1.2 整式的乘法 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“整式的乘法”核心知识点，系统梳理单项式乘单项式（系数、同字母分别相乘，单独字母连指数保留）、单项式乘多项式（单项式乘每一项再相加）、多项式乘多项式（每一项相乘再相加）的运算规则，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握整式乘法的递进关系。 该资料亮点在于结合长方形面积计算、科学记数法应用等实例培养数学眼光，通过运算性质的严谨推理提升运算能力与推理意识，多样化题型（选择、填空、解答）兼顾课中教学演示与课后巩固练习，助力学生深化理解、查漏补缺，体现应用意识与数学语言表达能力的培养。

第一章第二节 整式的乘法 题型1 单项式乘单项式 题型2 单项式乘多项式 题型3 多项式乘多项式 题型1．单项式乘单项式（共20小题） 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1．已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，下列结论中，正确个数为（　　） ①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10； ②当多项式A•B乘积不含x4时，则e＝6； ③a+b+c＝19； ④当A能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4； ⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m＝﹣2． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d， ∴A+B＝（5x3﹣6x2+10）+（x2+ex+f）＝5x3﹣5x2+ex+10+f， ∵e为非零常数， ∴10+f＝0，即f＝﹣10； 故说法①正确； A•B＝（5x3﹣6x2+10）×（x2+ex+f） ＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f ＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f ∵多项式A•B乘积不含x4， ∴5e﹣6＝0，解得：，故说法②错误； ∵B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d， 当x＝1时，B＝5×13﹣6×12+10＝a（1﹣1）3+b（1﹣1）2+c（1﹣1）+d， 即d＝9， 当x＝2时，B＝5×23﹣6×22+10＝a（2﹣1）3+b（2﹣1）2+c（2﹣1）+d， 即a+b+c+d＝26， ∴a+b+c＝26﹣d＝17，故③说法错误； ∵A能被x﹣2整除， ∴可设A＝（x﹣2）（x+n）， ∵A＝x2+ex+f ∴（x﹣2）（x+n）＝x2+ex+f， 令x＝2得：（2﹣2）（2+n）＝22+2e+f，即4+2e+f＝0 ∴2e+f＝﹣4，故④说法正确； 当x＝2m时，A＝（2m）2+e×2m+f＝4m2+2me+f， 当x＝m﹣2时，A＝（m﹣2）2+（m﹣2）e+f， ∵当x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等， ∴4m2＝（m﹣2）2且2m＝m﹣2， 解得：m＝﹣2，故⑤说法正确； 正确的有：①④⑤，共3个． 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A．2a•4a＝8a B．a3•a4＝a7 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）4＝a7 【答案】B 【解答】解：A．原式＝8a2，故本选项不符合题意； B．原式＝a7，故本选项符合题意； C．原式＝a4，故本选项不符合题意； D．原式＝a12，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　） A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2 【答案】B 【解答】解：∵长方形的长为6x2y，宽为3xy， ∴长方形的面积＝6x2y•3xy＝18x3y2， 故选：B． 4．一个长方形的宽是1.5×102cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（　　） A．13.5×104 cm2 B．1.35×105 cm2 C．1.35×104 cm2 D．1.35×103 cm2 【答案】B 【解答】解：长是6×1.5×102＝9×102（cm）， 则长方形的面积是1.5×102×9×102＝13.5×104＝1.35×105（cm2）． 故选：B． 5．下列算式：①3a3•（2a2）2＝12a12；②（2×103）（103）＝106；③﹣3xy•（﹣2xyz）2＝12x3y3z2；④4x3•5x4＝9x12．其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：①3a3•（2a2）2＝12a7，不合题意； ②（2×103）（103）＝106，正确，符合题意； ③﹣3xy•（﹣2xyz）2＝﹣12x3y3z2，不合题意； ④4x3•5x4＝20x7，不合题意； 故选：B． 6．如果“□×2ab＝2a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　） A．ab B．2ab C．a D．2a 【答案】C 【解答】解：∵□×2ab＝2a2b， ∴2a2b÷2ab＝a， 故“□”内应填的代数式是a． 故选：C． 7．下列运算正确的是（　　） A．a4+a5＝a9 B．2a3×3a5＝5a9 C．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5 D．（﹣xy2z）2＝﹣x2y4z2 【答案】C 【解答】解：a4与a5不是同类项，不能合并， 故A不符合题意； 2a3×3a5＝6a8， 故B不符合题意； （a﹣b）3•（b﹣a）2 ＝（a﹣b）3•（a﹣b）2 ＝（a﹣b）5， 故C符合题意； （﹣xy2z）2＝x2y4z2， 故D不符合题意， 故选：C． 8．下列各式中，计算正确的是（　　） A．2a2•3a3＝5a5 B．﹣3a2•（﹣2a）＝﹣6a3 C．2a3•5a2＝10a5 D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5 【答案】C 【解答】解：∵2a2•3a3＝6a5， ∴选项A不符合题意； ∵﹣3a2•（﹣2a）＝6a3， ∴选项B不符合题意； ∵2a3•5a2＝10a5， ∴选项C符合题意； ∵（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 9．下列计算中，错误的是（　　） A．（2xy）3（﹣2xy）2＝32x5y5 B．（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝﹣108a8b7 C． D． 【答案】D 【解答】解：A、（2xy）3（﹣2xy）2＝8x3y3×4x2y2＝32x5y5，故此选项正确； B、（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝4a2b4×（﹣27）a6b3＝﹣108a8b7，故此选项正确； C、（xy）2（x2y）x2y2x2y＝x4y3，故此选项正确； D、（m2n）（mn2）2m2nm2n4m4n5，故此选项错误． 故选：D． 10．（﹣2x3）3•（x2）2＝　﹣8x13 ． 【答案】﹣8x13． 【解答】解：（﹣2x3）3•（x2）2 ＝﹣8x9•x4 ＝﹣8x13． 故答案为：﹣8x13． 11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 　2025　 ． 账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988 [x2yz•x3y]＝521 [（x5）5y4z6÷x5y2z]＝密码 【答案】2025． 【解答】解：根据题意可知，密码为x、y、z的指数， 又∵[（x5）5y4z6÷x5y2z]＝[x20y2z5]， ∴密码是2025． 故答案为：2025． 12．若（am+1bn+2）•（a2n﹣1bn）＝a5b3，则m+n的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可得2n+2＝3，m+2n＝5，解得， 代入m+2n＝5，则m＝4． ∴． 故答案为：． 13．计算： 　3a4b3 ． 【答案】3a4b3． 【解答】解：原式＝﹣9×（）a3•a•b•b2＝3a4b3． 故答案为：3a4b3． 14．计算式子（4×106）×（﹣8×108）的结果用科学记数法表示为 　﹣3.2×1015 ． 【答案】﹣3.2×1015． 【解答】解：（4×106）×（﹣8×108） ＝4×（﹣8）×106×108 ＝﹣32×1014 ＝﹣3.2×1015， 故答案为：﹣3.2×1015． 15．计算5x2y•（﹣3xy3）＝　﹣15x3y4 ． 【答案】﹣15x3y4 【解答】解：5x2y•（﹣3xy3） ＝[5×（﹣3）]（x2•x）（y•y3） ＝﹣15x3y4． 故答案为﹣15x3y4． 16．计算： （1）﹣4xy2•（xy2）2•（﹣2x2）3； （2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3． 【答案】（1）32x9y6； （2）0． 【解答】解：（1）﹣4xy2•（xy2）2•（﹣2x2）3 ＝﹣4xy2•x2y4•（﹣8x6） ＝32x9y6； （2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3 ＝a6b12﹣a6b12 ＝0． 17．计算： （1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5； （2）（﹣0.25）12×413； （3）2x5⋅x5+（﹣x）2⋅x（﹣x）7； （4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8⋅（b4）3． 【答案】（1）2（n﹣m）5； （2）4； （3）x10； （4）17a8b12． 【解答】解：（1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5 ＝（n﹣m）3（n﹣m）2+（n﹣m）5 ＝（n﹣m）5+（n﹣m）5 ＝2（n﹣m）5； （2）（﹣0.25）12×413 ＝（﹣0.25）12×412×4 ＝（﹣1）12×4 ＝4； （3）2x5⋅x5+（﹣x）2⋅x（﹣x）7 ＝2x10﹣x10 ＝x10； （4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8⋅（b4）3 ＝16a8b12+a8b12 ＝17a8b12． 18．计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 【答案】（1）4x8y3；（2）3a6b3． 【解答】解：（1）x2y⋅（﹣2x3y）2 ＝x2y×4x6y2 ＝4x8y3； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2 ＝﹣a6b3+a4b×4a2b2 ＝﹣a6b3+4a6b3 ＝3a6b3； 19．计算： 【答案】． 【解答】解：， ． 20．计算： （1）2x3y2•（﹣2xy2z）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【答案】（1）8x5y6z2； （2）﹣16x6． 【解答】解：（1）2x3y2•（﹣2xy2z）2 ＝2x3y2•4x2y4z2 ＝8x5y6z2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 题型2．单项式乘多项式（共20小题） （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 21．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：B． 22．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【答案】B 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 23．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4 ＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3 ∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项， ∴2﹣a＝0， 解得，a＝2． 故选：B． 24．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【答案】A 【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2） ＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5， 又∵计算的结果不含x5项， ∴﹣4m＝0． ∴m＝0． 故选：A． 25．计算（﹣m2）3•（2m+1）的结果是（　　） A．﹣2m7﹣m6 B．﹣2m6+m6 C．﹣2m7﹣m5 D．﹣2m6﹣m5 【答案】A 【解答】解：原式＝﹣m6（2m+1） ＝﹣m6•2m﹣m6•1 ＝﹣2m7﹣m6， 故选：A． 26．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）3＝﹣a6 B．3a2•2a3＝6a5 C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5 【答案】B 【解答】解：A、（﹣a3）3＝﹣a9≠﹣a6，故该选项错误，不符合题意； B、3a2•2a3＝6a5，故该选项正确，符合题意； C、﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a≠﹣a2+a，故该选项错误，不符合题意； D、a2+a3≠a5，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 27．化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（　　） A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b 【答案】B 【解答】解：5a•（2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b， 故选：B． 28．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵ab2＝﹣1， ∴原式＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝1+1﹣1＝1， 故选：C． 29．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【答案】A 【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：A． 30．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M•N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5， ∴M•N+P ＝（x2﹣ax+3）•（﹣x）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3+ax2﹣3x+x3+3x2+5 ＝（a+3）x2﹣3x+5， ∵M•N+P的值与x2的取值无关， ∴a+3＝0， 解得a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 31．计算：a（a+3）＝a2+3a ． 【答案】a2+3a 【解答】解：a（a+3）＝a2+3a． 故答案为：a2+3a． 32．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■ （1）被污染的整式◆＝　2x﹣1　 ；■＝x2﹣4x+3　 ； （2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由条件可得◆＝2x﹣1，■＝x2﹣4x+3； 故答案为：2x﹣1，x2﹣4x+3； （2）由条件可得：◆+■﹣1＝2x﹣1+x2﹣4x+3﹣1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0， ∴◆与■的和大于1． 33．已知x2﹣2＝y，求x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值． 【答案】0． 【解答】解：∵x2﹣2＝y， ∴x2﹣y＝2， ∴x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2 ＝x2﹣3xy+3xy﹣y﹣2 ＝x2﹣y﹣2 ＝2﹣2 ＝0． 34．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米． （1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）防洪堤坝的横断面积S[a+（a+2b）]a a（2a+2b） a2ab． 故防洪堤坝的横断面积为（a2ab）平方米； （2）堤坝的体积V＝Sh＝（a2ab）×100＝50a2+50ab． 故这段防洪堤坝的体积是（50a2+50ab）立方米． 35．计算： （1）（2ab）2﹣4a2b（b+1）； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【答案】（1）﹣4a2b； （2）﹣16x6． 【解答】解：（1）原式＝4a2b2﹣4a2b2﹣4a2b ＝﹣4a2b； （2）原式＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 36．张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？ 【答案】小刚说的对，理由详见解答． 【解答】解：小刚说的对，理由： a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab ＝a2+a2+ab﹣2a2﹣ab ＝0， 由于结果与a，b的值无关，因此小刚说得对． 37．计算：a（a+2b）﹣2ab． 【答案】a2． 【解答】解：a（a+2b）﹣2ab ＝a2+2ab﹣2ab ＝a2． 38．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x，y， ∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 39．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x[x（x+m）+nx（x+1）+m]x（x2+mx+nx2+nx+m）（1+n）x3（m+n）x2mx， 根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n＝0，m+n＝0， 解得：m＝1，n＝﹣1． 40．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1， 正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2． 题型3．多项式乘多项式（共20小题） （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 41．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m， 又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项， ∴3+m＝0， 解得m＝﹣3． 故选：A． 42．若关于x的多项式（x2+ax+1）（x﹣3）展开合并后不含x2项，则a的值是（　　） A．3 B． C．0 D．﹣2 【答案】A． 【解答】解：∵多项式（x2+ax+1）（x﹣3）＝x3+（a﹣3）x2+（1﹣3a）x﹣3不含x2项， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3． 故选：A． 43．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【答案】A 【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣9，ab＝14， ∴a，b的值可能分别是﹣2，﹣7， 故选：A． 44．已知a+b＝2，ab＝3，则（1﹣a）（1﹣b）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵a+b＝2，ab＝3， ∴（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣b﹣a+ab＝1﹣（b+a）+ab＝1﹣2+3＝2； 故选：D． 45．已知m+n＝2，mn＝﹣1，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣5 【答案】C 【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣1， ∴（m﹣2）（n﹣2） ＝mn﹣2m﹣2n+4 ＝mn﹣2（m+n）+4 ＝﹣1﹣2×2+4 ＝﹣1， 故选：C． 46．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则（a+1）（b+1）的值为（　　） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【解答】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝17， ∴a+b＝9， ∴（a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1 ＝17+9+1 ＝27， 故选：A． 47．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项，则p＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D． 【答案】A 【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q） ＝x4+px3+8x2﹣3x3﹣3px2﹣24x﹣qx2﹣pqx﹣8q ＝x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p﹣q）x2﹣（24+pq）x﹣8q． ∵（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项， ∴p﹣3＝0． ∴p＝3． 故选：A． 48．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　） A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2 【答案】A 【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2， 故选：A． 49．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形．下列判断正确的是（　　） A．甲种纸片剩余7张 B．丙种纸片剩余10张 C．乙种纸片缺少2张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【解答】解：∵（5x+4y）（3x+y）＝15x2+17xy+4y2， ∴要拼接一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形，需要甲种纸片15张，乙种纸片17张，丙种纸片4张， ∴乙种纸片缺少2张． 故选：C． 50．若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵多项式（2x+4）（x﹣k）＝2x2+（4﹣2k）x﹣4k不含x项， ∴4﹣2k＝0， 解得k＝2． 故答案为：2． 51．已知m+n＝2，mn＝﹣4，则（1﹣m）（1﹣n）＝　﹣5　 ． 【答案】﹣5 【解答】解：（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn， ∵m+n＝2，mn＝﹣4， ∴原式＝1﹣2﹣4＝﹣5． 故答案为：﹣5． 52．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n） ＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx ＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx， ∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项， ∴， 由①得：m＝﹣2， 把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4， ∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8， 故答案为：8． 53．从前，一位农场主把一块长a米、宽b米（b＞5）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是　（ab﹣5a+5b﹣25）　 米2，相比第一年的租地面积 　变小　 ．（填：变大、变小或没有变化） 【答案】（ab﹣5a+5b﹣25）；变小． 【解答】解：第一年张老汉租地面积是：ab平方米， 第二年张老汉租地面积是：（a+5）（b﹣5）＝（ab﹣5a+5b﹣25）平方米； ∵ab﹣（ab﹣5a+5b﹣25）＝5a﹣5b+25＝5（a﹣b）+25，a﹣b＞0， ∴ab＞ab﹣5a+5b﹣25， ∴第二年张老汉的租地面积相比第一年的租地面积变小． 故答案为：（ab﹣5a+5b﹣25）；变小． 54．如果多项式ax+b与2x+1的乘积展开式中不含x的一次项且常数项为6，则a+b的值为 　﹣6　 ． 【答案】﹣6 【解答】解：由题意得： （ax+b）（2x+1）＝2ax2+ax+2bx+b＝2ax2+（a+2b）x+b， ∴b＝6，a+2b＝0， ∴a＝﹣12，b＝6． 故答案为：﹣6． 55．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为 　2x+y ，多项式B为 　2x﹣y ，例题的计算结果为 y2+4x2 ； （2）计算：A•B+A2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）A＝2x+y，B＝2x﹣y， 原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy ＝y2+4x2， 故答案为：2x+y；2x﹣y；y2+4x2． （2）A•B+A2 ＝（2x+y）•（2x﹣y）+（2x+y）2 ＝（2x）2﹣y2+4x2+4xy+y2 ＝8x2+4xy． 56．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab； （2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）． 57．小诚计算（3x﹣3a）（5x+a）时，由于把第一个多项式中的“﹣3a”看成了“+3a”，得到的结果为． （1）求a的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）（3x﹣3a）（5x+a） ＝15x2﹣15ax+3ax﹣3a2 ＝15x2﹣12ax﹣3a2， 当时，原式． 58．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①（a+b）4展开式中a3b的系数是 　4　 ； ②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 　210 ； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①根据已知可得，（a+b）4展开式中a3b的系数是4； ②根据已知可得，（a+b）0展开式中所有项的系数和为1＝20， （a+b）2展开式中所有项的系数和为1+2+1＝22， （a+b）3展开式中所有项的系数和为1+3+3+1＝8＝23， （a+b）4展开式中所有项的系数和为1+4+6+4+1＝24， ⋯， 则（a+b）10展开式中所有项的系数和为210． 故答案为：4；210． （2）∵， ∴当x＝0时，， 当x＝1时，a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025+a2026＝1， ∴a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025＝2． （3）由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3， ， ∴， ∴ ． 59．（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）； （2）x+4，20． 【解答】解：（1）（ax﹣b）（3x2+x+2） ＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b ＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b， ∵关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5， ∴， ①×2得：2a﹣6b＝0③， ②﹣③得：b＝﹣1， 把b＝﹣1代入①得：a＝﹣3， ∴； （2）设另一个因式为x+c， ∴（x+c）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k， 2x2﹣5x+2cx﹣5c＝2x2+3x﹣k， 2x2+（2c﹣5）x﹣5c＝2x2+3x﹣k， ∴2c﹣5＝3，5c＝k， 解得c＝4，k＝20， ∴另一个因式为x+4，k＝20． 60．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①计算：S甲＝m2+12m+27　 ，S乙＝m2+10m+24　 ； ②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲　＞　 S乙． （2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正． ①该正方形的边长是 m+5　 （用含m的代数式表示）； ②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24． 故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24． ②∵S甲﹣S乙 ＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24） ＝2m+3＞0， ∴S甲＞S乙． 故答案为：＞． （2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20， ∴C正＝4m+20． ∴该正方形的边长为． 故答案为：m+5． ②正确，理由如下： ∵m2+10m+25，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24， ∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1． ∴S正与S乙的差是1，故与m无关． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章第二节 整式的乘法 题型1 单项式乘单项式 题型2 单项式乘多项式 题型3 多项式乘多项式 题型1．单项式乘单项式（共20小题） 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1．已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A＝x2+ex+f，B＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，下列结论中，正确个数为（　　） ①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10； ②当多项式A•B乘积不含x4时，则e＝6； ③a+b+c＝19； ④当A能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4； ⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m＝﹣2． A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列计算正确的是（　　） A．2a•4a＝8a B．a3•a4＝a7 C．a8÷a4＝a2 D．（a3）4＝a7 3．长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为（　　） A．9x3y2 B．18x3y2 C．18x2y D．6xy2 4．一个长方形的宽是1.5×102cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积（用科学记数法表示）是（　　） A．13.5×104 cm2 B．1.35×105 cm2 C．1.35×104 cm2 D．1.35×103 cm2 5．下列算式：①3a3•（2a2）2＝12a12；②（2×103）（103）＝106；③﹣3xy•（﹣2xyz）2＝12x3y3z2；④4x3•5x4＝9x12．其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如果“□×2ab＝2a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　） A．ab B．2ab C．a D．2a 7．下列运算正确的是（　　） A．a4+a5＝a9 B．2a3×3a5＝5a9 C．（a﹣b）3•（b﹣a）2＝（a﹣b）5 D．（﹣xy2z）2＝﹣x2y4z2 8．下列各式中，计算正确的是（　　） A．2a2•3a3＝5a5 B．﹣3a2•（﹣2a）＝﹣6a3 C．2a3•5a2＝10a5 D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5 9．下列计算中，错误的是（　　） A．（2xy）3（﹣2xy）2＝32x5y5 B．（﹣2ab2）2（﹣3a2b）3＝﹣108a8b7 C． D． 10．（﹣2x3）3•（x2）2＝　 　 ． 11．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 　 　 ． 账号：shulishijie [x19y8z8]＝1988 [x2yz•x3y]＝521 [（x5）5y4z6÷x5y2z]＝密码 12．若（am+1bn+2）•（a2n﹣1bn）＝a5b3，则m+n的值为　 　 ． 13．计算： 　 　 ． 14．计算式子（4×106）×（﹣8×108）的结果用科学记数法表示为 　 　 ． 15．计算5x2y•（﹣3xy3）＝　 　 ． 16．计算： （1）﹣4xy2•（xy2）2•（﹣2x2）3； （2）（﹣a3b6）2+（﹣a2b4）3． 17．计算： （1）（n﹣m）3（m﹣n）2﹣（m﹣n）5； （2）（﹣0.25）12×413； （3）2x5⋅x5+（﹣x）2⋅x（﹣x）7； （4）（﹣2a2b3）4+（﹣a）8⋅（b4）3． 18．计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 19．计算： 20．计算： （1）2x3y2•（﹣2xy2z）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 题型2．单项式乘多项式（共20小题） （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 21．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 22．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 23．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如果计算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的结果不含x5项，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 25．计算（﹣m2）3•（2m+1）的结果是（　　） A．﹣2m7﹣m6 B．﹣2m6+m6 C．﹣2m7﹣m5 D．﹣2m6﹣m5 26．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）3＝﹣a6 B．3a2•2a3＝6a5 C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5 27．化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（　　） A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b 28．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 29．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 30．已知M＝x2﹣ax+3，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5且M•N+P的值与x2的取值无关，则a的值为 　 　 ． 31．计算：a（a+3）＝　 　 ． 32．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■ （1）被污染的整式◆＝　 　 ；■＝　 　 ； （2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由． 33．已知x2﹣2＝y，求x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值． 34．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高米． （1）求防洪堤坝的横断面积； （2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 35．计算： （1）（2ab）2﹣4a2b（b+1）； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 36．张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a（a+b）﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？ 37．计算：a（a+2b）﹣2ab． 38．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 39．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 40．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 题型3．多项式乘多项式（共20小题） （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 41．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 42．若关于x的多项式（x2+ax+1）（x﹣3）展开合并后不含x2项，则a的值是（　　） A．3 B． C．0 D．﹣2 43．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 44．已知a+b＝2，ab＝3，则（1﹣a）（1﹣b）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 45．已知m+n＝2，mn＝﹣1，则（m﹣2）（n﹣2）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣5 46．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则（a+1）（b+1）的值为（　　） A．27 B．30 C．33 D．36 47．若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）乘积中不含x2和x3项，则p＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D． 48．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　） A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2 49．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为（5x+4y）和（3x+y）的长方形．下列判断正确的是（　　） A．甲种纸片剩余7张 B．丙种纸片剩余10张 C．乙种纸片缺少2张 D．甲种和乙种纸片都不够用 50．若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 　 　 ． 51．已知m+n＝2，mn＝﹣4，则（1﹣m）（1﹣n）＝　 　 ． 52．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　 　 ． 53．从前，一位农场主把一块长a米、宽b米（b＞5）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是　 　 米2，相比第一年的租地面积 　 　 ．（填：变大、变小或没有变化） 54．如果多项式ax+b与2x+1的乘积展开式中不含x的一次项且常数项为6，则a+b的值为 　 　 ． 55．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为 　 　 ，多项式B为 　 　 ，例题的计算结果为 　 　 ； （2）计算：A•B+A2． 56．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 57．小诚计算（3x﹣3a）（5x+a）时，由于把第一个多项式中的“﹣3a”看成了“+3a”，得到的结果为． （1）求a的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 58．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到：（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①（a+b）4展开式中a3b的系数是 　 　 ； ②（a+b）10展开式中所有项的系数和为 　 　 ； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记an，求的值． 59．（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 60．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙． （1）①计算：S甲＝　 　 ，S乙＝　 　 ； ②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲　 　 S乙． （2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正． ①该正方形的边长是 　 　 （用含m的代数式表示）； ②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $