　5　 ． 【答案】小；5． 【解答】解：4x2﹣12xy+10y2+4y+9 ＝（4x2﹣12xy+9y2）+（y2+4y+4）+5 ＝（2x﹣3y）2+（y+2）2+5 ∵（2x﹣3y）2≥0，（y+2）2≥0， ∴当x＝﹣3，y＝﹣2时，（2x﹣3y）2和（y+2）2能同时取值最小值0， ∴4x2﹣12xy+10y2+4y+9的最小值为5， 故答案为：小；5． 14．已知a+b＝5，a2+b2＝19，那么ab的值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵（a+b）2＝52， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵a2+b2＝19， ∴2ab＝25﹣19， ∴ab＝3． 故答案为：3． 15．若一个整数能表示成a2+b2（a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为5＝22+12，所以5是一个完美数．已知M＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：M＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9）+k﹣13 ＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13， ∵M为完美数， ∴k﹣13＝0， ∴k＝13， 故答案为：13． 16．已知 ，那么　34　 ． 【答案】34 【解答】解：∵x6， ∴＝x2（x）2﹣2＝36﹣2＝34． 故答案为：34． 17．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 　112　 ． 【答案】112． 【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112． 18．观察下列各式及其展开式： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 （a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4 （a﹣b）5＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5… 请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是　45　 ． 【答案】45 【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1， 第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1， 第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45， 故答案为：45． 19．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7， 根据左面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求（x﹣y）2的值． 【答案】（1）40； （2）4． 【解答】解：（1）∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64， ∵xy＝12， ∴2xy＝24， ∴x2+y2＝64﹣24＝40； （2）∵x+y＝4， ∴（x+y）2＝16， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16， ∵x2+y2＝10， ∴2xy＝16﹣10＝6， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4． 21．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　5　 ；②（2+i）2＝　3+4i ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【答案】（1）①5；②3+4i（2）（b﹣a）2＝1；（3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5i． 【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5， ②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1； （3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得：ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5， ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506， ∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i． 22．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　±2　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）±2；（2）①20；②94． 【解答】解：（1）∵（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2， ∴（x，k）☆（x，1）＝x2﹣kx+1＝（x±1）2， ∴k＝±2． 故答案为：±2； （2）①由题意知， ∵（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104， ∴（x+y）2﹣（2x+y）y+y2＝x2+y2＝104， ∵x+y＝12， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝144， ∴2xy＝40， ∴xy＝20； ②由图可知，， ∵xy＝20，x2+y2＝104， ∴． 23．已知（a﹣b）2＝15，，求a4+b4的值． 【答案】87.5． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝15， ∴a2﹣2ab+b2＝15， ∵ab， ∴a2+b2＝15﹣5＝10， ∴a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝102﹣2×（）2 ＝100﹣12.5 ＝87.5． 24．已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求： （1）a2+b2的值； （2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22； （2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝6，ab＝﹣7， ∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8， ∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80． 25．如图中，图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系 　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； （2）运用你所得到的公式计算：若m，n为实数，且mn＝﹣35，m﹣n＝12，试求（m+n）2的值； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）4；（3）． 【解答】解：（1）由图可知：图中阴影部分的面积＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）由（1），知（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn， 已知m﹣n＝12，mn＝﹣35， 所以（m+n）2＝144+4×（﹣35）＝4； （3）设AC＝a，BC＝b， ∵AB＝8，S1+S2＝26， ∴a+b＝8，a2+b2＝26， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴64＝26+2ab， 解得ab＝19． 由题意，得∠ACF＝90°， ∴． 26．已知x3，求下列各式的值： （1）（x）2； （2）x4． 【答案】（1）5；（2）47． 【解答】解：（1）∵， ∴ 4x• ＝32﹣4 ＝5； （2）∵， ∴ 2 ＝5+2 ＝7， ∵， ∴ 2 ＝49﹣2 ＝47． 27．化简：a（a﹣2）﹣（a﹣1）2． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣（a2﹣2a+1） ＝a2﹣2a﹣a2+2a﹣1 ＝﹣1． 28．已知x＝2y﹣6，求﹣3x2+12xy﹣12y2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由x＝2y﹣6得x﹣2y＝﹣6， ∴﹣3x2+12xy﹣12y2 ＝﹣3（x2﹣4xy+4y2） ＝﹣3（x﹣2y）2 ＝﹣3×（﹣6）2 ＝﹣108． 29．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x+y＝3，（x+2）（y+2）＝12， ∴xy+2x+2y+4＝12， ∴xy+2（x+y）＝8， ∴xy+2×3＝8， ∴xy＝2； （2）∵x+y＝3，xy＝2， ∴x2+3xy+y2 ＝（x+y）2+xy ＝32+2 ＝11． 30．在公式（a+b）2＝a2+2ab+b2中，如果我们把a+b，a2+b2，ab分别看作一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣27，求a2+b2的值； （2）已知，试求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a+b＝6， ∴（a+b）2＝36， 即a2+2ab+b2＝36， ∵ab＝﹣27， ∴a2+b2＝36+2×27＝90； （2）∵a5， ∴（a）2＝25， 即a2+225， ∴a225﹣2＝23． 故答案为：（1）90，（2）23． 题型2．平方差公式（共30小题） （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 31．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a+b） C．（﹣a﹣b）（a+b） D．（a﹣b）（2a+b） 【答案】A 【解答】解：A、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（﹣a）2﹣b2＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，选项符合题意； B、（a+b）（a+b）＝（a+b）2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； C、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2，不能用平方差公式进行计算，选项不符合题意； D、（a﹣b）（2a+b）中a与2a的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算，选项不符合题意． 故选：A． 32．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+2）（2+a） B． C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a2+b）（a﹣b2） 【答案】B 【解答】解：A、（a+2）（2+a），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、（a2+b）（a﹣b2），不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 33．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b） B．（a+3b）（a+3b） C．（a﹣3b）（a+3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b） 【答案】B 【解答】解：A、（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b），一项相同，一项互为相反数，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、（a+3b）（a+3b）＝（a+3b）2，能用完全平方公式计算，故此选项符合题意； C、（a﹣3b）（a+3b），一项相同，一项互为相反数，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、（3a﹣4b）（4a+3b），不能用平方差公式计算，也不能用完全平方公式计算，只能用多项式乘多项式法则计算，故此选项不符合题意； 故选：B． 34．下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 【答案】D 【解答】解：x2•x4＝x6，则A不符合题意， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意， x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意， （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意， 故选：D． 35．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝27， 又∵a﹣b＝3， ∴a+b＝9． 故选：A． 36．已知m+n＝4，m2﹣n2＝﹣8，则m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣8，m+n＝4， ∴m﹣n＝﹣2． 故选：B． 37．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 【答案】B 【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35， ∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35， （a2+b2）2﹣1＝35， （a2+b2）2＝36， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝6， 故选：B． 38．若x≠y，则下列各式不能成立的是（　　） A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 B．（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3 C．（x﹣y）2＝（﹣x+y）2 D．（x+y）（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y） 【答案】D 【解答】解：A、∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2， ∴（x﹣y）2＝（y﹣x）2， 故此选项不符合题意； B、（x﹣y）3＝[﹣（y﹣x）]3＝﹣（y﹣x）3，故此选项不符合题意； C、（x﹣y）2＝[﹣（﹣x+y）]2＝（﹣x+y）2，故此选项不符合题意； D、（x+y）（y﹣x）＝（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2，（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， ∵x≠y， ∴（x+y）（y﹣x）≠（x+y）（x﹣y）， 故此选项符合题意； 故选：D． 39．若（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2，则m，n的值是（　　） A．2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．﹣2，3 【答案】B 【解答】解：∵（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2， ∴2mx2+3mxy﹣2nxy﹣3ny2＝9y2﹣4x2， ∴2m＝﹣4，﹣3n＝9， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， 故选：B． 40．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：（1）（1）（1）（1）（　　） A．2 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：原式＝2（1）（1）（1）（1）（1） ＝2（1）（1）（1）（1） ＝2（1）（1）（1） ＝2（1）（1） ＝2（1） ＝2 ＝2． 故选：D． 41．运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] C．[x+（2y+1）]2 D．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] 【答案】B 【解答】解：运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），应变形为[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]． 故选：B． 42．数学兴趣小组发现： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； 利用你发现的规律：求：62023+62022+62021+…+6+1＝　（62024﹣1）　 ． 【答案】（62024﹣1） 【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； •••••• ∴可以得到规律（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn﹣1， 当x＝6，n＝2024时： （x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝（6﹣1）（62023+62022+⋯+6+1）＝5（62023+62022+⋯+6+1）＝62024﹣1， ∴62023+62022+62021+…+6+1（62024﹣1）． 故答案为：（62024﹣1）． 43．计算：　　 ． 【答案】 【解答】解： ． 故答案为：． 44．若x+y＝3，x﹣y＝7，则x2﹣y2的值为 　21　 ． 【答案】21 【解答】解：∵x+y＝3，x﹣y＝7， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3×7＝21， 故答案为：21． 45．一个长方体游泳池的长为（4a2+9b2）m，宽为（2a+3b）m，高为（2a﹣3b）m，则这个游泳池的容积是 　（16a4﹣81b4）　 m3． 【答案】（16a4﹣81b4）． 【解答】解：（4a2+9b2）（2a+3b）（2a﹣3b） ＝（4a2﹣9b2）（4a2+9b2） ＝（16a4﹣81b4）m3， 故答案为：（16a4﹣81b4）． 46．若k为任意整数，则（3k+5）2﹣9k2的值能被 　5　 整除．（填符合条件的最大的整数） 【答案】5． 【解答】解：（3k+5）2﹣9k2的 ＝（3k+5+3k）（3k+5﹣3k） ＝5（6k+5）， ∴（3k+5）2﹣9k2的值能被5整除， 故答案为：5． 47．计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 　9y2﹣4x2 ． 【答案】9y2﹣4x2． 【解答】解：（3y﹣2x）（3y+2x） ＝（3y）2﹣（2x）2 ＝9y2﹣4x2， 故答案为：9y2﹣4x2． 48．计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ， 故答案为：． 49．观察： 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13； 42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　36　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【答案】（1）36； （2）2n2+n； （3）55πcm2． 【解答】解：（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1236， 故答案为：36； （2）（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣122n2+n； （3）102π﹣92π+…﹣32π+22π﹣π ＝（102﹣92+…﹣32+22﹣1）π ＝（10+9+…+3+2+1）π ＝55π（cm2）． 50．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）阴影部分的面积是： （a+b）2﹣4ab ＝a2+2ab+b2﹣4ab ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 阴影部分的面积是： a2﹣ab﹣（a﹣b）×b ＝a2﹣ab﹣ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 即（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （2）若a+b＝7，ab＝5， （a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝72﹣4×5 ＝29； （3）如图：延长AD、FG交于点H， 设正方形CEFG的边长为x，正方形ABCD的边长为（9﹣x），得： x2+（9﹣x）2＝47， x2+81﹣18x+x2＝47， 2x2﹣18x+34＝0， 即x2﹣9x+17＝0， 9x﹣x2＝17， S阴影＝S梯AEFH﹣S△AGH﹣S正CEFG， 即（x+9）×9÷2﹣9×（9﹣x）÷2﹣x2 x2 ＝9x﹣x2 ＝17． 答：图中阴影部分的面积是17． 51．乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． （1）1002﹣99×101； （2）． 【答案】（1）1；（2）98． 【解答】解：（1）原式＝1002﹣（100﹣1）×（100+1） ＝1002﹣1002+1 ＝1； （2）原式＝（10）2 ＝102﹣2 ＝98． 52．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　（a+b）2﹣4ab ，方法2：　（a﹣b）2 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　33　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2； （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、 故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）∵a﹣b＝5，ab＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33， 故答案为：33． （4）阴影部分面积等于 ， ∵a+b＝6，ab＝6， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12， ∴阴影部分面积等于12＝3． 故答案为：3． 53．简便运算： （1）（﹣0.125）2024×82025； （2）20242﹣2023×2025． 【答案】（1）8； （2）1． 【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125×8）2024×8 ＝（﹣1）2024×8 ＝8； （2）原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 54．用简便方法计算： （1）； （2）20252﹣2024×2026． 【答案】（1）2； （2）1． 【解答】解；（1）原式 ＝12021×2 ＝2； （2）原式＝20252﹣（2025+1）×（2025﹣1） ＝20252﹣（20252﹣12） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 55．小明遇到下面一个问题： 计算．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）； （2）（3+1）（33+1）（34+1）（38+1）（316+1）． 【答案】（1）232﹣1；（2）． 【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式 ． 56．简便运算： （1）（﹣0.125）12×811． （2）101×99． 【答案】（1）0.125； （2）9999． 【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125）11×811×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×8）11×（﹣0.125） ＝0.125； （2）原式＝（100+1）（100﹣1） ＝1002﹣12 ＝9999． 57．下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算：（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2 解：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣2x+1）…第一步 ＝9x2﹣1﹣4x2+2x﹣1⋯第二步 ＝5x2+2x﹣2．⋯第三步 任务一：①以上解题过程中，第一步需要依据 　平方差公式　 和 　完全平方　 公式进行运算． ②第 　一　 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　完全平方公式使用错误　 ． 任务二：请直接写出本题的正确结果． 【答案】①平方差公式，完全平方；（2）一，完全平方公式使用错误，5x2+4x﹣2． 【解答】解：任务一： ①以上解题过程中，第一步需要依据平方差公式和完全平方公式进行运算． 故答案为：平方差公式，完全平方； ②第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是完全平方公式使用错误． 故答案为：平方差公式；完全平方；一；完全平方公式使用错误； 任务二：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣4x+1）＝9x2﹣1﹣4x2+4x﹣1＝5x2+4x﹣2． 故答案为：一，完全平方公式使用错误． 58．利用整式乘法公式计算： （1）399×401+1； （2）1032． 【答案】（1）160000； （2）10609． 【解答】解：（1）399×401+1 ＝（400﹣1）×（400+1）+1 ＝4002﹣1+1 ＝160000； （2）1032 ＝（100+3）2 ＝10000+2×100×3+9 ＝10609． 59．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80， 整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9， ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t， 则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27， 整理得：整理得t2﹣9＝27， ∴t2＝36， 解得t＝±6， ∵2x2+2y2≥0， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （2）∵x2+y2＝3，xy＝1， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5， （x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1， ∴x﹣y＝±1． 60．用乘法公式进行简便运算： （1）102×98； （2）10032； （3）20242﹣20232； （4）20232﹣2023×4048+20242． 【答案】（1）9996； （2）1006009； （3）4047； （4）1． 【解答】解：（1）102×98 ＝（100+2）×（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996； （2）10032 ＝（1000+3）2 ＝10002+2×3×1000+32 ＝1000000+6000+9 ＝1006009； （3）20242﹣20232 ＝（2024+2023）×（2024﹣2023） ＝4047×1 ＝4047； （4）20232﹣2023×4048+20242 ＝20232﹣2×2023×2024+20242 ＝（2023﹣2024）2 ＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章第三节 乘法公式 题型1 完全平方公式 题型2 平方差公式 题型1．完全平方公式（共30小题） （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 2．已知x+y＝5，xy＝6，则x2+y2的值是（　　） A．1 B．13 C．17 D．25 3．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 4．若（x+y）2＝（x﹣y）2+A，则A等于（　　） A．2xy B．﹣2xy C．﹣4xy D．4xy 5．下列运算正确的是（　　） A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a 6．下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 8．如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（　　） A．12 B．18 C．16 D．14 9．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（　　） A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36 10．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b＝　 　 ． 12．已知，则ab+bc+ca的值等于 　 　 ． 13．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．问：4x2﹣12xy+10y2+4y+9的最　 　 值是　 　 ． 14．已知a+b＝5，a2+b2＝19，那么ab的值是 　 　 ． 15．若一个整数能表示成a2+b2（a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为5＝22+12，所以5是一个完美数．已知M＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 　 　 ． 16．已知 ，那么　 　 ． 17．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 　 　 ． 18．观察下列各式及其展开式： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 （a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4 （a﹣b）5＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5… 请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是　 　 ． 19．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7， 根据左面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求（x﹣y）2的值． 21．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　 　 ；②（2+i）2＝　 　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 22．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　 　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 23．已知（a﹣b）2＝15，，求a4+b4的值． 24．已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求： （1）a2+b2的值； （2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值． 25．如图中，图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系 　 　 ； （2）运用你所得到的公式计算：若m，n为实数，且mn＝﹣35，m﹣n＝12，试求（m+n）2的值； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积． 26．已知x3，求下列各式的值： （1）（x）2； （2）x4． 27．化简：a（a﹣2）﹣（a﹣1）2． 28．已知x＝2y﹣6，求﹣3x2+12xy﹣12y2的值． 29．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12． （1）求xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值． 30．在公式（a+b）2＝a2+2ab+b2中，如果我们把a+b，a2+b2，ab分别看作一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣27，求a2+b2的值； （2）已知，试求的值． 题型2．平方差公式（共30小题） （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 31．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a+b） C．（﹣a﹣b）（a+b） D．（a﹣b）（2a+b） 32．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+2）（2+a） B． C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（a2+b）（a﹣b2） 33．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b） B．（a+3b）（a+3b） C．（a﹣3b）（a+3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b） 34．下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 35．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 36．已知m+n＝4，m2﹣n2＝﹣8，则m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 37．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 38．若x≠y，则下列各式不能成立的是（　　） A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 B．（x﹣y）3＝﹣（y﹣x）3 C．（x﹣y）2＝（﹣x+y）2 D．（x+y）（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y） 39．若（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2，则m，n的值是（　　） A．2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．﹣2，3 40．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：（1）（1）（1）（1）（　　） A．2 B．2 C．1 D．2 41．运用乘法公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] C．[x+（2y+1）]2 D．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] 42．数学兴趣小组发现： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； 利用你发现的规律：求：62023+62022+62021+…+6+1＝　 　 ． 43．计算：　 　 ． 44．若x+y＝3，x﹣y＝7，则x2﹣y2的值为 　 　 ． 45．一个长方体游泳池的长为（4a2+9b2）m，宽为（2a+3b）m，高为（2a﹣3b）m，则这个游泳池的容积是 　 　 m3． 46．若k为任意整数，则（3k+5）2﹣9k2的值能被 　 　 整除．（填符合条件的最大的整数） 47．计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 　 　 ． 48．计算：　 　 ． 49．观察： 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13； 42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 50．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　 　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 51．乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． （1）1002﹣99×101； （2）． 52．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　 　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　 　 ． 53．简便运算： （1）（﹣0.125）2024×82025； （2）20242﹣2023×2025． 54．用简便方法计算： （1）； （2）20252﹣2024×2026． 55．小明遇到下面一个问题： 计算．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）； （2）（3+1）（33+1）（34+1）（38+1）（316+1）． 56．简便运算： （1）（﹣0.125）12×811． （2）101×99． 57．下面是聪聪同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算：（3x+1）（3x﹣1）﹣（2x﹣1）2 解：原式＝9x2﹣1﹣（4x2﹣2x+1）…第一步 ＝9x2﹣1﹣4x2+2x﹣1⋯第二步 ＝5x2+2x﹣2．⋯第三步 任务一：①以上解题过程中，第一步需要依据 　 　 和 　 　 公式进行运算． ②第 　 　 步开始出现错误，这一步出现错误的原因是 　 　 ． 任务二：请直接写出本题的正确结果． 58．利用整式乘法公式计算： （1）399×401+1； （2）1032． 59．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80， 整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9， ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值． 60．用乘法公式进行简便运算： （1）102×98； （2）10032； （3）20242﹣20232； （4）20232﹣2023×4048+20242． 学科网（北京）股份有限公司 $