2.3平行线的性质 知识点及考点复习练习2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 考点巩固 2.3《平行线的性质》巩固练习 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1．下列说法正确的是（　　） A．同位角相等，两直线垂直 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等 D．两直线平行，内错角相等 2．如图，m∥n，∠1＝55°，则∠2等于（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 3．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　） A．45° B．40° C．25° D．20° 4．将一副直角三角板（∠B＝45°，∠E＝30°）按如图所示摆放，点D在BC上且点F在AC的延长线上．若AB∥DE，则∠CFD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 5．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠A是130°，那么第二次的拐角∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．150° 6．如图，直线AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（　　） A．34° B．36° C．39° D．44° 7．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．如图，已知AB∥CD，∠1＝125°，∠2＝55°，则∠C的度数为 　 　 ． 10．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，AB∥CD，∠ABC＝65°，则∠BCD的度数为 　 　 ． 11．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　 　 度． 12．如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝　 　 ． 13．如图，直线AB，CD交于点O，OE为∠BOD的平分线，OF⊥OE，且CG∥OE，∠C＝30°，则∠AOF＝ 　 　 ． 14．如图，点C在线段BF上，且CA平分∠DCB，AD∥BC，点E在AC上，若∠CBE＝∠D，∠ABE：∠ABC＝1：3，∠CAB＝36°，则∠DAC的度数为 　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．完成下面的证明过程： 已知：如图，∠D＝123°，∠EFD＝57°，∠1＝∠2． 试说明：∠3＝∠B． 解：∵∠D＝123°，∠EFD＝57°（已知）， ∴∠D+∠EFD＝180°， ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴　 　 ∥　 　 （内错角相等，两直线平行）， ∴　 　 ∥　 　 （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠3＝∠B（　 　 ）． 16．如图，已知∠1＝70°，∠C＝108°，∠D＝70°，求∠B的度数． 17．如图，∠MON的边OM上有两点A，B，过点A，B分别作AC⊥ON于点C，作BD⊥ON于点D．若∠1＝60°，求∠2的度数． 18．如图，点D，E分别是三角形ABC的边BC，AC上的点，连接BE，DE，点F是线段BE上一点，∠1＝∠C，∠2＝∠A． （1）试说明：DE∥AB； （2）若AB⊥AC，∠3＝30°，求∠DFE的度数． 19．已知：如图，GD∥AC，∠1+∠2＝180°． （1）判断CD与EF的位置关系，并说明理由； （2）若DG平分∠CDB，∠ACD＝40°，求∠EFB的度数． 20．如图，AB∥CD，点F在直线CD上，E和G都在直线AB上，且E在G点左侧，∠EFG＝30°，点P在直线AB上，PQ∥EF交直线CD于点Q，GH平分∠FGP交直线CD于点H，设∠FQP＝α． （1）如图，当点P在点G右侧时，若α＝30°． ①求∠FGP的度数； ②求证PQ∥GH； （2）当点P在直线AB上运动时，设∠FHG＝β，直接写出α与β的数量关系． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，总分24.0分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B C A B D 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．70°． 10．65°． 11．65°． 12．110°． 13．60°． 14．63°． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解∵∠D＝123°，∠EFD＝57°（已知）， ∴∠D+∠EFD＝180°， ∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴EF∥BC（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：AD；EF；同旁内角互补，两直线平行；AD；BC；EF；BC；两直线平行，同位角相等． 16．解：∵∠1＝70°，∠D＝70°， ∴∠1＝∠D， ∴AB∥DC， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝108°， ∴∠B＝72°． 17．解：∵AC⊥ON，BD⊥ON， ∴∠ACN＝∠BDN＝90°， ∴AC∥BD， ∴∠2＝∠1， ∵∠1＝60°， ∴∠2＝60°． 18．解：（1）由条件可知DF∥AC， ∴∠2＝∠DEC， ∵∠2＝∠A， ∴∠A＝∠DEC， ∴AB∥DE； （2）由条件可知∠A＝90°， ∵AB∥DE， ∴∠AED＝180°﹣∠A＝90°， ∵∠3＝30°， ∴∠AEF＝∠AED﹣∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFE＝∠AEF＝60°． 19．解：（1）CD∥EF．理由如下： 由条件可知∠ACD＝∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1+∠ACD＝180°， ∴CD∥EF； （2）由条件可知∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠CDB＝2∠2＝80°， ∵CD∥EF， ∴∠EFB＝∠CDB＝80°． 20．解：（1）①∵EF∥PQ， ∴∠EFC＝∠PQF＝α＝30°， ∵∠EFG＝30°， ∴∠CFG＝∠CFE+∠EFG＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠FGP＝∠CFG＝60°； ②证明：∵GH平分∠FGP， ∴， ∵∠EFG＝30°， ∴∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH， ∵PQ∥EF， ∴PQ∥GH； （2）①当点P在点G右侧时，如图： ∵PQ∥EF， ∴∠EFC＝∠FQP＝α，∠CFG＝∠CFE+∠EFG＝α+30°， ∵AB∥CD ∴∠FGP＝∠CFG＝α+30°，∠HGP＝∠FHG＝β． ∵GH平分∠FGP， ∴∠FGP＝2∠HGP＝2β＝α+30°， ∴2β﹣α＝30°； ②当点P在点E和点G之间时，如图，点H在点F左侧． ∵AB∥CD， ∴∠FHG＝∠EGH， ∵GH平分∠FGP， ∴∠FHG＝∠EGH＝∠FGH＝β， ∵PQ∥EF， ∴∠FQP＝∠CFE＝α， ∴∠GFH＝∠EFC+∠GFE＝α+30°， 在△FGH中，∠GFH+∠FHG+∠FGH＝α+30°+2β＝180°， ∴α+2β＝150°； ③当点P在点E左侧时，如图，∠FQP＝α，点Q在点F左侧． ∵PQ∥EF， ∴∠EFQ+∠FQP＝180°，即∠EFQ＝180°﹣α， 在△FGH中，由②知∠FHG＝∠FGH＝β，∠GFH＝∠EFG+∠EFQ＝30°+180°﹣α＝210°﹣α， ∴2β+（210°﹣α）＝180°， ∴α﹣2β＝30°． 综上，α与β的数量关系为：2β﹣α＝30°或α+2β＝150°或α﹣2β＝30°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 第3节 平行线的性质 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （原卷版） （1） 知识点管理 1、 思维导图 二、基本概念及公式 知识点梳理 （一）平行线的性质定理 性质 1：两直线平行，同位角相等。 符号语言：若//，则∠1=∠5。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 符号语言：若//，则∠3=∠6。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 符号语言：若//，则∠3+∠5=180°。 （二）平行线性质与判定的区别 项目 性质（已知平行，推导角关系） 判定（已知角关系，推导平行） 因果关系 线平行 → 角相等 / 互补 角相等 / 互补 → 线平行 典型应用 求角度、证明角相等 证明两直线平行 易混淆点 常误用判定定理推导角关系 常误用性质定理证明平行关系 （三）平行线的传递性 平行公理推论：若//，//，则若//。 应用场景：通过中间平行线证明多条直线平行。 （二）考点管理 考点 1：直接应用性质求角度 例1． （1）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE＝39°，则∠AEC的度数是（　　） A．51° B．61° C．39° D．141° （2）如图，AC∥BD，∠C＝90°，∠2＝58°，则∠1的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° （3）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．15° （4）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 例2． （1）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE，垂足为A，CD平行于地面AE，若∠ABC＝115°，则∠BCD的度数为　155°　 ． （2）如图，直线AB∥CD，∠2＝87°，∠3＝32°，则∠1的度数为　55°　 ． 例3． 1. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，FG⊥EF于点F，求∠BEF﹣∠DFG的值． 2. 如图，AE∥DF，30°的三角板的直角顶点为A，∠C＝30°，BC平分∠ABD． （1）求∠ABD的度数； （2）若∠BDF＝5∠CAE，求∠CAE的度数． 解题策略： 1. 标注已知角的位置，利用 “F 型”“Z 型”“U 型” 结构快速识别角关系。 2. 注意隐藏条件（如对顶角、邻补角）。 考点 2：性质与判定的结合应用 例4．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝60°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 例5．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 解题策略： 1. 明确已知条件是 “角关系” 还是 “平行关系”，选择对应定理。 2. 步骤规范：先写判定（或性质）依据，再推导结论。 考点 3：几何证明题：复杂图形中的平行关系 例6．如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） ∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝60°． 解题策略： 1. 标注已知角和辅助线，逐步拆解图形。 2. 利用角平分线、垂直等条件转化角度。 （三）备考策略 （一）核心策略 性质与判定的区分：已知平行用性质，证明平行用判定。 几何模型识别：F 型（同位角）——两线平行，同位角相等。 Z 型（内错角）——两线平行，内错角相等。 U 型（同旁内角）——两线平行，同旁内角互补。 辅助线技巧：拐点问题——过拐点作平行线，转化角度（如 “铅笔型”“M” 模型）。 （二）易错点及解决方法 易错点 原因分析 解决方法 混淆性质与判定 未明确 “条件” 与 “结论” 的关系 用 “箭头” 标注逻辑关系（如：线平行 → 角相等） 忽略 “同一平面内” 前提 空间几何中平行线性质不成立 强调平面几何的限制条件 角度计算错误 未正确识别角的位置关系 标注图形，分步计算角度 辅助线添加不合理 未找到合适的平行线或截线 多尝试拐点作平行线，或延长线段 （三）专项练习建议 基础巩固：完成教材课后习题，重点练习直接应用性质的题目。 综合提升：练习涉及角平分线、垂直、三角形内角和的综合题。 真题模拟：分析近三年期末试卷，总结高频考点（如角度计算、平行证明）。 （四）本节总结 本节重点在于掌握平行线的三条性质定理及其与判定的区别，能够灵活应用于角度计算、几何证明和实际问题中。备考时需加强对几何模型的识别，规范推理步骤，并通过专项练习突破易错点。建议结合教材例题与真题，系统复习，提升综合解题能力。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 第3节 平行线的性质 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （1） 知识点管理 1、 思维导图 二、基本概念及公式 知识点梳理 （一）平行线的性质定理 性质 1：两直线平行，同位角相等。 符号语言：若//，则∠1=∠5。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 符号语言：若//，则∠3=∠6。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 符号语言：若//，则∠3+∠5=180°。 （二）平行线性质与判定的区别 项目 性质（已知平行，推导角关系） 判定（已知角关系，推导平行） 因果关系 线平行 → 角相等 / 互补 角相等 / 互补 → 线平行 典型应用 求角度、证明角相等 证明两直线平行 易混淆点 常误用判定定理推导角关系 常误用性质定理证明平行关系 （三）平行线的传递性 平行公理推论：若//，//，则若//。 应用场景：通过中间平行线证明多条直线平行。 （二）考点管理 考点 1：直接应用性质求角度 例1． （1）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE＝39°，则∠AEC的度数是（　　） A．51° B．61° C．39° D．141° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠FED＝∠AFE＝39°， ∵∠AEC与∠FED互余， ∴∠AEC＝90°﹣∠FED＝51°． 故选：A． （2）如图，AC∥BD，∠C＝90°，∠2＝58°，则∠1的度数为（　　） A．32° B．58° C．64° D．68° 【解答】解：∵∠C＝90°，∠2＝58°， ∴∠A＝90°﹣∠2＝32° ∵AC∥BD， ∴∠1＝∠A＝32°． 故选：A． （3）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．15° 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝45°﹣25°＝20°． ∵直尺的对比平行， ∴∠2＝∠3＝20°． 故选：A． （4）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【解答】解：由条件可知∠3＝∠1＝25°， ∴∠2＝35°， 故选：A． 例2． （1）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE，垂足为A，CD平行于地面AE，若∠ABC＝115°，则∠BCD的度数为　155°　 ． 【解答】解：过点B作BF∥AE，如图所示： 由条件可知BF∥CD，∠BAE＝90°， ∵BF∥AE， ∴∠ABF＝180°﹣∠BAE＝90°， ∵∠ABC＝115°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝115°﹣90°＝25°， 由条件可知∠CBF+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣25°＝155°； 故答案为：155°． （2）如图，直线AB∥CD，∠2＝87°，∠3＝32°，则∠1的度数为　55°　 ． 【解答】解：∵∠2＝87°，∠3＝32°， ∴∠C＝∠2﹣∠3＝55°． ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠C＝55°． 故答案为：55°． 例3． 1. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，FG⊥EF于点F，求∠BEF﹣∠DFG的值． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， 即∠DFE＝180°﹣∠BEF， ∵FG⊥EF， ∴∠DFE＝90°﹣∠DFG， ∴180°﹣∠BEF＝90°﹣∠DFG， ∴∠BEF﹣∠DFG＝90°． 2. 如图，AE∥DF，30°的三角板的直角顶点为A，∠C＝30°，BC平分∠ABD． （1）求∠ABD的度数； （2）若∠BDF＝5∠CAE，求∠CAE的度数． 【解答】解：（1）∵∠C＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝60°． ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABC＝120°． （2）连接AD， ∵AE∥DF， ∴∠ADF+∠DAE＝180°． 又∵∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°， ∴∠BDF+∠ABD+∠BAE＝360°． ∵∠ABD＝120°，∠BAC＝90°， ∴∠BDF+∠CAE＝150°． 又∵∠BDF＝5∠CAE， ∴∠CAE＝25°． 解题策略： 1. 标注已知角的位置，利用 “F 型”“Z 型”“U 型” 结构快速识别角关系。 2. 注意隐藏条件（如对顶角、邻补角）。 考点 2：性质与判定的结合应用 例4．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝60°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下： ∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC， ∵∠DGC＝60°， ∴∠BAC＝60°， ∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝60°， ∵∠H＝∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4＝60°， 解得：∠4＝25°， ∴∠H＝35°． 例5．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下： ∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC， ∵∠DGC＝58°， ∴∠BAC＝58°， ∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H＝∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4＝58°， 解得：∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 解题策略： 1. 明确已知条件是 “角关系” 还是 “平行关系”，选择对应定理。 2. 步骤规范：先写判定（或性质）依据，再推导结论。 考点 3：几何证明题：复杂图形中的平行关系 例6．如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AB∥CD； （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2＝120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN＝120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） 【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°， ∠2+∠DFE＝180°， ∴∠1＝∠DFE（同角的补角相等）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； （2）如图所示，过点H作HP∥AB，则HP∥AB∥CD， ∵GH∥AB，即∠EGH＝90°， ∴∠PHG＝180°﹣∠EGH＝90°， ∵∠2＝120°， ∴∠EFD＝180°﹣∠2＝60°， ∵FH平分∠EFD， ∴∠HFD＝30°， ∵PH∥CD， ∴∠PHF＝∠HFD＝30°， ∴∠FHG＝∠PHF+∠PHG＝120°； （3）如图3﹣1，当点Q在线段FN上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD， ∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ， ∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF ＝∠MPQ﹣∠HPQ+∠PMN ＝∠MPH+∠PMN ＝∠EMP+∠PMN ＝∠EMN ＝120°； 如图3﹣2，当点Q在FN的延长线上时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD， ∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF＝∠HPQ， ∴∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF ＝∠MPQ+∠PMN﹣∠HPQ ＝∠MPH+∠PMN ＝∠EMP+∠PMN ＝∠EMN ＝120°； 如图3﹣3（1），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD， ∴∠EMP＝∠MPH，∠PQF+∠HPQ＝180°， ∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF ＝∠MPQ+180°﹣∠HPQ+∠PMN ＝∠MPH+∠PMN+180° ＝∠EMP+∠PMN+180° ＝∠EMN+180° ＝300°； 如图3﹣3（2），当点Q在NF的延长线上且点Q在直线MP的右侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD， ∴∠EMP+∠MPH＝180°，∠PQF＝∠HPQ， ∴∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF ＝∠MPQ﹣∠PMN﹣∠HPQ ＝∠MPH﹣∠PMN ＝180°﹣∠EMP﹣∠PMN ＝180°﹣∠EMN ＝60°； 综上，∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系为：∠MPQ+∠PMN﹣∠PQF＝120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF＝300°或∠MPQ﹣∠PMN﹣∠PQF＝60°． 解题策略： 1. 标注已知角和辅助线，逐步拆解图形。 2. 利用角平分线、垂直等条件转化角度。 （三）备考策略 （一）核心策略 性质与判定的区分：已知平行用性质，证明平行用判定。 几何模型识别：F 型（同位角）——两线平行，同位角相等。 Z 型（内错角）——两线平行，内错角相等。 U 型（同旁内角）——两线平行，同旁内角互补。 辅助线技巧：拐点问题——过拐点作平行线，转化角度（如 “铅笔型”“M” 模型）。 （二）易错点及解决方法 易错点 原因分析 解决方法 混淆性质与判定 未明确 “条件” 与 “结论” 的关系 用 “箭头” 标注逻辑关系（如：线平行 → 角相等） 忽略 “同一平面内” 前提 空间几何中平行线性质不成立 强调平面几何的限制条件 角度计算错误 未正确识别角的位置关系 标注图形，分步计算角度 辅助线添加不合理 未找到合适的平行线或截线 多尝试拐点作平行线，或延长线段 （三）专项练习建议 基础巩固：完成教材课后习题，重点练习直接应用性质的题目。 综合提升：练习涉及角平分线、垂直、三角形内角和的综合题。 真题模拟：分析近三年期末试卷，总结高频考点（如角度计算、平行证明）。 （四）本节总结 本节重点在于掌握平行线的三条性质定理及其与判定的区别，能够灵活应用于角度计算、几何证明和实际问题中。备考时需加强对几何模型的识别，规范推理步骤，并通过专项练习突破易错点。建议结合教材例题与真题，系统复习，提升综合解题能力。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$