5.1轴对称及其性质 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“轴对称及其性质”核心知识点，系统梳理轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对称轴的确定方法）与轴对称图形概念（定义、常见图形特征），通过折叠操作、格点问题、实际应用等题目构建学习支架，衔接几何直观与空间观念的培养。 资料特色在于融合折纸实验（如折中线、角平分线）和生活实例（国庆造型面积计算），助力学生用数学眼光观察对称美，通过推理题（蝴蝶图案全等与角度关系）发展推理意识，课中辅助动手理解性质，课后题目分层覆盖，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第五章第一节 轴对称及其性质 题型1 轴对称的性质 题型2 轴对称图形 题型1．轴对称的性质（共30小题） （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 2．如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，AB＝10，AC＝4，BC＝9， ∴AD＝DE，AC＝CE， ∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝10+5＝15． 故选：B． 3．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线； ②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线； ③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：A． 4．如图是一个风筝的设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，AB＞AD），点A关于对称轴的对应点为点C，则下列推断不正确的是（　　） A．AD＝CD B．S四边形ABCD＝AC•BD C．△ABD≌△CBD D．∠BAC＝∠BCA 【答案】B 【解答】解：∵主体部分关于BD所在的直线对称， ∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB， ∴AD＝CD，∠BAC＝∠BCA， S四边形ABCD＝AC•BD 故选项A、C、D推断正确，选项B推断不正确． 故选：B． 5．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN 【答案】C 【解答】解：A．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥BE，故本选项正确； B．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，故本选项正确； C．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AB＝DE，AB与DF不相等，故本选项不一定正确； D．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，故本选项正确； 故选：C． 6．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（　　） ①OB⊥OD； ②∠BOC≠∠AOB； ③OE＝OF； ④∠BOC+∠AOD＝180° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， 由对称得∠AOB＝∠DOC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，OE⊥OF， ∴∠BOC＝∠AOB，∠DOF＝∠DOC， ∴∠BOF+∠DOF＝90°， ∴OB⊥OD，结论①正确； ∠BOC不一定等于∠AOB，结论②错误； 由对称得△OAB≌△ODC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，结论③正确； 过O作GM⊥OH， ∴∠GOD+∠DOH＝90°， ∵∠BOH+∠DOH＝90°， ∴∠GOD＝∠BOH， 根据对称得∠BOH＝∠COH， ∴∠GOD＝∠COH， 同理可证∠AOM＝∠BOH， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论④正确， 所以推断正确的是①③④． 故选：C． 7．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O．则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．AA'⊥MN C．OM＝ON D．BO＝B'O 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线MN对称，BB'交MN于点O， ∴△ABC≌△A'B'C′，AA′⊥MN，BO＝B'O， ∴∠ABC＝∠A′B′C′， 故不一定正确的是OM＝ON． 故选：C． 8．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 9．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：分别连接OP1，OP2，P1P2，如图所示， 则P1P2＜OP1+OP2， 由对称知：OP1＝OP2＝OP＝2.6， ∴P1P2＜5.2， ∵P1P2＞0， ∴0＜P1P2＜5.2． ∴A、C、D三个选项中提供的数值均不在上述范围内． 故选：B． 10．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　15　 ． 【答案】15 【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N． ∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15． 故答案为：15 11．如图，将等边三角形FBD分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形FBD的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么a﹣b＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意， 解得， ∴a﹣b＝1﹣＝． 故答案为：． 12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是　9.6　 ，点M1，M2之间的距离的最大值是　16　 ． 【答案】9.6；16 【解答】解：连接AM，AM1，AM2， ∵点M1和点M关于AB对称， ∴AM＝AM1，∠1＝∠2， ∵点M2和点M关于AC对称， ∴AM＝AM2，∠3＝∠4， ∵∠BAC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴A，M1，M2三点共线， ∴M1M2＝AM1+AM2＝2AM， ∴当AM最小时，M1M2最小． ∵M是BC上一点， ∴AM⊥BC时，AM最小， 此时， ∴6×8＝10AM， ∴AM＝4.8， ∴M1M2的最小值为2×4.8＝9.6． ∵M是BC上一点， ∴点M与点B重合时，AM最大， ∴M1M2的最大值为2×8＝16， 故点M1，M2之间的距离最小值是9.6，点M1，M2之间的距离最大值是16， 故答案为：9.6；16． 13．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　19　 ． 【答案】19． 【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故答案为：19． 14．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①AM＝BM；②AP＝BN；③∠MAP＝∠MBP；④∠ANP＝∠BNM，其中说法错误的是 　②　 ． 【答案】② 【解答】解：如图，∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点， ∴AM＝BM；AP＝BP；∠MAP＝∠MBP；∠ANP＝∠BNM， ∴说法错误的有AP＝BN， 故答案为：②． 15．如图，△ABD与△ADC关于直线AD对称，E，F是线段AD上的任意两点，若BC＝6cm，AD＝5cm，则图中阴影部分的面积是　7.5　 cm2． 【答案】7.5． 【解答】解：∵△ABD与△ADC关于直线AD对称， ∴BD＝DC＝BC， ∵BC＝6cm， ∴BD＝DC＝3cm． 点E，F是线段AD上任意两点， ∴BE＝CE，BF＝CF， ∵EF＝EF， ∴△BEF≌△CEF， ∴S△BEF＝S△CEF． ， ∴阴影部分面积7.5cm2． 故答案为：7.5． 16．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝　100°　 ． 【答案】100°． 【解答】解：∵∠A＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝80°， 由折叠的性质得：∠MGN＝∠B，∠EGF＝∠C， ∴∠MGN+∠EGF＝∠B+∠C＝80°， ∴∠MGE＝180°﹣（∠MGN+∠EGF）＝100°． 故答案为：100°． 17．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC．若∠D＝122°，则∠B的度数为　58°　 ． 【答案】58°． 【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，∠D＝122°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣122°＝58°， ∴∠B＝∠C＝58°； 故答案为：58°． 18．如图是一张锐角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出点D或线段BD：①线段AC的中点D；②BD平分∠ABC；③BD是AC边上的高．以上点D或线段BD能通过折纸折出的是　①②③　 （填写序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：由题知， 将边AC对折，使得点A和点C重合， 则折痕与AC的交点即为线段AC的中点． 故①符合题意． 将∠B对折，使得点A落在BC边上， 则折痕即平分∠ABC． 故②符合题意． 将△ABC沿着过点B的直线对折，使得点A落在AC上， 则折痕即为AC边上的高． 故③符合题意． 故答案为：①②③． 19．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C落在点B处，得到折痕AP后展开纸片；（2）如图②，将∠BPA对折，点B落在折痕AP上的点B'处，得到折痕PM；（3）如图③，将∠CPM对折，点C落在折痕PM上的点C'处，得到折痕PN，则∠MPN＝ 　67.5　 °． 【答案】67.5 【解答】解：由折叠可知：∠BPM＝45°，∠CPN＝∠MPN＝∠CPM， ∵∠BPC＝180°， ∴∠CPM＝180°﹣∠BPM＝135°， ∴∠MPN＝×135°＝67.5°， 故答案为：67.5． 20．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线（过入射点且垂直于镜面的一条直线）成轴对称（如图①）．在图②中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B ． 【答案】B． 【解答】解：如图，补全图形并作出法线OK， 光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B， 故答案为：B． 21．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：如图所示，n的最小值为3， 故答案为：3． 22．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　70　 °． 【答案】70． 【解答】解：由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED， ∵∠BED+∠B′ED＝180°， ∴∠BED＝∠B′ED＝90°， ∴∠EDF+∠B′ED＝180°， ∴AB∥DF， ∴∠CFD＝∠A＝70°， 故答案为：70． 23．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】（1）100°； （2）①180°﹣2x；②108°． 【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC， ∴∠AMN+∠MNB＝180°， 又∵∠AMN＝110°， ∴∠MNB＝70°， 由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°， ∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ， 在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE， ∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°， ∴∠GMD＝∠ENQ， 设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度， 在△NEQ中，2x+y＝180°， ∴y＝180°﹣2x， 故答案为：y＝180°﹣2x； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ， ∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB， 由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°， ∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°， ∴∠GMD＝36°， 即x＝36°， 由①知，y＝180°﹣2x ∴y＝180°﹣2×36°＝108°． 24．在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】 （1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数； （2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数； （3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE， ∵∠AOE＝35°， ∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°， ∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°； （2）由折叠性质可知：，， ∵∠AOA′+∠BOB′＝180°， ∴ ＝ ＝90°， 即∠EOF＝90°； （3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为： 或． 理由：由折叠性质可知：，， ①当点B′在点A′的左侧时，如图3， ∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°， ∴， ∴； ②当点B′在点A′的右侧时，如图4， ∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°， ∴， ∴， 综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为： 或． 25．已知在△ABC中，∠CAB＝60°． （1）如图1，点P在△ABC内，且P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，连接AP1，AP2，则∠P1AP2＝ 　120°　 ． （2）如图2，在（1）的基础上，若P3是点P关于BC的对称点，求∠P1BP3+∠P2CP3的度数． （3）如图3，若点P在△ABC的外部（靠近BC边），点P关于直线AB，AC，BC的对称点分别为P1，P2，P3，分别连接BP，BP1，CP，CP2，CP3，若∠BPC＝146°，求∠PBP1+∠PCP2的度数． 【答案】（1）120°； （2）∠P1BP3+∠P2CP3的度数为240°； （3）∠PBP1+∠PCP2的度数为308°． 【解答】解：（1）∵P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点， ∴∠PAB＝∠P1AB，∠PAC＝∠P2AC， ∴∠PAB+∠PAC＝∠P1AB+∠P2AC，即∠CAB＝∠P1AB+∠P2AC， ∵∠CAB＝60°， ∴∠P1AB+∠P2AC＝60°， ∴∠P1AP2＝∠P1AB+∠P2AC+∠CAB＝60°+60°＝120°； 故答案为：120°； （2）∵P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，P3是点P关于BC的对称点， ∴∠PCA＝∠P2CA，∠PCB＝∠P3CB，∠PBA＝∠P1BA，∠PBC＝∠P3BC， ∴∠PCA+∠PCB＝∠P2CA+∠P3CB，即∠ACB＝∠P2CA+∠P3CB， ∠PBA+∠PBC＝∠P1BA+∠P3BC，即∠ABC＝∠P1BA+∠P3BC， ∴∠ACB+∠ABC＝∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠CAB＝120°， ∴∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC＝120°， ∴∠P1BP3+∠P2CP3＝∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC+∠ACB+∠ABC＝120°+120°＝240°； 即∠P1BP3+∠P2CP3的度数为240°； （3）∵∠CAB＝60°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠CAB＝120°， ∵∠BPC＝146°， ∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣∠BPC＝34°， ∴∠ACB+∠ABC+∠PCB+∠PBC＝120°+34°＝154°，即∠ACP+∠ABP＝154°， ∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为P1，P2， ∴∠ABP＝∠ABP1，∠ACP＝∠ACP2， ∴∠ACP+∠ABP＝∠ACP2+∠ABP1＝154°， ∴∠PBP1+∠PCP2＝∠ACP+∠ABP+∠ACP2+∠ABP1＝154°+154°＝308°； 即∠PBP1+∠PCP2的度数为308°． 26．在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理： ∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①　两点确定一条直线　 此处填推理的依据） ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（②　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论． 【答案】（1）；（2）①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；（3）见解答． 【解答】解：（1）因为KL∥MN， 所以∠KAP＝∠APN＝α， 由折叠的性质可知， 所以； （2）∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（两点确定一条直线）； ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行． （3）由∠KAB＝∠BAP和∠LAC＝∠CAP得∠BAC＝90°， 连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°． 所以∠ACN+∠ABM＝270°． 由题意，∠ACN＝∠ACN'，∠ABM＝∠ABM'， 所以∠ACN'+∠ABM'＝270°， 所以∠BCN'+∠CBM'＝270°﹣90°＝180°， 所以BM'∥CN'． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M、N分别在边AB、BC上，且点A、B关于直线MN对称，连接AN．若、，且△ABC的周长为24．求△ACN的周长． 【答案】14． 【解答】解：由条件可知AC+BC+AB＝24， ∵，， ∴， 解得：AC＝6， ∴BC＝8，AB＝10， 由条件可知AN＝BN， ∴△ACN的周长＝AC+CN+AN＝AC+CN+BN＝AC+BC＝6+8＝14． 28．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合． （1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数； （3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式． 【答案】（1）70°； （2）65°； （3）∠1+∠2＝2∠A． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°； （2）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴，， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∵∠1+∠2＝130°， ∴； （3）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴，， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A． 29．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F，连接PE，PF．若MN＝12cm，求△PEF的周长． 【答案】12cm． 【解答】解：∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称， ∴EM＝EP，FP＝FN， ∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）． 30．国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为a的半圆，摆放花草，其余部分为展板（阴影部分）．（单位：米） （1）摆放花草的面积为 　　 米2，（用含a的代数式表示，结果保留π）展板的面积是 　8a 米2；（用含a的代数式表示） （2）已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，当a＝2时，求制作整个造型的造价（π取3）． 【答案】（1） 8a；（2）3980元． 【解答】解：（1）摆放花草的面积为米2，展板的面积是8a米2； 故答案为：，8a； （2）造价为：＝3980（元）． 答：制作整个造型的造价为3980元． 题型2．轴对称图形（共30小题） （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 31．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 32．下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 33．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B、C、D选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：A． 34．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 所以在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 35．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、C、D选项中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 36．博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 37．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 38．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 39．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 40．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 41．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A、B、C的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图标能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 42．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项B、C、D的甲骨文均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项A的甲骨文能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意． 故选：A． 43．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．知 B．物 C．由 D．学 【答案】C 【解答】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，则可判断如下： A、“知”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“知”不是轴对称图形． B、“物”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“物”不是轴对称图形． C、“由”字沿着中间的一条竖直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以“由”是轴对称图形． D、“学”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“学”不是轴对称图形． 故选：C． 44．下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 45．下列说法正确的是（　　） ①角是轴对称性图形 ②角的平分线就是角的对称轴 ③将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：根据轴对称图形及其对称轴的定义逐项分析判断如下： ①中，角是轴对称性图形，正确，故符合题意； ②中，角的平分线是射线，角的对称轴是直线，故错误，故不符合题意； ③中，将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴，正确，故符合题意； 故正确的是①③， 故选：B． 46．南京师范大学附属中学的校训是“嚼得菜根，做得大事”．下列四个黑体字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A．做 B．得 C．大 D．事 【答案】C 【解答】解：选项A、B、D中的黑体字均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 选项C中的黑体字能找到这样一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 47．下列图形，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 48．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（　　）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：如图所示，四个位置均可，一共有4种画法， 故选：A． 49．第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 50．中华酒文化源远流长，如图是某传统酿酒工艺装置部分玻璃仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（　　） A．克氏蒸馏烧瓶 B．发生器 C．分液漏斗 D．锥形瓶 【答案】D 【解答】解：A．克氏蒸馏烧瓶不是轴对称图形，不符合题意； B．发生器不是轴对称图形，不符合题意； C．分液漏斗不是轴对称图形，不符合题意； D．锥形瓶是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 51．数学考试必备学习用具：黑色的水笔，2B铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：C． 52．分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意； B、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意； C、图形不是以直线l为对称轴的轴对称图形，符合题意； D、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 53．如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于直线l成轴对称，则盖住的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据轴对称的定义，挡板盖住的图形为A，只有A能沿直线l对折后能与①能够完全重合． 故选：A． 54．公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 　3　 条对称轴． 【答案】3 【解答】解：等边三角形是我们学过的轴对称图形，它有3条对称轴． 故答案为：3． 55．正六边形有　6　 条对称轴． 【答案】6 【解答】解：如图所示： ， 故答案为：6． 56．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是2． 故答案为：2． 57．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 　10　 cm． 【答案】10． 【解答】解：∵△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴， ∴AE＝CE ∴AE+BE＝CE+BE， ∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm， ∴AE+BE＝CE+BE＝10（cm）， ∴AB＝10cm． 故答案为：10． 58．如图所示的轴对称图形有 　4　 条对称轴． 【答案】4． 【解答】解：如图所示： 该轴对称图形有4条对称轴． 故答案为：4． 59．如图，长方形ABCD中，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b），四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是　　 时，图形是一个轴对称图形． 【答案】 【解答】解：∵当图形是一个轴对称图形，则必须满足DG＝CG＝EC，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b）， ∴GC＝DG＝b，BE＝b，EC＝b， ∴a、b满足的等量关系是：a＝b． 故答案为：a＝b． 60．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上． （1）指出△ABC与△ADE的对称点； （2）指出△ABC与△ADE中相等的线段和角； （3）在不添加字母和线段的情况下，图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 【答案】答案见解答． 【解答】解：（1）点A和自己是对称点，点B、D是对称点，点C、E是对称点． （2）相等的线段有：AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE． 相等的角有：∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E． （3）有．分别是△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，都关于直线MN成轴对称． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章第一节 轴对称及其性质 题型1 轴对称的性质 题型2 轴对称图形 题型1．轴对称的性质（共30小题） （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 3．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．如图是一个风筝的设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，AB＞AD），点A关于对称轴的对应点为点C，则下列推断不正确的是（　　） A．AD＝CD B．S四边形ABCD＝AC•BD C．△ABD≌△CBD D．∠BAC＝∠BCA 5．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN 6．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（　　） ①OB⊥OD； ②∠BOC≠∠AOB； ③OE＝OF； ④∠BOC+∠AOD＝180° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O．则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．AA'⊥MN C．OM＝ON D．BO＝B'O 8．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 9．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．6 D．7 10．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　 　 ． 11．如图，将等边三角形FBD分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形FBD的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么a﹣b＝ 　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是　 　 ，点M1，M2之间的距离的最大值是　 　 ． 13．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　 　 ． 14．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①AM＝BM；②AP＝BN；③∠MAP＝∠MBP；④∠ANP＝∠BNM，其中说法错误的是 　 　 ． 15．如图，△ABD与△ADC关于直线AD对称，E，F是线段AD上的任意两点，若BC＝6cm，AD＝5cm，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2． 16．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝　 　 ． 17．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC．若∠D＝122°，则∠B的度数为　 　 ． 18．如图是一张锐角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出点D或线段BD：①线段AC的中点D；②BD平分∠ABC；③BD是AC边上的高．以上点D或线段BD能通过折纸折出的是　 　 （填写序号）． 19．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C落在点B处，得到折痕AP后展开纸片；（2）如图②，将∠BPA对折，点B落在折痕AP上的点B'处，得到折痕PM；（3）如图③，将∠CPM对折，点C落在折痕PM上的点C'处，得到折痕PN，则∠MPN＝ 　 　 °． 20．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线（过入射点且垂直于镜面的一条直线）成轴对称（如图①）．在图②中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是　 　 ． 21．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为 　 　 ． 22．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　 　 °． 23．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 24．在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1； 【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】 （1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数； （2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数； （3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由． 25．已知在△ABC中，∠CAB＝60°． （1）如图1，点P在△ABC内，且P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，连接AP1，AP2，则∠P1AP2＝ 　 　 ． （2）如图2，在（1）的基础上，若P3是点P关于BC的对称点，求∠P1BP3+∠P2CP3的度数． （3）如图3，若点P在△ABC的外部（靠近BC边），点P关于直线AB，AC，BC的对称点分别为P1，P2，P3，分别连接BP，BP1，CP，CP2，CP3，若∠BPC＝146°，求∠PBP1+∠PCP2的度数． 26．在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理： ∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①　 　 此处填推理的依据） ∵BM'∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM'∥CN'．（②　 　 此处填推理的依据） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M、N分别在边AB、BC上，且点A、B关于直线MN对称，连接AN．若、，且△ABC的周长为24．求△ACN的周长． 28．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合． （1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数； （3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式． 29．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F，连接PE，PF．若MN＝12cm，求△PEF的周长． 30．国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为a的半圆，摆放花草，其余部分为展板（阴影部分）．（单位：米） （1）摆放花草的面积为 　 　 米2，（用含a的代数式表示，结果保留π）展板的面积是 　 　 米2；（用含a的代数式表示） （2）已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，当a＝2时，求制作整个造型的造价（π取3）． 题型2．轴对称图形（共30小题） （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 31．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 32．下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 33．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 34．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 35．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 36．博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 37．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 38．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 39．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 40．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 41．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 42．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 43．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．知 B．物 C．由 D．学 44．下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 45．下列说法正确的是（　　） ①角是轴对称性图形 ②角的平分线就是角的对称轴 ③将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 46．南京师范大学附属中学的校训是“嚼得菜根，做得大事”．下列四个黑体字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A．做 B．得 C．大 D．事 47．下列图形，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 48．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（　　）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 49．第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 50．中华酒文化源远流长，如图是某传统酿酒工艺装置部分玻璃仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（　　） A．克氏蒸馏烧瓶 B．发生器 C．分液漏斗 D．锥形瓶 51．数学考试必备学习用具：黑色的水笔，2B铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 52．分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（　　） A． B． C． D． 53．如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于直线l成轴对称，则盖住的图形是（　　） A． B． C． D． 54．公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 　 　 条对称轴． 55．正六边形有　 　 条对称轴． 56．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 　 　 ． 57．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 　 　 cm． 58．如图所示的轴对称图形有 　 　 条对称轴． 59．如图，长方形ABCD中，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b），四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是　 　 时，图形是一个轴对称图形． 60．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上． （1）指出△ABC与△ADE的对称点； （2）指出△ABC与△ADE中相等的线段和角； （3）在不添加字母和线段的情况下，图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $