5.2简单的轴对称图形 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦简单轴对称图形的核心性质，系统梳理角平分线（点到两边距离相等）、线段垂直平分线（到两端点距离相等）、等腰三角形（等边对等角、三线合一）的知识点，构建从基础性质到综合应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（选择、填空、解答），从基础应用到综合探究（如角平分线与面积结合、垂直平分线作图应用），培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性查漏补缺，强化知识理解与应用。

第五章第二节 简单的轴对称图形 题型1 角平分线的性质 题型2 线段垂直平分线的性质 题型3 等腰三角形的性质 题型1．角平分线的性质（共20小题） 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD＝×6×3＝9． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　） A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2 【答案】A 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD＝OE， ∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB， ∵AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2， ∴． 故选：A． 3．如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF＝15， ∵AB＝10， ∴DF＝3， ∴DE＝3； 故选：C． 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴×5×4+×AC×4＝24， ∴AC＝7． 故选：D． 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD＝3， ∴DF＝CD＝3， ∵点E为AB的中点，AB＝12， ∴BE＝6， ∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9， 故选：C． 6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC＝（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°+∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO＝∠EBC， ∴∠EBO＝∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEF＝AE•m+AF•m＝m（AE+AF）＝mn，所以④正确． 故选：D． 7．如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】D 【解答】解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF， ∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∵∠A＝100°， ∴∠BPC＝90°+×100°＝140°． 故选：D． 8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【解答】解：过F作FH⊥BC于H， ∵BF平分∠ABC，FE⊥AB， ∴FH＝FE＝3， ∵AD为BC边上的中线，BC＝9， ∴CD＝BC＝， ∴△CDF的面积＝CD•FH＝． 故选：C． 9．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC＝∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE+∠BAC）， ＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， ＝（∠ABD﹣∠ACE）， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 10．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【解答】解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平地内， ∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点， ∴可供选择的地址仅有一处． 故选：A． 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　3　 cm． 【答案】3 【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB， ∴PH＝PD＝3cm， ∵点E是射线OB上的动点， ∴PE的最小值为3cm． 故答案为：3． 12．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则＝ 　1：10　 ． 【答案】1：10． 【解答】解：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴DM＝DN， ∵AB＝4，AC＝6，E为BC中点， ∴， ∴， 设S△ABD＝2x，S△ADC＝3x，则S△ABC＝5x，， 则， 故答案为：1：10． 13．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，点F为射线AB上一点．若PE＝5，则PF长的最小值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：过P作PH⊥AB于H， ∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC， ∴PH＝PE＝5， ∵PF≥PH， ∴PF长的最小值是5． 故答案为：5． 14．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 　27　 ． 【答案】27 【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H， ∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC， ∴OF＝OH＝OE＝3， ∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27， 故答案为：27． 15．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 16．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明： （1）CF＝EB． （2）AB＝AF+2EB． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC， 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）． ∴CF＝EB； （2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴CD＝DE． 在Rt△ADC与Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB． 17．如图所示，点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝20，BC＝18，AC＝15，OD⊥BC，OD＝5，求△ABC的面积是多少？ 【答案】132.5． 【解答】解：连接OC， ∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝20，BC＝18，AC＝15，OD⊥BC，OD＝5， ∴点O到AB，AC的距离均＝OD＝5， ∴． 故答案为：132.5． 18．【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 【答案】（1）AP平分∠BAC，理由见解析； （2）12． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 如图2，在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC； （2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PM＝PQ＝4， ∴S△APC＝AC•PM＝×6×4＝12． 19．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝15°，∠ACE＝∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 20．在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝m：n ；（用含m，n的代数式表示） （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴， 故答案为：1：1； （2）如图2，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴， 故答案为：m：n； （3）∵AD＝DE， 由（1）可知：S△ABD：S△BDE＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC， 由（2）可知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝6+3＝9， 故答案为：9． 题型2．线段垂直平分线的性质（共20小题） （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 21．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 22．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝140°， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°． 故选：C． 23．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【答案】C 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC＝∠BMN+∠BNM＝×126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 25．如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图，连接AM， ∵AC的垂直平分线l交BC于点M， ∴CM＝AM， ∵AB+BM＝BC，CM+BM＝BC， ∴AB＝CM＝AM， ∴∠C＝∠MAC，∠AMB＝∠B， 设∠C＝∠MAC＝x，则∠AMB＝∠B＝2x， ∴∠BAM＝180°﹣4x， ∵∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝x+180°﹣4x＝105°， ∴x＝25°， ∴∠B＝2x＝50°， 故选：B． 26．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AE，且AD⊥BC， ∴△ABE是等腰三角形， ∴BD＝DE， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴AB＝AE＝CE， ∴AB+BD＝DE+EC＝DC＝6， ∵△ABC的周长为20，DC＝6， ∴AC＝20﹣（AB+BD）﹣DC＝8， 故选：D． 27．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　） A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB 【答案】C 【解答】解：∵MA＝MB，NA＝NB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线； ∵MA＝MB，MN⊥AB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线； 当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线； ∵MA＝MB，MN平分AB， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线， 故选：C． 28．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选：C． 29．在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长是（　　） A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长等于50， ∴BC+CE+EB＝50， ∴BC+CE+EA＝BC+AC＝50， ∵AC＝27， ∴BC＝50﹣27＝23， 故选：B． 30．如图，以点A为圆心作弧，使弧与直线l相交于点B和点C，再分别以点A，B为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF与直线l相交于点D，若∠BAC＝38°，则∠CAD的度数是 　33°　 ． 【答案】33°． 【解答】解：由作图可知ED垂直平分线段AB，CA＝BA， ∴AD＝BD，∠ABC＝∠BCA＝（180°﹣∠BAC）＝71°， ∴∠DAB＝∠ABC＝71°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝33°． 故答案为：33°． 31．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　或或或　 ． 【答案】或或或． 【解答】解：由题可知当M和N第一次相遇时，6t﹣12＝4t， 解得t＝6， 即0＜t≤6； ①当线段MN的垂直平分线经过点A时，如图， 此时△AMN为等边三角形， ∴AM＝AN， ∴12﹣6t＝4t， 解得t＝； ②当线段MN的垂直平分线经过点B时，如图， 此时BM＝BN， ∵∠A＝∠C，AB＝CB， ∴△ABN≌△CBM（SAS）， ∴AN＝CM， 即6t﹣12＝12﹣4t， 解得t＝； ③当线段MN的垂直平分线经过点C时，如图， 此时CN＝CM， 即24﹣6t＝4t﹣12， 解得t＝； ④当线段MN的垂直平分线经过点A时， ∴CE＝BE，NE＝ME， ∴CN＝BM， ∴24﹣4t＝6t﹣24， 解得t＝； 综上，t的值为或或或； 故答案为：或或或． 32．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E．若AE＝2cm，△BCD的周长为20cm，则△ABC的周长为　24　 cm． 【答案】24． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，AE＝2cm， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝4cm， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝20cm， ∴AB+BC+AC＝20+4＝24cm，所以△ABC的周长为24cm， 故答案为：24． 33．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝43°，则∠AOC＝ 　86°　 ． 【答案】86°． 【解答】解：连接BO并延长到D， ∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O， ∴AO＝OB，OC＝OB， ∴∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C， ∴∠A+∠C＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝43°， ∵∠AOD＝∠A+∠ABO，∠COD＝∠C+∠OBC， ∴∠AOD+∠COD＝∠A+∠C+∠ABO+∠OBC， ∴∠AOC＝∠A+∠C+∠ABC＝43°+43°＝86°． 故答案为：86°． 34．在△ABC中，∠A＝110°，边AB与AC的中垂线交于点O，则∠BOC＝ 　140　 °． 【答案】140． 【解答】解：如图， ∵OM垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， 同理：∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝110°， ∴∠BOC＝360°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝360°﹣110°﹣110°＝140°． 故答案为：140． 35．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论AC⊥BD（答案不唯一）　 ． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一）． 【解答】解：AC⊥BD，理由如下： 由垂直平分线的判定可知：点A，点C在BD的垂直平分线上， 即AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 36．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝40°． 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 38．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）若△DAF的周长为20，求BC的长． 【答案】（1）∠DAF＝20°； （2）BC＝20． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°； ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝30°， 同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°； （2）∵△DAF的周长为20， ∴DA+DF+FA＝20， 由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC， ∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20． 39．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【答案】（1）见解析； （2）13cm． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴． 40．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接DF， ∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠BCE＝∠CAE． ∵AC⊥BC，BF∥AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD＝∠CBF＝90°， ∵AC＝CB， ∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF． ∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD． ∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠ABC＝45°． ∵∠FBD＝90°， ∴∠ABF＝45°． ∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF． 题型3．等腰三角形的性质（共20小题） （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 41．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【答案】D 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 42．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以，结论不一定正确的是AB＝2BD． 故选：B． 43．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 【答案】C 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长＝2+4+4＝10， 综上所述，三角形的周长为10． 故选：C． 44．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【答案】B 【解答】解：分两种情况： ①底为2cm，腰为4cm时， 等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）； ②底为4cm，腰为2cm时， ∵2+2＝4， ∴不能构成三角形； ∴等腰三角形的周长为10cm； 故选：B． 45．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　） A．70° B．30° C．40° D．20° 【答案】C 【解答】解：∵CD＝CE， ∴∠D＝∠CED， ∵∠D＝70°， ∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝40°， 故选：C． 46．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．11 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时， ∵2+2＝4＜5， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时， ∴这个等腰三角形的周长＝5+5+2＝12； 综上所述：这个等腰三角形的周长为12， 故选：B． 47．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆DE⊥BC．这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边的和大于第三边 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，BE＝EC， ∴AE⊥BC ∴DE垂直于BC的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 48．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的大小为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】A 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠1＝65°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∵∠2+∠ADC＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故选：A． 49．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 【答案】C 【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm， ∴当3cm为底时，其它两边都为6cm，3cm、6cm、6cm可以构成三角形； 当3cm为腰时，其它两边为3cm和9cm， ∵3+3＝6＜9， ∴不能构成三角形． ∴该等腰三角形的底边长只能为3cm． 故选：C． 50．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．13或14 【答案】B 【解答】解：当腰为3时，3+3＝6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6＝9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为＝3+6+6＝15． 故选：B． 51．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：由条件可知∠BAC＝∠ACD＝50°， ∵AC∥OD， ∴∠ODC＝∠ACD＝50°， ∴∠ODC＝∠OCD＝50°， ∴∠DOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：D． 52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．131° B．121° C．111° D．101° 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝48°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°， ∵BC＝BD，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣42°）＝69°， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝69°+42°＝111°， 故选：C． 53．如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD，BD、CD分别平分∠EAC，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， ∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF， ∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD） ＝180°﹣（∠EAC+∠ACF） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC） ＝180°﹣（180°+∠ABC） ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣∠ABD，故③正确； ∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC， ∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝2∠DCF﹣2∠DBC＝2（∠DCF﹣∠DBC）， ∴∠BAC＝2∠BDC，故④正确； 即正确的有4个， 故选：D． 54．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4． 因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4， 因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10． 故答案为：10． 55．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【答案】1.8． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2＝AB•EM+AC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 56．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　 ． 【答案】60°或120° 【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 57．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 58．如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：当等腰三角形的另一边为7时，7﹣2＜7＜7+2，符合三角形的三边关系，此三角形的周长＝7+7+2＝16； 当等腰三角形的另一边为2时，2+2＜7，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在； 故答案为：16． 59．等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为　40°　 ． 【答案】40° 【解答】解：∵100°为三角形的顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故答案为：40°． 60．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长． 解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10， 所以等腰三角形的周长为4+4+10＝18． 判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法． 【答案】以上解法不正确，正确的解法见解答． 【解答】解：以上解法不正确， 正确的解法如下： 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时， ∵4+4＝8＜10， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长＝10+10+4＝24； 综上所述：这个等腰三角形的周长为24． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章第二节 简单的轴对称图形 题型1 角平分线的性质 题型2 线段垂直平分线的性质 题型3 等腰三角形的性质 题型1．角平分线的性质（共20小题） 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（　　） A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．27cm2 3．如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为（　　） A． B． C． D．6 9．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　 cm． 12．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则＝ 　 　 ． 13．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，点F为射线AB上一点．若PE＝5，则PF长的最小值是 　 　 ． 14．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 　 　 ． 15．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 16．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明： （1）CF＝EB． （2）AB＝AF+2EB． 17．如图所示，点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝20，BC＝18，AC＝15，OD⊥BC，OD＝5，求△ABC的面积是多少？ 18．【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 19．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 20．在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ；（用含m，n的代数式表示） （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　 ． 题型2．线段垂直平分线的性质（共20小题） （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 21．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 22．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 23．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 25．如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 26．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 27．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（　　） A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB 28．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 29．在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长是（　　） A．22 B．23 C．32 D．33 30．如图，以点A为圆心作弧，使弧与直线l相交于点B和点C，再分别以点A，B为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF与直线l相交于点D，若∠BAC＝38°，则∠CAD的度数是 　 　 ． 31．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 　 　 ． 32．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E．若AE＝2cm，△BCD的周长为20cm，则△ABC的周长为　 　 cm． 33．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝43°，则∠AOC＝ 　 　 ． 34．在△ABC中，∠A＝110°，边AB与AC的中垂线交于点O，则∠BOC＝ 　 　 °． 35．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论　 　 ． 36．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 38．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）若△DAF的周长为20，求BC的长． 39．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 40．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF． 题型3．等腰三角形的性质（共20小题） （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 41．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 42．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 43．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 44．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 45．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　） A．70° B．30° C．40° D．20° 46．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．11 47．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆DE⊥BC．这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边的和大于第三边 48．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的大小为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 49．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 50．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．13或14 51．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A．131° B．121° C．111° D．101° 53．如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD，BD、CD分别平分∠EAC，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 54．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 　 　 ． 55．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 56．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ． 57．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　 　 ． 58．如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 　 　 ． 59．等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为　 　 ． 60．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长． 解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10， 所以等腰三角形的周长为4+4+10＝18． 判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法． 学科网（北京）股份有限公司 $