2.3平行线的性质 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“平行线的性质”核心知识点，先系统梳理平行线的性质定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），再延伸至判定与性质的综合应用，构建从基础理解到综合运用的学习支架。 资料通过折叠、光的折射、生活场景等情境题，引导学生用数学眼光观察现实世界，设计推理填空、多结论辨析等题型培养推理意识，课中助力分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章第三节 平行线的性质 题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质 题型1．平行线的性质（共30小题） 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．a 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 1．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 2．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　） A．36° B．54° C．126° D．144° 4．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列结论错误的是（　　） A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 7．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 8．将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（　　） A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）° 9．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 10．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 11．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG∥CD，∠BCD＝74°，∠B＝44°，则∠BAG的度数为（　　） A．26° B．30° C．34° D．40° 12．如图，在平面内作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 13．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 14．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（　　） A．45° B．65° C．115° D．135° 15．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 16．如图在同一平面内，有n条直线与直线a平行，也有n条直线与直线b平行，直线a，b不平行，当n＝4时共有多少对内错角？（　　） A．200 B．96 C．72 D．60 17．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠DBC＝45°，∠CDE的度数为（　　） A．25° B．35° C．65° D．115° 18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE＝（　　）° A．96 B．108 C．118 D．128 19．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（　　） A．α+β﹣2γ＝180° B．β﹣α＝γ C．α+β+γ＝360° D．β+γ﹣α＝180° 20．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150° C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30° D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150° 21．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④同角的余角相等．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 23．若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定 24．相传墨家巨子墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．40° C．130° D．120° 25．如图所示，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（　　） A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 26．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　 　 °． 27．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为EF与CD交于点H（　 　 ）， 所以∠3＝∠4（　 　 ）． 因为∠3＝60°（已知）， 所以∠4＝60°（　 　 ）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠4+∠FGB＝180°（　 　 ）， 所以∠FGB＝　 　 ． 因为GM平分∠FGB（已知）， 所以　 　 ＝　 　 （　 　 ）． 28．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数． 29．如图，已知直线AB∥CD． （1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是　 　 ；（不需证明） （2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G∠E＝60°，求∠AMG的度数； （3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值； （4）若∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，则　 　 ．（用含有n的代数式表示） 30．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD （1）求证：∠EMF＝90°． （2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数． （3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论． 题型2．平行线的判定与性质（共30小题） （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 31．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直 33．下列说法正确的有（　　） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 34．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝a，则．其中错误的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 36．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 37．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　） A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180° 38．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F两点，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线交于点P，与直线CD交于点G，过点G作GH∥PF，交直线MN于点H．若∠AEM与∠CFN互补，则下列结论：①AB∥CD；②∠EHG＝∠AEF；③∠MEG＝∠EGD；④EG⊥GH；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ （多选）39．如图，下列推理正确的是（　　） A．若AD∥BC，则∠1＝∠4 B．若∠2＝∠3，则AE∥DC C．若∠1+∠2+∠5＝180°，则AD∥BC D．若AE∥DC，则∠5＝∠3+∠4 40．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝14°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝43°，则EF与FG所成锐角的度数为　 　 ． 41．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　 　 （填写序号）． 42．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　 　 秒时，EB∥FD． 43．如图是曲臂直杆道闸示意图，已知AB垂直于水平地面AB，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在BC段绕点B缓慢向上旋转中，∠ABC+∠BCD始终等于 　 　 度． 44．下列说法：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角的角平分线在一条直线上；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的说法是　 　 ．（填序号） 45．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　 　 ． 46．某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 °． 47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　 　 时，AM∥CE． 48．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 49．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 请说明：DE∥BC． 解：∵CD⊥AB（ 　 　 ）， ∴∠ADC＝ 　 　 （ 　 　 ）． ∴∠1+　 　 ＝90°． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴　 　 ＝ 　 　 （ 　 　 ）． ∴DE∥BC（ 　 　 ）． 50．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN． （1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）； （2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． 51．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数； （2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数． 52．如图，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C． （1）求证：∠E＝∠F． （2）若∠4＝60°，求∠ADF的度数． 53．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　 　 （　 　 ）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥　 　 （　 　 ）， ∴∠BAC+　 　 ＝180°（　 　 ）． ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝110°． 54．如图，AB∥DE，试证明∠B+∠E＝∠BCE． 证明：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE，AB∥CF， ∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）． ∴∠E＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∴∠B+∠E＝∠1+　 　 ． 即∠B+∠E＝∠BCE． 55．（1）已知：如图1，AC∥DE，CD平分∠ACB，EF平分∠DEB．求证：CD∥EF． 证明：∵AC∥DE（已知）， ∴∠ACB＝　 　 ，（　 　 ）， ∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知）， ∴，∠2＝　 　 （角平分线的定义）． ∴∠1＝　 　 ， ∴CD∥EF． （2）完成下面的证明．如图2，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，（　 　 ）， ∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， ∴，∠BCF＝　 　 ， 又∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠EBC＝∠BCF， ∴BE∥CF（　 　 ）． 56．（1）如图1，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请证明a与c平行； （2）如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD． ①若∠BOE＝55°，求∠AOC，∠AOD的度数； ②若∠AOC：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数． 57．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是2°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　 　 °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 58．如图，已知AD∥CE，∠1＝∠2，说明AB与CD的位置关系，理由是什么？ 59．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 60．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B+∠F＝180°，∠F+∠BGD＝180°． 证明：∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CD∥EF （ 　 　 ）． ∴AB∥EF（ 　 　 ）． ∴∠B+∠F＝180° （ 　 　 ）． 又∵∠BGC+∠BGD＝180° （ 　 　 ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F+∠BGD＝180° （ 　 　 ）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章第三节 平行线的性质 题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质 题型1．平行线的性质（共30小题） 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 1．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2， ∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 解得∠2＝36°． ∴∠AEF＝72°． 故选：C． 2．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 【答案】C 【解答】解：如图， 过点A作AB∥b， ∴∠3＝∠1＝58°， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝32°， ∵a∥b，AB∥b， ∴AB∥a， ∴∠2＝∠4＝32°， 故选：C． 3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　） A．36° B．54° C．126° D．144° 【答案】D 【解答】解：∵AG⊥EF， ∴∠AGE＝90°， ∴∠AEG＝90°﹣∠A＝90°﹣54°＝36°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEG＝36°， ∴∠1＝180°﹣∠EFD＝144°． 故选：D． 4．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FED＝56°， ∵∠HFB＝18°， ∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°． 故选：C． 5．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 6．下列结论错误的是（　　） A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】A 【解答】解：A、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项错误，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，正确，不合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不合题意； D、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确，不合题意； 故选：A． 7．如图，AB∥CD，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝180° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝360° 【答案】B 【解答】解：过点E作EF∥AB，如图： ∵EF∥AB， ∴α+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝γ， ∵β＝∠AEF+∠FED＝180°﹣α+γ， ∴α+β﹣γ＝180°， 故选：B． 8．将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（　　） A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）° 【答案】D 【解答】解：过B作BK∥MN， ∵MN∥PQ， ∴BK∥PQ， ∴∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2， ∴∠2+α°＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°， ∴2∠2+2α°＝120°， ∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2， ∴∠3+∠2＝150°， ∴∠3+∠2﹣（2∠2+2α°）＝150°﹣120°， ∴∠3﹣∠2＝（30+2α）°． 故选：D． 9．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 【答案】A 【解答】解∵AB∥CD， ∴∠CGF+∠AFG＝180°， ∵∠2+∠1+∠AFG＝180°， ∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 故选：A． 10．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【答案】D 【解答】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 11．立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若AG∥CD，∠BCD＝74°，∠B＝44°，则∠BAG的度数为（　　） A．26° B．30° C．34° D．40° 【答案】B 【解答】解：如图， ∵AG∥CD，∠BCD＝74°， ∴∠BFG＝∠BCD＝74°， ∴∠BAG＝∠BFG﹣∠B， ∵∠B＝44°， ∴∠BAG＝74°﹣44°＝30°， 故选：B． 12．如图，在平面内作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】D 【解答】解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条， 所以作已知直线m的平行线，可作无数条． 故选：D． 13．一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 【答案】C 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠D＝∠BAF＝60°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠CAB＝75°， 故选：C． 14．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（　　） A．45° B．65° C．115° D．135° 【答案】B 【解答】解：∵a∥b， ∴∠2+∠4＝180°， 又∵∠2＝115°， ∴∠4＝180°﹣115°＝65°， 又∵c∥d， ∴∠3＝∠4＝65°， 故选：B． 15．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论：①；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FED+∠BEC＝180°；其中正确有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】C 【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD， ∴∠CGE＝∠GEB＝a， ∴∠AEG＝180°﹣a， ∵CE平分∠AEG， ∴∠AEC＝∠CEG∠AEG＝90°a， 故①正确； ∵∠CED＝90°， ∴∠AEC+∠DEB＝90°， ∴∠DEBa∠GEB， 即DE平分∠GEB， 故②正确； ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEC+∠CEF＝90°， ∴∠CEFa， ∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEBa， ∴∠CEF＝∠GED， 故③正确； ∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°a， ∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°a， ∴∠FED+∠BEC＝180°， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：C． 16．如图在同一平面内，有n条直线与直线a平行，也有n条直线与直线b平行，直线a，b不平行，当n＝4时共有多少对内错角？（　　） A．200 B．96 C．72 D．60 【答案】A 【解答】解：当n＝1时，有2×4＝8对内错角， 当n＝2时，有2×（3×6）＝36对内错角， 当n＝3时，有2×[（3+2+1）×8]＝96对内错角， 当n＝4时，有2×[（4+3+2+1）×（5+5）]＝200对内错角． 故选：A． 17．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠DBC＝45°，∠CDE的度数为（　　） A．25° B．35° C．65° D．115° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD＝70°， ∵BC∥DE， ∴∠DBC+∠BDE＝180°， ∴∠BDE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝135°﹣70°＝65°． 故选：C． 18．如图a是长方形纸带，∠DEF＝28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE＝（　　）° A．96 B．108 C．118 D．128 【答案】A 【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝28°， ∴∠BFE＝∠DEF＝28°， ∴∠EFC＝152°， ∴∠BFC＝152°﹣28°＝124°， ∴∠CFE＝124°﹣28°＝96°． 故选：A． 19．如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（　　） A．α+β﹣2γ＝180° B．β﹣α＝γ C．α+β+γ＝360° D．β+γ﹣α＝180° 【答案】D 【解答】解：过E向左作射线EF∥AB， 则∠FEA＝∠EAB＝α， ∴∠FED＝β﹣α 由条件可知FE∥CD， ∴∠D+∠FED＝180°， ∴β+γ﹣α＝180°． 故选：D． 20．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150° C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30° D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150° 【答案】A 【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴根据平行线的性质，两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，所以此选项正确，符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，所以此选项错误，不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意； 故选：A． 21．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④同角的余角相等．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①错误， 相等的角不一定是对顶角，②错误； 两直线平行，同位角相等，③错误； 同角的余角相等，④正确， 综上所述：错误的有①②③，共3个， 故选：C． 22．如图，直线l1∥l2，∠EAB＝125°，∠FBA＝85°，则∠1+∠2＝（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 【答案】A 【解答】解：如图： ∵∠BAE＝∠1+∠3＝125°，∠ABF＝∠2+∠4＝85°， ∴∠1+∠3+∠2+∠4＝125°+85°＝210°， ∴∠3+∠4＝180°， ∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°， 故选：A． 23．若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定 【答案】B 【解答】解：如图，AB∥CD，HI与AB，CD分别交于点M、N，EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线， ∵AB∥CD， ∴∠AMH＝∠CNH（两直线平行，同位角相等）， ∵EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线， ∴∠1∠AMH，∠2∠CNH， ∴∠1＝∠2， ∴EM∥FN（同位角相等，两直线平行）． 故选：B． 24．相传墨家巨子墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．在如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．50° B．40° C．130° D．120° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝50°， ∴∠2＝∠3＝50°． 故选：A． 25．如图所示，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（　　） A．3个 B．2个 C．5个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DEF＝∠EFC，∠ADE＝∠B， 又∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠DEF＝∠EFC＝∠ADE＝∠B， ∵∠BFE的邻补角是∠EFC， ∴与∠BFE互补的角有：∠DEF、∠EFC、∠ADE、∠B． 故选：D． 26．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　64　 °． 【答案】64 【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°， ∵∠CBD＝19°， ∴∠FBD＝45°+19°＝64°， 由题意可知，EF∥GH， ∴∠BDH＝∠FBD＝64°， 故答案为：64． 27．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为EF与CD交于点H（　已知　 ）， 所以∠3＝∠4（　对顶角相等　 ）． 因为∠3＝60°（已知）， 所以∠4＝60°（　等量代换　 ）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠4+∠FGB＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 所以∠FGB＝　120°　 ． 因为GM平分∠FGB（已知）， 所以　∠FGB ＝　60°　 （　角平分线的定义　 ）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义． 【解答】解：将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 因为EF与CD交于点H（已知）， 所以∠3＝∠4（对顶角相等）． 因为∠3＝60°（已知）， 所以∠4＝60°（等量代换）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠4+∠FGB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 所以∠FGB＝120°． 因为GM平分∠FGB（已知）， 所以（角平分线的定义）， 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义． 28．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3 ∴DG∥AB， ∴∠BAC+∠AGD＝180°， ∴∠AGD＝110° 29．如图，已知直线AB∥CD． （1）在图1中，点M在直线AB上，点N在直线CD上，∠BME、∠E、∠END的数量关系是　∠BME+∠END＝∠E ；（不需证明） （2）如图2，若GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，且∠G∠E＝60°，求∠AMG的度数； （3）如图3，直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE相交于点F，求∠F：∠E的值； （4）若∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，则　　 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图： ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BME＝∠MEF，∠DNE＝∠NEF， ∴∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝∠BME+∠DNE，即∠MEN＝∠BME+∠DNE， 故答案为：∠BME+∠END＝∠E； （2）∵GN平分∠CNE，FE平分∠AMG，设∠CNG＝∠ENG＝α，∠AMF＝∠GMF＝β， ∴∠E＝∠DNE+∠BME＝180°﹣2α+β，∠G＝α﹣2β， ∵∠G∠E＝α﹣2β+90°﹣αβ＝60°，β＝20°， ∴∠AMG＝2β＝40°； （3）如图，过点E作EG∥AB， 设∠ABE＝2x，∠CDE＝2y， ∵AB∥CD， ∴EG∥AB∥CD， ∴∠GEB+∠ABE＝180°，∠CDE+∠GED＝180°， ∴∠GEB+∠ABE＝∠CDE+∠GED， ∴∠E＝∠GED﹣∠GEB＝∠ABE﹣∠CDE＝2x﹣2y， 同理可得：∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y， ∴∠F：∠E； （4）设∠ABM＝x，则∠ABE＝（n+1）x，设∠CDN＝y，则∠CDE＝（n+1）y， 由（3）可知∠E＝∠ABE﹣∠CDE＝（n+1）（x﹣y）， ∠F＝∠CDF﹣∠ABF＝（180°﹣y）﹣（180°﹣x）＝x﹣y， ∴． 故答案为：． 30．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD （1）求证：∠EMF＝90°． （2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数． （3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD， ∴∠FEM∠BEF，∠EFM∠DFE， ∴∠FEM+∠EFM180°＝90°， ∴∠EMF＝90°． （2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x， ∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x， ∴∠EFM＝90°﹣4x， ∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°， ∵∠MFE＝∠MFD， ∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°）， ∴x＝15°， ∴∠MFN＝15°， ∴∠N＝90°﹣15°＝75° （3）如图3，∵GQ⊥FM， ∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）． ∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ． ∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD， 又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE（∠HFE+∠EFD）∠HFD， ∴∠HFD＝2∠GFQ． 又∵AB∥CD， ∴∠EHF+∠HFD＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ， 即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ． 题型2．平行线的判定与性质（共30小题） （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 31．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，所以结论①正确； ∵∠CAD＝∠1+∠2+∠3， ∴∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，所以结论②正确； 如果∠2＝30°，则∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E，故AC∥DE，所以结论③正确； 如果∠2＝45°，则∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B，故BC∥AD，所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 32．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直 【答案】D 【解答】解：A、在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，不是过任意一点，原说法错误，不符合题意； B、只有两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直，原说法正确，符合题意； 故选：D． 33．下列说法正确的有（　　） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的，不符合题意； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的，符合题意； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的，不符合题意； 故选：B． 34．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝a，则．其中错误的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解答】解：∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠ABC+∠EBD＝90°， ∵∠GBE的平分线交CF于点D， ∴∠DBG＝∠EBD， ∴∠ABC＝∠CBG， ∴BC平分∠ABG， ∴①正确， ∵AE∥CF， ∴∠GBC＝∠ABC＝∠ACB， ∴AC∥BG， ∴②正确， ∵∠DBE＝∠DBG， ∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个， ∴③错误， ∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB， 又∵∠ACB（180°﹣α）＝90°， ∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°）]＝180°， ∴④正确， 故选：D． 35．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 36．木工王师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】A 【解答】解：如图，∵∠FEB＝∠DCB＝90°， ∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 37．古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　） A．DE∥BC B．∠ADE＝∠B C．∠BFD＝∠AED D．∠B+∠CED＝180° 【答案】D 【解答】解：∵DF∥AC， ∴∠C＝∠DFB， ∵∠C＝∠EDF， ∴∠EDF＝∠DFB， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠AED＝∠DFB， ∵DE∥BC， ∴∠CED+∠C＝180°， ∵∠B不一定等于∠C， ∴∠B+∠CED不一定等于180°， 综上所述：ABC都正确，D不正确， 故选：D． 38．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F两点，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线交于点P，与直线CD交于点G，过点G作GH∥PF，交直线MN于点H．若∠AEM与∠CFN互补，则下列结论：①AB∥CD；②∠EHG＝∠AEF；③∠MEG＝∠EGD；④EG⊥GH；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：∵∠AEM＝∠BEF，∠CFN＝∠EFG，且∠AEM与∠CFN互补， ∴∠BEF+∠EFG＝180°， ∴AB∥CD，①结论正确； ∴∠AEF＝∠EFG， ∵FP平分∠DFE， ∴， ∵GH∥PF， ∴∠EHG＝∠EFP， ，②结论错误； ∵EP平分∠BEF， ∴∠BEP＝∠FEP， ∵AB∥CD， ∴∠EGD＝∠AEG＝∠AEF+∠FEP， ∵∠MEG＝∠MEB+∠BEG，∠MEB＝∠AEF， ∴∠MEG＝∠EGD，③结论正确； ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∵FP平分∠DFE，EP平分∠BEF， ∴，， ∴， ∴∠EPF＝90°， ∴PF⊥EG， ∵GH∥PF， ∴EG⊥GH，④结论错误； 故选：B． （多选）39．如图，下列推理正确的是（　　） A．若AD∥BC，则∠1＝∠4 B．若∠2＝∠3，则AE∥DC C．若∠1+∠2+∠5＝180°，则AD∥BC D．若AE∥DC，则∠5＝∠3+∠4 【答案】ABD 【解答】解：A．若AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1＝∠4，故该选项正确，符合题意； B．若∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行，则AE∥DC，故该选项正确，符合题意； C．若∠1+∠2＝∠5时，根据同位角相等，两直线平行，则AD∥BC，故原选项错误，不符合题意； D．若AE∥DC，则∠5＝∠BCD，又因∠BCD＝∠3+∠4，所以∠5＝∠3+∠4，故该选项正确，符合题意， 故选：ABD． 40．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝14°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝43°，则EF与FG所成锐角的度数为　57°　 ． 【答案】57° 【解答】解：过点E作EH∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EH∥FG， ∴∠BEH＝α＝14°（两直线平行，同位角相等），∠FEH+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵β＝43°， ∴∠FEH＝180°﹣43°﹣14°＝123°， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣123°＝57°， ∴EF与FG所成锐角的度数为57°， 故答案为：57°． 41．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　①②③④　 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正确； ②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°， ∴∠CAD+∠2＝180°，故②正确； ③∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE，故③正确； ④∵∠2＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD，故④正确． 故答案为：①②③④． 42．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　或20　 秒时，EB∥FD． 【答案】或20． 【解答】解：设运动时间为t，则t≤30，∠BEF＝30﹣t， ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠BEF＝30°， 当射线EB开始运动时，∠CFD＝180﹣5×20＝80°， 当EB∥DF时，∠BEF＝∠DFE， ∵EB运动到EF时停止， ∴当两射线平行时，DF在EF和CF之间， 当EF和DF第一次重合时， t＝（80﹣30）÷5＝10（s）， 当DF和CF重合时， t＝80÷5＝16（s）， 当DF第二次与EF重合时， t＝（80+30）÷5＝22（s）， 当10＜t＜16时，∠CFD＝80°﹣5t， ∴∠DFE＝∠CFE﹣∠CFD＝5t﹣50°， ∴30﹣t＝5t﹣50°， 解得：t， 当16＜t＜22时，∠CFD＝5t﹣80°， ∴∠DFE＝110°﹣5t， ∴110﹣5t＝30﹣t， 解得：t＝20， 综上所述，t或20． 故答案为：或20． 43．如图是曲臂直杆道闸示意图，已知AB垂直于水平地面AB，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在BC段绕点B缓慢向上旋转中，∠ABC+∠BCD始终等于 　270　 度． 【答案】270． 【解答】解：如图，过点B作BG∥AE， ∵AE∥CD， ∴AE∥CD∥BG， ∴∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠BCD＝360°， ∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°． ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝360°﹣90°＝270°， 故答案为：270． 44．下列说法：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角的角平分线在一条直线上；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的说法是　③④　 ．（填序号） 【答案】③④． 【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； ③对顶角的角平分线在一条直线上，该说法正确，符合题意； ④根据两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行，a∥b，b∥c，则a∥c，该说法正确，符合题意； ⑤在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原说法错误，不符合题意， 综上，正确的是③④， 故答案为：③④． 45．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　①②④　 ． 【答案】①②④ 【解答】解：根据题意可知，∠A+∠AHP＝180°， ∴PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PH，所以结论①CD∥PH正确； ∴AB∥CD∥PH， ∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 又∵PG平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠FPG＝2∠EPG， ∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，所以结论②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG正确； ∵∠GPH与∠FPH不一定相等， ∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，所以结论③∠FPH＝∠GPH错误； ∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FPG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG ＝∠A+∠PHG ＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，所以结论④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FEG＝180°正确； 综上所述，正确的选项有①②④， 故答案为：①②④． 46．某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　19　 °． 【答案】19． 【解答】解：过点C作CF∥AB，如图所示： ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°， 又∠BAC＝119°，∠D＝80°， ∴∠ACF＝119°，∠DCF＝100°， ∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝19°． 故答案为：19． 47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　65°　 时，AM∥CE． 【答案】65°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝130°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB∠ACD＝65°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝65°，AM∥CE， 故答案为：65°． 48．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）34°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）解：∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝∠BAD， ∴∠H＝∠BAD，（等量代换） ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H﹣∠4＝10°， ∴2∠4+10°＝58°， ∴∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 49．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 请说明：DE∥BC． 解：∵CD⊥AB（ 　已知　 ）， ∴∠ADC＝ 　90°　 （ 　垂直的定义　 ）． ∴∠1+　∠CDE ＝90°． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴　∠CDE ＝ 　∠2　 （ 　同角的余角相等　 ）． ∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【解答】解：由条件可知∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴∠1+∠CDE＝90°， ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠CDE＝∠2（同角的余角相等）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 50．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN． （1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）； （2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）2α； （2）∠NEF＝∠∠AMP． 【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PR， ∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α， ∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α； （2）如图②，EF⊥PQ，理由如下： ∵PQ平分∠MPN． ∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α， ∵QE∥PN， ∴∠EQP＝∠NPQ＝2α， ∴∠EPQ＝∠EQP＝2α， ∵EF平分∠PEQ， ∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF， ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°， ∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°， ∴∠EPQ+∠PEF＝90°， ∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°， ∴EF⊥PQ； （3）如图③，∠NEF∠AMP，理由如下： 由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°， ∴∠QEF＝90°﹣2α， ∵∠PQN＝α， ∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α， ∵NE平分∠PNQ， ∴∠PNE＝∠QNE， ∵QE∥PN， ∴∠QEN＝∠PNE， ∴∠QNE＝∠QEN， ∵∠NQE＝3α， ∴∠QNE（180°﹣∠NQE）（180°﹣3α）， ∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE ＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α（180°﹣3α） ＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°α α ∠AMP． ∴∠NEF∠AMP． 51．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数； （2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点G作GH∥DF，如图2所示： 依题意得：∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°， ∴∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°， ∴BC∥DF， 由平行线性质可知∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°， ∴∠BGD＝∠HGD+∠BGH＝30°+45°＝75°， （2）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下： 过点D作DH∥MN，如图3所示， ∵AB∥MN， ∴DH∥AB∥MN， ∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB， ∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°， ∴∠DEM﹣∠DPB＝30°； （3）∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°，理由如下： 依题意有以下5种情况： ①当AB∥EC时，如图4①所示： 则∠ECB＝∠B＝45°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+45°＝135°； ②当BC∥DE时，如图4②所示： 则∠ECB＝∠E＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+60°＝150°； ③当AC∥DE时，如图4③所示： 则∠ACE＝∠E＝60°； ④当AB∥CD时，如图4④所示： 则∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°； ⑤当AB∥DE时，设BC于DE交于点T，如图4⑤所示： 则∠ETC＝∠B＝45°， ∴∠ECT＝75°， ∴∠AEC＝90°﹣75°＝15°． 综上所述：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°． 52．如图，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C． （1）求证：∠E＝∠F． （2）若∠4＝60°，求∠ADF的度数． 【答案】（1）∵∠1＝∠2，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠4＝180°， ∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）； （2）120°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠4＝180°， ∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）； （2）解：∵CF∥EA， ∴∠ADF＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A+∠4＝180°，∠4＝60°， ∴∠ADF＝∠A＝180°﹣60°＝120°． 53．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　∠3　 （　两直线平行，同位角相等　 ）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥DG （　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠BAC+　∠AGD ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝110°． 【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补． 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝110°． 故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补． 54．如图，AB∥DE，试证明∠B+∠E＝∠BCE． 证明：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE，AB∥CF， ∴DE ∥CF （ 　平行于同一条直线的两直线平行　 ）． ∴∠E＝∠　2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠　1　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠B+∠E＝∠1+　∠2　 ． 即∠B+∠E＝∠BCE． 【答案】DE；CF；平行于同一条直线的两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；1；两直线平行，内错角相等；∠2． 【解答】证明：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE（已知）， ∴DE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠E＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠E＝∠1+∠2， ∵∠BCE＝∠1+∠2， ∴∠B+∠E＝∠BCE． 故答案为：DE；CF；平行于同一条直线的两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；1；两直线平行，内错角相等；∠2． 55．（1）已知：如图1，AC∥DE，CD平分∠ACB，EF平分∠DEB．求证：CD∥EF． 证明：∵AC∥DE（已知）， ∴∠ACB＝　∠DEB ，（　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB（已知）， ∴，∠2＝　　 （角平分线的定义）． ∴∠1＝　∠2　 ， ∴CD∥EF． （2）完成下面的证明．如图2，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，（　垂直定义　 ）， ∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， ∴，∠BCF＝　　 ， 又∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠EBC＝∠BCF， ∴BE∥CF（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】（1）∠DEB；两直线平行，同位角相等；；∠2； （2）垂直定义；；内错角相等，两直线平行； 【解答】（1）证明：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）． ∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB， ∴，，（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠2， ∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：∠DEB；两直线平行，同位角相等；；∠2； （2）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直定义）， ∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， ∴，（角平分线的定义）， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠EBC＝∠BCF， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；；内错角相等，两直线平行． 56．（1）如图1，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请证明a与c平行； （2）如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD． ①若∠BOE＝55°，求∠AOC，∠AOD的度数； ②若∠AOC：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数． 【答案】（1）∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∵∠3+∠4＝180°， ∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）， ∴a∥c； （2）①∠AOC＝35°；∠AOD＝145°；②∠AOE的度数为126°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∵∠3+∠4＝180°， ∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）， ∴a∥c； （2）解：①∵EO⊥CD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOE＝55°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOE＝90°﹣55°＝35°， ∴∠AOC＝35°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣35°＝145°； ②∵∠AOC：∠BOC＝1：4，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°， ∴∠AOE的度数为126°． 57．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是2°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　60　 °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前（即灯B转动角度小于180°），A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达AN之前（即灯A转动角度小于180°），若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1）60； （2）30秒或110秒； （3）不变，∠BAC＝2∠BCD． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴， 故答案为：60； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，两束光线分别是AC，BD， ①当0＜t＜90时， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA（两直线平行，内错角相等）， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA（两直线平行，同位角相等）， ∴∠CAM＝∠PBD， ∴2t＝30+t， 解得t＝30； ②当90＜t＜150时， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AC∥BD， ∴∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD+∠CAN＝180° ∴30+t+（2t﹣180）＝180， 解得t＝110， 综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC和∠BCD关系不会变化： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣2t， ∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°， ∵∠ABC＝∠ABP﹣∠PBC＝180°﹣∠BAN﹣∠PBC＝120°﹣t， ∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t， ∵∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝t﹣60°， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， 即∠BAC＝2∠BCD． 58．如图，已知AD∥CE，∠1＝∠2，说明AB与CD的位置关系，理由是什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AB∥CD， 理由为：∵AD∥CE， ∴∠ADC＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠ADC＝∠1， ∴AB∥CD． 59．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下． 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠CAB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CAB， ∴AB∥CD． （2）如图1，设∠ABF＝x，则∠EBF＝2x， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝x+2x＝3x， 根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF＝∠F+∠ECF， 根据三角形的外角性质，∠1＝∠E+∠ABE＝∠E+3x， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DCE， ∵CF平分∠DCE， ∴∠ECF∠DCE∠1（∠E+3x）， ∴∠E+2x＝∠F（∠E+3x）， 整理得，2∠F﹣∠E＝x①， ∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°， ∴2∠F+180°﹣∠E＝190°②， ①代入②得，x+180°＝190°， ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）如图2，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG+∠B， ∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP， ∴∠GPQ∠BPG，∠MGP∠DGP， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DGP， ∴∠MGP（∠BPG+∠B）， ∵PQ∥GN， ∴∠NGP＝∠GPQ∠BPG， ∴∠MGN＝∠MGP﹣∠NGP（∠BPG+∠B）∠BPG∠B， 根据前面的条件，∠B＝30°， ∴∠MGN30°＝15°， ∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变． 60．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B+∠F＝180°，∠F+∠BGD＝180°． 证明：∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CD∥EF （ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴AB∥EF（ 　平行于同一直线的两条直线平行　 ）． ∴∠B+∠F＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又∵∠BGC+∠BGD＝180° （ 　补角的定义　 ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F+∠BGD＝180° （ 　等量代换　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）． ∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线平行）． ∵∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC+∠BGD＝180°（补角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F+∠BGD＝180°（等量代换）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；补角的定义；等量代换． 学科网（北京）股份有限公司 $