4.1认识三角形 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“认识三角形”核心知识点，从三角形的概念、分类入手，系统梳理角平分线、中线、高的性质，延伸至重心特点，再通过三边关系、内角和定理构建基础框架，最后深入等腰、等边、直角三角形的特殊性质，形成由基础到特殊的学习支架。 资料设计亮点突出，题型涵盖概念辨析、动态问题（如动点形成特殊三角形）、实际应用（如折叠凳宽度估计），通过图形观察培养几何直观，借助推理计算发展推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第四章第一节 认识三角形 题型1 三角形 题型2 三角形的角平分线、中线和高 题型3 三角形的重心 题型4 三角形三边关系 题型5 三角形内角和定理 题型6 等腰三角形的性质 题型7 等边三角形的性质 题型8 直角三角形的性质 题型1．三角形（共9小题） （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 1．如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是（　　） A．① B．② C．③ D．都不对 5．图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法： 甲：P是锐角三角形； 乙：Q是等边三角形； 则对于这两种说法，正确的是（　　） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 6．在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 8．图中有　 　 个三角形． 9．图中共有三角形 　 　 个，其中以AE为边的三角形有 　 　 个；△ABO中，∠AOB所对的边是 　 　 ，边OB所对的角是 　 　 ． 题型2．三角形的角平分线、中线和高（共9小题） （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 10．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 12．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（　　） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 14．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（　　） A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE 15．不一定在三角形内部的线段是（　　） A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上皆不对 16．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 17．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是　 　 （ 填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”） 18．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程） 题型3．三角形的重心（共4小题） （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 19．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 20．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 22．已知下列结论：①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点，其中正确的说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 题型4．三角形三边关系（共7小题） （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 23．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4，6，5 B．6，8，15 C．3，4，7 D．8，4，3 24．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 25．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 26．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 27．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 28．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离．一位同学在池塘一侧选取了一点P．测得PA＝13m，PB＝10m，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．3m B．5m C．8m D．15m 29．将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铁丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边的长为a、b、c，且满足a≤b≤c的一个三角形． （1）就n＝4、5、6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）； （2）有人根据（1）中的结论，猜想：当铁丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对应（a，b，c）的个数一定是n﹣3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝12时所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数． 题型5．三角形内角和定理（共8小题） （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 30．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C 31．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 32．一副直角三角板按如图所示方式重叠，∠CBE＝40°，则∠ABD的度数为（　　） A．100° B．120° C．140° D．160° 33．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 34．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　 　 °． 36．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2撕下，按图2的方式拼摆，使∠2与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合． 理由：由操作可知∠B＝∠2， 所以AD∥　 　 （依据：　 　 ）． 所以，∠DAC+　 　 ＝180°（依据：　 　 ）． 即∠1+　 　 +　 　 ＝180°． 任务一：补全小颖的说理过程； 任务二：小聪受小颖的启发，一个角也不撕，直接过点A作AD∥BC，也能说明三角形的内角和等于180°，请你帮助小聪写出说理过程． 37．已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠BAC＝30°在，2三角形DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝∠DFE＝45°． 追问1：当三角尺ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数． 追问2：如图2，在追问1的条件下，改变直线MN，PQ的位置，求∠3的度数． 追问3：将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数． 追问4：将三角尺ABC与三角尺DEF按如图4所示方式摆放，点D与点C重合，点F与点A重合，∠MCE＝20°，求∠BAQ的度数． 题型6．等腰三角形的性质（共8小题） （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 38．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 39．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 40．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　） A．70° B．30° C．40° D．20° 41．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 42．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 　 　 ． 43．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 44．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ． 45．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长． 解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10， 所以等腰三角形的周长为4+4+10＝18． 判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法． 题型7．等边三角形的性质（共7小题） （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 46．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 47．如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 48．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 49．如图，直线1∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是 　 　 ． 50．如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD＝CE，则∠BDE的度数是　 　 ． 51．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 52．如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至点E，使得CE＝BC，过点D作DF⊥BE于点F．试说明：BF＝EF． 题型8．直角三角形的性质（共8小题） （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 53．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数为　 　 ． 55．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　 　 （填序号）． 56．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D、F分别在边BC、AB上，连接DF，CF，使∠BFD＝2∠ACF，过D作DE⊥AC于E，交CF于点G，延长交∠AFC的角平分线于点H，若DF平分∠BDE，且∠BFG＝∠DGF，则∠H＝ 　 　 ． 57．如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E． 仔细观察图形，回答以下问题： （1）写出图中所有的直角三角形？　 　 ． （2）直接写出∠AEH和∠B是什么关系？ （3）若∠B＝70°，求∠A和∠CED各是多少度？ 58．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P． （1）求∠APB的度数； （2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数． 59．（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　 　 °； （2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）； （3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由． 60．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF＝∠CGD．请补全下面的证明过程． 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC＝90°（ 　 　 ）， ∴∠DAE+∠AED＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠　 　 +∠CFA＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵AF是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAF＝∠DAE（ 　 　 ）， ∴∠AED＝∠CFA（ 　 　 ）， ∵∠AED＝∠CEF（ 　 　 ）， ∴∠CEF＝∠　 　 （等量代换）， ∵DG∥AF（已知）， ∴∠CFA＝∠CGD（ 　 　 ）， ∴∠CEF＝∠CGD（ 　 　 ）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章第一节 认识三角形 题型1 三角形 题型2 三角形的角平分线、中线和高 题型3 三角形的重心 题型4 三角形三边关系 题型5 三角形内角和定理 题型6 等腰三角形的性质 题型7 等边三角形的性质 题型8 直角三角形的性质 题型1．三角形（共9小题） （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 1．如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 2．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 3．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 4．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是（　　） A．① B．② C．③ D．都不对 【答案】A 【解答】解∴△ABD是由线段AB、BD、AD 首尾顺次连接所组成的封闭图形， ∴△ABD对应的图形是① 故选：A． 5．图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法： 甲：P是锐角三角形； 乙：Q是等边三角形； 则对于这两种说法，正确的是（　　） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【解答】解：根据三角形按边分类可得： 三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 6．在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC＝89°， 则∠ABC是锐角， ∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 8．图中有　14　 个三角形． 【答案】14． 【解答】解：根据题意结合图片判断，， 一层的小三角形有8个， 重叠的两层小三角形有4个， 三层的大三角形有2个， 共有8+4+2＝14个， 故答案为：14． 9．图中共有三角形 　8　 个，其中以AE为边的三角形有 　2　 个；△ABO中，∠AOB所对的边是 AB ，边OB所对的角是 　∠BDO和∠BAO ． 【答案】8；2；AB；∠BAO． 【解答】解：图中共有三角形有△ABC，△ABO，△AOE，△BOD，△ABD，△ADC，△ABE，△EBC，共8个， 其中以AE为边的三角形有△AEO，△ABE，共2个， ∠AOB所对的边是AB， 边OB所对的角是∠BAO， 故答案为：8；2；AB；∠BAO． 题型2．三角形的角平分线、中线和高（共9小题） （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 10．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 11．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【解答】解：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的三条角平分线在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 12．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 13．下列说法正确的是（　　） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【解答】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A错误； B、三角形的角平分线是线段，故B错误； C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确； D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误； 故选：C． 14．如图，在△ABC中，AB边上的高线是（　　） A．线段AD B．线段AF C．线段BG D．线段CE 【答案】D 【解答】解：如图，∵CE⊥BA延长线于E， ∴△ABC中AB边上的高线是线段CE． 故选：D． 15．不一定在三角形内部的线段是（　　） A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上皆不对 【答案】C 【解答】解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部， 直角三角形的高线有两条是三角形的直角边， 钝角三角形的高线有两条在三角形的外部， 所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高． 故选：C． 16．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 17．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是　直角三角形　 （ 填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”） 【答案】直角三角形 【解答】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 18．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：相等， 由BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，可得 ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠ACE＝∠ECB＝∠ACB， 由∠DBC＝∠ECB＝31°，可得∠ABC＝∠ACB＝62°， ∴∠ABC＝∠ACB． 题型3．三角形的重心（共4小题） （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 19．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（　　） A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点 【答案】A 【解答】解：通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心， 由图可知点N为该三角形的重心． 故选：A． 20．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】D 【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线， ∴点D是△ABC重心． 故选：A． 22．已知下列结论：①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点，其中正确的说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：三角形的三条高线所在的直线相交于一点，所以①的说法错误； 三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，所以②的说法正确； 直角三角形有三条高，所以③的说法错误； 三角形三个内角的角平分线交于一点，所以④的说法正确． 故选：C． 题型4．三角形三边关系（共7小题） （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 23．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4，6，5 B．6，8，15 C．3，4，7 D．8，4，3 【答案】A 【解答】解：A、4+5＞6，能组成三角形，符合题意； B、6+8＜15，不能组成三角形，不符合题意； C、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意； D、4+3＜8，不能组成三角形，不符合题意， 故选：A． 24．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形； 故选：D． 25．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2， ∴2＜x＜8． 故选：D． 26．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【解答】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b， ∴m+n＞b， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 27．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm 【答案】D 【解答】解：∵AC＝BC＝18cm， ∴0＜AB＜36， ∴折叠凳的宽AB可能为25cm， 故选：D． 28．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离．一位同学在池塘一侧选取了一点P．测得PA＝13m，PB＝10m，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．3m B．5m C．8m D．15m 【答案】A 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：13﹣10＜AB＜13+10， 即3＜AB＜23， ∴A、B之间的距离不可能是3， 故选：A． 29．将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铁丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边的长为a、b、c，且满足a≤b≤c的一个三角形． （1）就n＝4、5、6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）； （2）有人根据（1）中的结论，猜想：当铁丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对应（a，b，c）的个数一定是n﹣3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n＝12时所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数． 【答案】（1）见解析； （2）共12组，见解析． 【解答】解：（1）当n＝4时，有（2，3，3）； 当n＝5时，有（2，4，4），（3，3，4）； 当n＝6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）； （2）当n＝12时，a+b+c＝24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c＝8，9，10，11， 故可得（a，b，c）共12组： A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10）， G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）． 题型5．三角形内角和定理（共8小题） （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 30．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【答案】C 【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴最大角∠C＝3×30°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意； C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y， ∴y+2y+2y＝180°， 解得：y＝36°， ∴最大角∠B＝2×36°＝72°， ∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意； D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z， ∴z+z+2z＝180°， 解得：z＝45°， ∴最大角∠C＝2×45°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 31．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°×＝40°，180°×＝60°，180°×＝80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 32．一副直角三角板按如图所示方式重叠，∠CBE＝40°，则∠ABD的度数为（　　） A．100° B．120° C．140° D．160° 【答案】C 【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EBD＝90°，∠CBD＝∠EBD﹣∠CBE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°+50°＝140°， 故选：C． 33．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 故选：C． 34．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故正确； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6， ∴最大角∠C＝180°×＝90°， 故正确； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， 故正确； ④∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 35．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　65　 °． 【答案】65． 【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°， ∵∠1+∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝50°， ∵∠2+∠4+∠β＝180°， ∴∠β＝65°， 故答案为：65． 36．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2撕下，按图2的方式拼摆，使∠2与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合． 理由：由操作可知∠B＝∠2， 所以AD∥BC （依据：　内错角相等，两直线平行　 ）． 所以，∠DAC+　∠3　 ＝180°（依据：　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 即∠1+　∠2　 +　∠3　 ＝180°． 任务一：补全小颖的说理过程； 任务二：小聪受小颖的启发，一个角也不撕，直接过点A作AD∥BC，也能说明三角形的内角和等于180°，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】任务一：BC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠2；∠3； 任务二：见解析． 【解答】解：任务一： 理由：由操作可知∠B＝∠2， 所以AD∥BC（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以∠DAC+∠3＝180°（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即∠1+∠2+∠3＝180°． 故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠2；∠3； 任务二： 因为AD∥BC， 所以，∠DAB＝∠2，∠DAC+∠3＝180°． 即∠DAB+∠1+∠3＝180°． 所以∠1+∠2+∠3＝180°． 37．已知两直线MN，PQ且MN∥PQ，在三角形ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，∠BAC＝30°在，2三角形DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝∠DFE＝45°． 追问1：当三角尺ABC和平行线的位置如图1时，若∠1＝47°，求∠2的度数． 追问2：如图2，在追问1的条件下，改变直线MN，PQ的位置，求∠3的度数． 追问3：将图形继续变化得到图3，若AC平分∠BAP，求∠4的度数． 追问4：将三角尺ABC与三角尺DEF按如图4所示方式摆放，点D与点C重合，点F与点A重合，∠MCE＝20°，求∠BAQ的度数． 【答案】追问1：43°； 追问2：167°； 追问3：60°； 追问4：35°． 【解答】解：追问1：∵∠1＝47°，∠BCA＝90°， ∴∠ACQ＝180°﹣（∠1+∠BCA）＝43°， ∵MN∥PQ， ∴∠2＝∠ACQ＝43°； 追问2：过点B作BH∥PQ，如图2所示： ∵在追问1的条件下： ∴∠1＝47°， ∵MN∥PQ，BH∥PQ， ∴MN∥BH∥PQ， ∴∠HBC＝∠1＝47°，∠3+∠ABH＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝∠ABC﹣∠HBC＝60°﹣47°＝13°， ∴∠3＝180°﹣∠ABH＝180°﹣13°＝167°； 追问3：过点C作CK∥PQ，如图3所示： ∵MN∥PQ，CK∥PQ， ∴MN∥CK∥PQ， ∴∠BCK＝∠4，∠KCA＝∠1， ∴∠BCK+∠KCA＝∠1+∠4， 即∠BCA＝∠1+∠4， ∵∠BAC＝30°，AC平分∠BAP， ∴∠1＝∠BAC＝30°， 又∵∠BCA＝90°， ∴90°＝30°+∠4， ∴∠4＝60°； 追问4：过点E作ET∥PQ，如图4所示： ∵MN∥PQ， ∴MN∥ET∥PQ， 同追问3得：∠CEA＝∠MCE+∠PAE， ∵∠DEA＝90°，∠MCE＝20°， ∴90°＝20°+∠PAE， ∴∠PAE＝70°， ∵∠DAE＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠BAQ＝180°﹣（∠PAE+∠DAE+∠BAC）＝180°﹣（70°+45°+30°）＝35°． 题型6．等腰三角形的性质（共8小题） （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 38．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【答案】D 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 39．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， 所以，结论不一定正确的是AB＝2BD． 故选：B． 40．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　） A．70° B．30° C．40° D．20° 【答案】C 【解答】解：∵CD＝CE， ∴∠D＝∠CED， ∵∠D＝70°， ∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝40°， 故选：C． 41．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：由条件可知∠BAC＝∠ACD＝50°， ∵AC∥OD， ∴∠ODC＝∠ACD＝50°， ∴∠ODC＝∠OCD＝50°， ∴∠DOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：D． 42．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4． 因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4， 因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10． 故答案为：10． 43．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【答案】1.8． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2＝AB•EM+AC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 44．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　 ． 【答案】60°或120° 【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 45．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长． 解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10， 所以等腰三角形的周长为4+4+10＝18． 判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法． 【答案】以上解法不正确，正确的解法见解答． 【解答】解：以上解法不正确， 正确的解法如下： 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时， ∵4+4＝8＜10， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长＝10+10+4＝24； 综上所述：这个等腰三角形的周长为24． 题型7．等边三角形的性质（共7小题） （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 46．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 47．如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3， ∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴在Rt△OBE中，∠BOE＝90°﹣∠B＝30°， ∴OB＝2BE， 在Rt△OCF中，∠COF＝90°﹣∠C＝30°， ∴OC＝2CF， ∵OB+OC＝BC＝3， ∴2BE+2CF＝3， ∴BE+CF＝1.5． 故选：B． 48．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　　） A．45° B．39° C．29° D．21° 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AF∥l， ∵直线l∥m， ∴AF∥m， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AF∥l， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝21°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°， ∵AF∥m， ∴∠ACD＝∠CAF＝39°， 故选：B． 49．如图，直线1∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是 　39°　 ． 【答案】39°． 【解答】解：如图所示，过点A作AF∥l， ∵l∥m， ∴l∥m∥AF（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝∠ABE＝21°，∠ACD＝∠CAF， 由等边三角形的性质可得∠BAC＝60°， ∴∠CAF＝60°﹣21°＝39°， ∴∠ACD＝39°， 故答案为：39°． 50．如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD＝CE，则∠BDE的度数是　120°　 ． 【答案】120° 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， 又∵BD是角平分线， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠ACB＝30°， ∴∠BDE＝180°﹣2×30°＝120°， 故答案为：120°． 51．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①②④　 （填番号） 【答案】①②④ 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确 由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴正确答案①②④ 52．如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至点E，使得CE＝BC，过点D作DF⊥BE于点F．试说明：BF＝EF． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴DC＝BC． 又∵CE＝BC， ∴DC＝CE． ∴∠E＝∠CDE，而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°， ∴∠E＝30°， ∵DA＝DC， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴DB＝DE； ∵DF⊥BC， ∴BF＝EF． 题型8．直角三角形的性质（共8小题） （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 53．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 54．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数为　54°　 ． 【答案】54°． 【解答】解：∵BE∥GD， ∴∠EBC＝∠1＝36°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣36°＝54°， ∵BE∥HF， ∴∠2＝∠ABE＝54°， 故答案为：54°． 55．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③ 【解答】解：∵DE⊥AC，AC⊥BC， ∴DE∥BC， ∴③正确； ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∴①正确； 如图，过点A作AF⊥AC， ∴AF∥DE， ∴∠DAF＝∠ADE， ∵AF⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BAC+∠DAF＝90°，∠2+∠ADE＝90°， ∵∠DAF＝∠ADE， ∴∠2＝∠BAC， ∴②正确； 假设∠B+∠DCE＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠DCE＝90°， ∴∠B＝∠1， 由①②可知，∠1＝∠2＝∠BAC， ∴∠B＝∠BAC， ∵AF∥DE， ∴∠B＝∠DAF， ∴∠BAC＝∠DAF， ∵AF⊥AC， ∴∠FAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAF＝45°，但根据已知条件不能得出∠BAC＝45°， ∴假设不成立， ∴结论④错误； 故答案为：①②③． 56．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D、F分别在边BC、AB上，连接DF，CF，使∠BFD＝2∠ACF，过D作DE⊥AC于E，交CF于点G，延长交∠AFC的角平分线于点H，若DF平分∠BDE，且∠BFG＝∠DGF，则∠H＝ 　22.5°　 ． 【答案】22.5°． 【解答】解：设AC与FH相交于点P，如图所示： 设∠ACF＝2α， ∵DE⊥AC， ∴∠EGC＝90°﹣2α， ∴∠BFG＝∠DGF＝∠DGF＝90°﹣2α， ∴∠AFC＝180°﹣∠BFG＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α， ∵FH平分∠AFC， ∴∠HFG＝1/2∠AFC＝1/2×（90°+2α）＝45°+α， ∵∠BFD＝2∠ACF＝4α， ∴∠DFG＝∠BFG﹣∠BFD＝90°﹣2α﹣4α＝90°﹣6α． ∴∠HFD＝∠HFG+∠DFG＝45°+α+90°﹣6α＝135°﹣5α， ∵∠B＝90°， 在Rt△BFD中，∠BDF＝90°﹣∠BFD＝90°﹣4α， ∵DF平分∠BDE， ∴∠FDH＝∠BDF＝90°﹣4α， ∵∠HPE是△PFC的外角， ∴∠HPE＝∠HFG+∠ACF＝45°+α+2α＝45°+3α， 在Rt△PHE中，∠H＝90°﹣∠HPE＝90°﹣（45°+3α）＝45°﹣3α， 在△DFH中，∠HFD+∠FDH+∠H＝180°， ∴135°﹣5α+90°﹣4α+45°﹣3α＝180°， 解得：α＝7.5°， ∴∠H＝45°﹣3α＝22.5°． 故答案为：22.5°． 57．如图所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E． 仔细观察图形，回答以下问题： （1）写出图中所有的直角三角形？　△AHE、△ACB、△DCE、△DHB ． （2）直接写出∠AEH和∠B是什么关系？ （3）若∠B＝70°，求∠A和∠CED各是多少度？ 【答案】（1）△AHE、△ACB、△DCE、△DHB； （2）∠AEH＝∠B； （3）∠A＝20°，∠CED＝70°． 【解答】解：（1）∵DH⊥AB，AC⊥BD， ∴△AHE、△ACB、△DCE、△DHB为直角三角形， 故答案为：△AHE、△ACB、△DCE、△DHB； （2）∠AEH＝∠B，理由如下： ∵DH⊥AB， ∴∠AEH+∠A＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠AEH＝∠B； （3）∵∠B＝70°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AEH＝∠B＝70°， ∴∠CED＝∠AEH＝70°． 58．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P． （1）求∠APB的度数； （2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数． 【答案】（1）135°； （2）13°． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC， ∴∠BAP＝∠BAC，∠PBA＝∠ABC， ∴∠BAP+∠PBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°， 在△PAB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°； （2）在△BCD中，∠C＝90°，∠BDC＝58°， ∴∠CBD＝180°﹣（∠C+∠BDC）＝180°﹣（90°+58°）＝32°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠PBA＝∠CBD＝32°， ∵∠BAP+∠PBA＝45°， ∴∠BAP＝45°﹣∠PBA＝45°﹣32°＝13°． 59．（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，则∠DCE＝ 　30　 °； （2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE＝∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）； （3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC＝α，CD平分∠ACB，点E是AB延长线上一点，且∠ACE＝∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）30； （2）； （3）成立，见解析． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠DEC＝∠B+∠ECB， ∴∠ECB＝∠DEC﹣∠B＝75°﹣60°＝15°， ∴． 故答案为：30； （2）如图，∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠AEC＝∠ECB+∠B， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴； （3）如图，∵∠ACE＝∠AEC， ∴， ∵∠ABC＝∠ECB+∠BEC， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴． 60．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF是△ABC 的角平分线，过点D作DG∥AF交BC于点G，求证：∠CEF＝∠CGD．请补全下面的证明过程． 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC＝90°（ 　垂直定义　 ）， ∴∠DAE+∠AED＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠CAF +∠CFA＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵AF是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAF＝∠DAE（ 　角平分线定义　 ）， ∴∠AED＝∠CFA（ 　等角的余角相等　 ）， ∵∠AED＝∠CEF（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠CEF＝∠CFA （等量代换）， ∵DG∥AF（已知）， ∴∠CFA＝∠CGD（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∴∠CEF＝∠CGD（ 　等量代换　 ）． 【答案】垂直定义，CAF，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，CFA，两直线平行，同位角相等，等量代换． 【解答】证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠ADC＝90°（垂直定义）， ∴∠DAE+∠AED＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠CAF+∠CFA＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∵AF是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAF＝∠DAE（角平分线定义）， ∴∠AED＝∠CFA（等角的余角相等）， ∵∠AED＝∠CEF（对顶角相等）， ∴∠CEF＝∠CFA （等量代换）， ∵DG∥AF（已知）， ∴∠CFA＝∠CGD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CEF＝∠CGD（等量代换）． 故答案为：垂直定义，CAF，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，CFA，两直线平行，同位角相等，等量代换． 学科网（北京）股份有限公司 $