专题08 代数综合应用 2026年中考数学高分突破一轮复习专题训练安徽专用

专题8 代数综合应用 目录 8．1 函数与方程（组）综合题 8．2 方程、不等式实际应用（利润、行程、方案设计） 考情分析：安徽中考代数综合多以函数与方程结合形式考查，实际应用题常考利润、行程、方案设计，近3年解答题第19-20题固定考查此类题型 8．1 函数与方程（组）综合题 1．“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； (3)该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解一元二次方程，根据题意列出函数关系式，再根据二次函数以及一次函数的性质求最值是解题的关键． （）根据销售量等于原来的销售量减去减少的销售量列式求解即可； （）根据题意表示出日销售利润，再由利润率不得高于，则有，解得，然后利用二次函数的性质求解即可； （）先根据日销售利润不低于元求出售价的范围，设该超市购进这批元宵的进货总成本为元，根据题意用表示出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∵利润率不得高于， ∴，解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解得：，， ∵， ∴当时，日销售利润不低于元， 设该超市购进这批元宵的进货总成本为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小，   ∴当时，有最小值，最小值为， 答：该超市购进这批元宵的日进货总成本最低为元． 2．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，求二次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，再设抛物线的函数解析式为：，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，且结合从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，得出第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，再列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 3．一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 4．某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6．2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 【答案】(1) (2)原料的质量是24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，正确列出利润的函数关系式，并利用二次函数的性质求最值是解决本题的关键． ()根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； ()设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：根据题意，得． ∴关于的函数解析式为． （2）设销售利润是万元． ∴ ． ∵， ∴当时， ． 答：原料的质量是吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 5．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可； （2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：①当时，得， 解得， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆； ②当时，得， 解得， （分钟）， 答：最晚10分钟需启动限流措施． 6．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是元，根据市场调查，当销售单价是元时，每天销售量是件，销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)若商场规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售该品牌童装获得的最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据总利润=单利润数量列出函数关系式即可； （2）由题意得，对二次函数求自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 答：销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ， ∴， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为4420， 答：销售该品牌童装获得的最大利润是元． 7．甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 【答案】(1)甲的行驶路程与时间的函数表达式为：；乙的行驶路程与时间的函数表达式为 (2)分 (3)1850， 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的实际应用，根据图象得出未知的条件是解题的关键． （1）根据图1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程与时间的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程与时间的函数表达式； （2）根据图1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即与相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间； （3）先根据图2得出a，b两点表示的意义，再结合图1对应的最远距离和相遇时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意，∵乙比甲晚4分钟到校，再结合乙所用时间24分钟， ∴甲所用时间为20分钟， ∴甲的速度（米／分）， ∴甲的行驶路程与时间的函数表达式为：， 由图1知，乙的行程分成、两段， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时表达式为， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时可设表达式为：， 将点代入表达式，即， ∴乙的行驶路程与时间的函数表达式为， 故：甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，乙的行驶路程与时间的函数表达式为； （2）解：由题意，设甲行驶了分钟后与乙相遇， ∴， ∴（分）； （3）解：根据图2得，5分钟时两人相距最大，当时，两人相遇， ∴当时，根据乙的行程减去甲的行程可以得； ∵当甲到达图1中时，两人相遇， ∴， 故答案为：1850，． 8．快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 【答案】(1)， (2) (3)2小时或5小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间； （2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是； 由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走， ∴快车与慢车的速度比为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， ∴快车到达乙地的时间为小时． 故答案为：，6． （2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了， 则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 则，解得：， ∴． （3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时， 由图像可知：， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶小时，两车相距200千米； ②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时， 由题意的点，， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶5小时，两车相距200千米； ③当快车返回甲地前，两车相距200千米时， 由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时， ∴快车返回甲地的速度为， ∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为 小时． 综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米． 9．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 10．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 11．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 12．大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： (1)猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ (2)证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． (3)阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 【答案】(1)，火焰的像高是 (2)见解析 (3)D= 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的判定和性质，准确分析实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）观察实验数据，发现与的乘积为定值，从而确定反比例函数关系，再代入求出对应的值． （2）通过作辅助线，利用相似三角形的判定（两角分别相等）证明，根据相似三角形对应边成比例得到，结合已知、，验证（）中函数关系的正确性． （3）依据相似三角形性质得出（为小孔到地面的高），将代入，再结合太阳实际直径太千米，推导出与的函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意可知，前次实验的与的乘积都是，因此猜想与之间是反比例函数关系：， 第次试验，当时， 所以，火焰的像高是 （2）证明：由题意可知，是垂直于地面的线段， ∴， ∴ ∴， 把，代入上式得 ∴ ∴（）中猜想是正确的． （3）解：根据（）可得， ∴ ∵米，米， ∴ 13．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 14．综合与实践 问题背景： 山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生． 数学建模： 太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中． 问题解决： (1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式； (2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围； (3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？ 【答案】(1) (2) (3)当转速转/分钟时，总利润为11500元 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）令，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围； （3）根据利润=每小时的利润-损耗成本-每天固定成本列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，顶点坐标为， 设抛物线顶点式为：， 将起点代入得：， 解得， 抛物线解析式为：； （2）令，则， ，（舍去）， 锅在轴左侧 ，即． 锅的右端离轴不少于， ，即， 锅放置时锅的左端在轴的取值范围为； （3）由题意得：， 解得，， “尽量减少机器损耗”即取较小的转速（因损耗成本与成正比）， ． 当转速转分钟时，总利润为11500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 15．民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为元/件．为了解市场情况，商定先进行天的试销，第1天销售单价为元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为．设销售时间为t（天）（即第t天）． (1)请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式； (2)试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价； (3)在试销的天中，日销售利润不低于元的有多少天？ 【答案】(1)， (2)试销第9天日销售利润w最大为元，此时的销售单价为元/件 (3)日销售利润不低于元的有7天 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由农产品的成本为元/件，以后每天均涨价1元/件，则，又，从而，故可判断得解； （2）依据题意得，日销售利润，进而可以判断得解； （3）依据题意，结合（2），从而令，可得或，又二次函数的图象开口向下，且日销售利润不低于元，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵农产品的成本为元/件，以后每天均涨价1元/件， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）由题意得，日销售利润． ∴当时，日销售利润最大，最大值为元． ∴此时单价（元/件）． 答：试销第9天日销售利润w最大，日最大利润是元，此时的销售单价为元/件． （3）由题意，结合（2）， ∴令． ∴或． ∵二次函数的图象开口向下，且日销售利润不低于元， ∴，即共天． 答：在试销的天中，日销售利润不低于元的有天． 16．天猫“天天特价”网店销售某款打底裙，每件售价元，每星期可卖件，为促销，该店决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖件，已知该款打底裙每件成本元，天猫规定售价不得低于成本价，设该款打底裙每件售价x元，每星期的销量为y件，每星期的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)求w与x之间的函数解析式，并求当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若该网店每星期想要获得不低于元利润，请直接写出每件售价x的取值范围． 【答案】(1) (2)每件售价定为元时，每星期的销售利润最大，且最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是理解题意，找到题目中的相等关系，并据此列出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质． （1）根据“实际销售量=原销售量下降的价格”可得函数解析式； （2）根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意列出不等式，利用二次函数的性质求解可得出的范围． 【详解】（1） 解：． （2） 解：， ，开口向下，， 当时，w有最大值，元， 即每件售价定为元时，每星期的销售利润最大，且最大利润为元． （3） 解：根据题意知,， 解得． 8．2 方程、不等式实际应用 1．根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 2．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 【答案】客房有8间，房客有63人 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 3．立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元 (2)店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元”列方程求解； （2）根据“总利润单利润销售数量”列函数关系式，再根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲运动鞋的进价为元， 则：， 解得：， ， 答：甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元； （2）解：设店主将两种运动鞋同时提高元时，商店的利润为元， 则：， 当时，有最大值，为2220元， 为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元． 4．（1）求不等式组的正整数解； （2）“阅见未来，读享人生”．学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买15本甲种图书和20本乙种图书共需600元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 【答案】（1）不等式组的解集为，不等式组的正整数解为3，4，5；（2）甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的实际应用，正确掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别解每一个不等式，再取解集的公共部分即为不等式组的解集，即可写出正整数解； （2）设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元，根据“购买15本甲种图书和20本乙种图书共需600元”建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解为3，4，5． （2）设甲种图书每本的价格为x元，则乙种图书每本的价格为元， 由题意得：． 解得：， ∴， 答：甲种图书每本的价格为20元，乙种图书每本的价格为15元． 5．2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10．5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1．2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)甲特产15吨，乙特产85吨 (2)26万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用， （1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总成本为235万元得出方程，求出解即可； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总利润等于甲，乙两种特产的利润和得出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质讨论最大值即可. 【详解】（1）解：设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨． 依题意，得， 解得，则． 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）解：设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大． 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 6．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 7．某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 8．今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】(1)A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 (2)至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； （2）解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 9．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 10．某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【答案】(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 11．项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 12．“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元 (2)当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为a元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台，列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半，列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元， 根据题意得： 解得． 经检验∶ 是原方程的解且符合题意． 此时 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元． （2）解：根据题意得， 解得， 由题意得： ∵， ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w取得最小值，最小值为12800， 答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元． 13．某传统文化文创店为了推广国学经典与古典艺术，特意购进以“千里江山图”为元素的团扇和以“兰亭序”为元素的折扇两种商品．据采购记录，每把团扇的进价比每把折扇的进价贵10元．某次进货时，该商店购进团扇、折扇两种商品，用350元购进团扇的数量，恰好等于用300元购进折扇的数量．请你算一算，团扇、折扇每件的进价分别是多少元？ 【答案】团扇每件的进价是70元，折扇每件的进价是60元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设团扇每件的进价是x元，则折扇每件的进价是元，可得：，解方程并检验可得团扇每件的进价是70元，则折扇每件的进价是60元． 【详解】解：设团扇每件的进价是x元，则折扇每件的进价是元， 由题可得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 即团扇每件的进价是70元，折扇每件的进价是60元． 14．五一假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 【答案】15人． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人，利用人均费用总费用人数，结合实际人均费用变为原来的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设该学习小组的实际参观人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该学习小组的实际参观人数为15人． 15．国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 16．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 17．2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． (1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ (2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 【答案】(1)“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元 (2)“山侠”公仔最多能购进个 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解； （2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元， 由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元）， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴“山侠”公仔的单价为（元） 答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元； （2）解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个， 由题意得，， 解得：， 答：“山侠”公仔最多能购进个． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 代数综合应用 目录 8.1 函数与方程（组）综合题 8.2 方程、不等式实际应用（利润、行程、方案设计） 考情分析：安徽中考代数综合多以函数与方程结合形式考查，实际应用题常考利润、行程、方案设计，近3年解答题第19-20题固定考查此类题型 8.1 函数与方程（组）综合题 1．“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 2．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 3．一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 4．某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料进价是6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（单位：万元）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为，售价y（单位：万元/吨）随原料的质量x（单位：吨）变化的函数解析式为． (1)设销售收入是P（单位：万元），求P关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） (2)求原料的质量是多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出） 5．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 6．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是元，根据市场调查，当销售单价是元时，每天销售量是件，销售单价每降低元，就可多售出件． (1)求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)若商场规定该品牌童装的销售单价不低于元且不高于元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 7．甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 8．快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 9．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 10．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 11．在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 12．大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： (1)猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ (2)证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． (3)阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 13．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 14．综合与实践 问题背景： 山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生． 数学建模： 太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中． 问题解决： (1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式； (2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围； (3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？ 15．民族要复兴，乡村要振兴．利民超市老板决定为家乡代销某种农产品，该农产品的成本为元/件．为了解市场情况，商定先进行天的试销，第1天销售单价为元/件，以后每天均涨价1元/件，在销售过程中统计发现：日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系为．设销售时间为t（天）（即第t天）． (1)请直接写出x关于t，y关于t的函数解析式； (2)试销第几天日销售利润w最大？日最大利润是多少？并求出此时的销售单价； (3)在试销的天中，日销售利润不低于元的有多少天？ 16．天猫“天天特价”网店销售某款打底裙，每件售价元，每星期可卖件，为促销，该店决定降价销售，市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖件，已知该款打底裙每件成本元，天猫规定售价不得低于成本价，设该款打底裙每件售价x元，每星期的销量为y件，每星期的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)求w与x之间的函数解析式，并求当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)若该网店每星期想要获得不低于元利润，请直接写出每件售价x的取值范围． 8.2 方程、不等式实际应用 1．根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 2．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 3．立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 4．（1）求不等式组的正整数解； （2）“阅见未来，读享人生”．学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买15本甲种图书和20本乙种图书共需600元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 5．2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 6．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 7．某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 8．今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 9．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 10．某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 11．项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 12．“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 13．某传统文化文创店为了推广国学经典与古典艺术，特意购进以“千里江山图”为元素的团扇和以“兰亭序”为元素的折扇两种商品．据采购记录，每把团扇的进价比每把折扇的进价贵10元．某次进货时，该商店购进团扇、折扇两种商品，用350元购进团扇的数量，恰好等于用300元购进折扇的数量．请你算一算，团扇、折扇每件的进价分别是多少元？ 14．五一假期期间，智慧学习小组计划到云南省博物馆参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的．求该学习小组的实际参观人数． 15．国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 16．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 17．2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． (1)某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ (2)吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 学科网（北京）股份有限公司 $