专题08 圆综合 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

专题08 圆综合 考点目录： 1． 切线的证明与计算： · 判定：常用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”。 · 性质应用：证明垂直后，利用勾股定理、相似三角形进行线段长度计算。 · 可能涉及切线长定理。 2． 圆与相似三角形结合： · 利用圆周角定理找到相等的角，进而证明三角形相似。 · 利用相似比例式求线段长度。 3． 圆与锐角三角函数结合： · 在由半径、弦、切线构成的直角三角形中，求某个角的三角函数值。 4． 简单的最值问题： · 利用“直径是圆中最长的弦”、“定点到圆上各点距离的最值”等结论解决。 一、解答题 1．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接 （1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______． （2）求的度数． （3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；    （2）；（3）的最小值 【分析】（1）点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA，由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度； （2）根据SAS证得△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质和外角的性质即可以得到答案； （3）过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵等边三角形的边长AB为a， ∴AD=， 又∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°， ∴． ∵DO为内切圆半径， ∴． 故答案为：a，a． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°， 又∵AE=CF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（SAS）； ∴AF=BE，∠ABE=∠CAF． 又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°． ∴∠APB=180°-∠APE=120°． （3）CP存在最小值． 如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，则点P在上运动， ∵AO=OP=OB， ∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°， ∴∠OAB=30°， ∴∠CAO=90°， ∵AC=BC，OA=OB， ∴CO垂直平分AB， ∴∠ACO=30°， ∴cos∠ACO=，CO=2AO， ∴CO=4， ∴AO=2， 在△CPO中，CP≥CO-OP， ∴当点P在CO上时，CP有最小值， ∴CP的最小值=4-2=2， 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，线段垂直平分线的判定，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 2．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为． 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB； （2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC=， ∵∠EBC+∠ABC=， ∴∠D=∠EBC， ∵AD为⊙O直径， ∴∠ACD=， ∴∠D+∠CAD=， ∵CE⊥AB， ∴∠ECB+∠EBC=， ∴∠CAD=∠ECB； （2）①四边形ABCO是菱形，理由如下： ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥EC， ∵AB⊥EC， ∴∠OCE=∠E=， ∴∠OCE+∠E=18， ∴OC∥AE， ∴∠ACO=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°， ∴∠EBC=90°-30°=60°， ∴∠BAO=∠EBC =60°， ∴BC∥AO， ∴四边形ABCO是平行四边形， ∵OA=OC， ∴四边形ABCO是菱形； ②∵四边形ABCO是菱形， ∴AO=AB=2，AD=4， ∵∠CAD=30°， ∴CD=AD=2，AC=2， 过点C作CF⊥AD于点F， ∴CF=， ∴， ∵OC∥AE， ∴∠DOC=∠BAO=60°， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 3．如图，中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接． （1）求证：直线DE为的切线； （2）若的半径为1，，求图中阴影部分的面积．（参考数据：，，） 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】(1）连接、，通过证明得到，即，从而证明DE为O的切线； (2) ． 【详解】（1）证明：连接、 ∵点是的中点，点是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴且是的半径 ∴直线为的切线 （2）∵弧所对的圆心角是，圆周角是 ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是三角形和圆的相关知识点，关键在于对三角形和圆的性质的运用． 4．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）判断CD与⊙O的位置关系； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】（1）CD与⊙O相切；（2）． 【分析】（1）要判断CD与⊙O的位置关系，可连接OD，判断OD与CD能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF=OF-OE，所以要求EF，只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是⊙O的直径，可以判断出OF与BD平行的位置关系，从而利用和，即可分别求出OF和OE的长度． 【详解】（1）CD与⊙O相切． 证明：连接OD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADO+∠BDO=∠DAO+∠B=90°， ∵OF⊥AD，OD=OA， ∴∠AOD=2∠AOF，∠DAO=∠ODA． ∵∠AOD=2∠B， ∴∠ADC=∠B． ∴∠ADC+∠ADO=90°． ∴OD⊥CD． ∴CD是⊙O的切线． ∴CD与⊙O相切． （2）设⊙O的半径为r． 在Rt△OCD中， ∵， ∴， ∴． ∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD． ∴且． 由，得，． ∴． 由，得，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点．熟知切线的判定方法和相似三角形的判定与性质的综合运用是解题的基础；在解决问题的过程中，善于观察和思考，努力寻找和发现解决问题的方法是关键． 5．如图，在矩形中，点O在对角线上，以O为圆心，为半径的与，分别交于点E，F，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）直线与相切,证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接．证明即可得到结论； （2）证明，求出AE和BE的长，过点O作于点H，求出OH的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）直线与相切     理由：连接． ∵四边形是矩形， ∴AD//BC ∴，         ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 即 又∵是半径     ∴直线与相切：     （2）∵四边形是矩形， ∴，   ∵ ∴         ∴ ∴ ∴ ∴         过点O作于点H．则 ∵ ∴ 在中   ∴的半径为． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的判定与性质是解答此题的关键 6．如图，AB是⊙O的直径，是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，，BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线 （2）若⊙O的半径为4，ED=3AE，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【分析】（1）连接，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明．则根据“”可判断，所以．再根据切线的性质得，则，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）根据切线的性质得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ，， 又， ， ． 在和中 ， ， ． 是的切线， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：是圆的切线， ， ， 的半径为4，， ， 解得：，（舍去） 的长是1． 【点睛】本题是考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，灵活运用这些性质是本题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）正方形，理由见解析 【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB＝90°，E为中点，可得到ED＝CE，再利用角的和差可求得∠ODE＝90°，可得DE为切线； （2）由条件可得∠ODA＝∠A＝45°，可求得∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形． 【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠CDB＝90°， ∵E为BC的中点， ∴DE＝CE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°， ∴∠ODE＝∠ACB＝90°， 即OD⊥DE， 又∵D在圆O上， ∴DE与圆O相切； （2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形， 理由： ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝45°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝90°， ∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD， ∴四边形ODEC为正方形． 【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊥DE以及∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，OC＝OD． 8．如图，，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1）AC与⊙O相切，理由见解析；（2） 【分析】（1）连接BE，求出∠EBD+∠BFE=90°，推出∠ACE=∠AFC，∠EBD=∠BCE，求出∠ACE+∠BCE=90°，根据切线的判定推出即可． （2）根据BC=4，，求出AB=5，AC=3，AF=3，BF=2，根据∠EBD=∠BCE，∠E=∠E证△BEF∽△CEB，推出EC=2EB，设EB=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可． 【详解】解：（1）AC与⊙O相切， 证明：连接BE， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠E=90°， ∴∠EBD+∠BFE=90°， ∵AF=AC， ∴∠ACE=∠AFC， ∵E为弧BD中点， ∴∠EBD=∠BCE， ∴∠ACE+∠BCE=90°， ∴AC⊥BC， ∵BC为直径， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵⊙O的半为2， ∴BC=4， 在Rt△ABC中，， ∴AB=5， ∴AC==3， ∵AF=AC， ∴AF=3，BF=5-3=2， ∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E， ∴△BEF∽△CEB， ∴， ∴EC=2EB， 设EB=x，EC=2x， 由勾股定理得：x2+4x2=16， ∴x=（负数舍去）， 即CE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 9．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点 （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的值． 【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）． 【分析】（1）连接OC，如图，证明得到，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线； （2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设，在中，根据勾股定理求出x，设的半径为，在中，根据勾股定理求出r，再在中，根据勾股定理求出AC，于是得到结论． 【详解】解：（1）是的切线， 证明：连接， 在和中 ， ， ， ， ∵OD是圆的半径， 是的切线； （2）， ． 设， 在中，， ， ． 设的半径为，则， 在中，， ， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用． 10．如图，内接于，是的直径，与交于点，点是延长线上的一点，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，点等分半圆，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OA、AD，利用圆周角定理得到，则可证明，利用CD为直径得到∠，从而得到∠，∠，则∠，于是可证明∠，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）作EH⊥AD于H，由点B等分半圆CD得到∠，设DH=x，则，，所以，然后求出x即可得到DE的长． 【详解】 （1）证明：连接OA、AD ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵CD是直径 ∴∠ ∴∠，∠ ∴为等边三角形 ∴∠ 而∠ ∴∠ ∴OA⊥PA ∴PA是的切线； （2）解：作EH⊥AD于H ∵点B等分半圆CD ∴∠ ∴∠ 设DH=x 在中， 在中， ∴ 即 解得 ∴. 【点睛】此题主要考查圆周角定理和切线的判定，熟练进行逻辑推理是解题关键． 11．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）如图，连接OD， ∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ∴，即， ∵点D在上，即OD为的半径， ∴DE是的切线； （2）如图，过点O作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 12．如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）tan∠CAF=． 【分析】（1）连结OF，BE，由题意易得BE∥CD，再由点F是中点可求证OF⊥CD，问题得证； （2）由题意易得△OFD∽△ACD，然后利用相似三角形的性质进行求解AC的长，然后利用勾股定理及线段比例关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：连结OF，BE， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°， ∵∠C=90°，∴∠AEB=∠ACD，∴BE∥CD， ∵点F是弧BE的中点，∴OF⊥BE，∴OF⊥CD， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠C=∠OFD=90°，∴AC∥OF，∴△OFD∽△ACD， ∴， ∵BD=1，OB=2，∴OD=3，AD=5，OF=2,∴， ∴CD=， ， ∴， ∴tan∠CAF=． 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系及解直角三角形，关键是根据题意得到切线，然后根据相似三角形的性质及勾股定理进行求解三角函数即可． 13．如图，在⊙O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE、BC交于点F． (1) 求证：CD是⊙O的切线； (2) 若BD＝1，CD＝，求线段EF的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）连OC，根据切线的判定，证明； （2）设半径为r，在用勾股定理列式求出半径，过O作OH⊥AE于H，证明，利用对应边成比例列式求出AH，由垂径定理得到AE，最后用AF-AE求得EF长． 【详解】（1）连OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE＝CB，∴， ∴∠CAE＝∠OAC， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠BCD＝∠OCA， ∴∠OCD＝∠BCD＋∠OCB＝∠OCA＋∠OCB＝90°， ∵OC是⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r， 在Rt△OCD中，OC²＋CD²＝OD²， 即：r2＋()2＝(r＋1)2，解得r＝， 由（1）得，∠CAB＝∠CAF，AC⊥BF， ∴AF＝AB＝1， 过O作OH⊥AE于H，则AH＝EH， ∵CE＝CB，， ∴∠EAB＝∠COB， ∵， ∴， ∴， 即， ∴AH＝， ∴AE＝2AH＝， ∴EF＝AF－AE＝1－＝． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及切线的证明和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理结合题目条件进行证明． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BE＝4，OE＝5，求AC的长． 【答案】（1）CD与⊙O相切．理由见解析；（2）AC＝6． 【分析】（1）连接OC，如图，根据SSS可证△COD≌△COB，于是可得∠CDO＝∠CBO＝90°，进而可得结论； （2）根据勾股定理可得BO的长，进而可得DE的长，易证△EOB∽△ECD，然后根据相似三角形的性质可求出CD的长，即为CB的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， 在△COD和△COB中， ∵CO=CO，OD=OB，CD=CB， ∴△COD≌△COB（SSS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD为⊙O的切线； （2）在Rt△OBE中，OE＝5，BE＝4， ∴OB＝＝3， ∴DE＝OE+OD＝8， ∵∠OEB＝∠CED，∠OBE＝∠CDE， ∴△EOB∽△ECD， ∴OB：CD＝EB：ED，即3：CD＝4：8， ∴CD＝6， ∴CB＝6， 在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝6， ∴AC＝． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识是解题的关键． 15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接OC，由OA＝OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC＝∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点； （2）连接BC，∠BAC＝30°，在Rt△ABC中可求得AC，同理在Rt△ACD中求得CD． 【详解】（1）证明：连接CO， ∵AO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴CO∥AD， ∴CO⊥CD， ∴DC为⊙O的切线； （2）解：连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAB＝30°， ∵⊙O的半径为3， ∴AB＝6， ∴AC＝AB＝3． ∵∠CAD＝30° ∴ 【点睛】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $专题08圆综合 考点目录： 1.切线的证明与计算： ·判定：常用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”。 ·性质应用：证明垂直后，利用勾股定理、相似三角形进行线段长度计算。 ·可能涉及切线长定理。 2.圆与相似三角形结合： ·利用圆周角定理找到相等的角，进而证明三角形相似。 ·利用相似比例式求线段长度。 3.圆与锐角三角函数结合： ·在由半径、弦、切线构成的直角三角形中，求某个角的三角函数值。 4.简单的最值问题： ·利用“直径是圆中最长的弦”、“定点到圆上各点距离的最值”等结论解决。 一、解答题 1.如图，在等边△ABC中，点E,F分别是边AC,BC上的动点，AE=CF,BE与AF交于点P,连接 CP (1)设AB=a,直接写出等边△ABC外接圆的半径长为一，内切圆的半径长为— (2)求∠APB的度数. (3)若AB=6,在点E,F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在， 请说明理由. ABCD 2.如图1，四边形 ⊙OAD 内接于 为直径，过点C作C8LB于点5，连接4C B B D 图1 图2 (1)求证：∠CAD=∠ECB: CE.⊙O ∠CAD=30° OC (2)若是的切线， 连接，如图2. ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由： ②当AB=2时，求4D,4C与CD围成阴影部分的面积。 ⊙O、BC 3.如图， △ABC ，以B ∠BAC=90° D ED 中， 为直径的 交于点”，点E是4C的中点，连接 A E D ⊙0 (1)求证：直线DE为的切线： ⊙0 ∠B=50° sin50°≈0.77 (2)若的半径为1， 求图中阴影部分的面积.（参考数据： cos50°≈0.64，tan50≈1.20) 4.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=LAOF,OF⊥AD于点E, 交CD于点F. F O C A 0 的 (1)判断CD与⊙O的位置关系： (2)若sinC=3,BD=8,求EF的长. ABCD BD OB 5.如图，在矩形 中，点O在对角线上，以O为圆心， 为半径的 0与B,BD 分别交于点 E,F,且∠ADE=∠BDC. D F O (1)判断直线DE与o0 的位置关系，并说明理由： (2)若MB=8,D=4W5,求O0的半径 6.如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B,OCIlAD,BA、CD的 延长线相交于点E. D B 0 (1)求证：CD是⊙O的切线 (2)若⊙O的半径为4，ED=3AE,求AE的长. 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,E为BC的中点，连接 DE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AC=BC,判断四边形OCED的形状，并说明理由. D 0 B 18C,以BC为直径的0交B于点0，点E为8D的中点连结CF交4B于点F,且 △ABC BC 8.如图， AF=AC. B O (1)判新直线1C与o0 的位置关系，并说明理由： (2)若O0的半径为2，sinA=5,求cE的长. RiMABC由∠ABC=90° ),以4B为直径作00，点P为00 CB,连接D0并 CD=C DO 9.如图， 中， 上一点，且 延长交CB的延长线于点E CD⊙O (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； AC (2)若BE=2,DE=2BE,求DC的值. △ABC ⊙0CD⊙O 10.如图，内接于，是的直径， MB与CD交于点E,点”是CD延长线上的一点， P CD AP=AC,且∠B=2∠P. A E 0 1)求证，P以是O0的切线， (2)若PD=5,点B等分半圆CD,求DE的长 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙0交AB于点D,在线段AC上取点E,使 ∠A=∠ADE B A E C (1)求证：DE是⊙0的切线： (2)若∠A=30°，⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 12.如图，已知4B是00的直径，00与 ⊙O,Rt△ACD 的两直角边分别交于点E、F,点厂是张5的中点， F BE ∠C=90°，连接AF. E B 1)求证，直线DF是0的切线： (2)若BD=l,OB=2,求tan∠CAF的值. 13.如图，在⊙O中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长 AE、BC交于点F. E B D (1)求证：CD是⊙O的切线； ②若BD=1,CD=V2,求线段EF的长. 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O,D为⊙O上一点，且CD=CB,连接DO并 延长交CB的延长线于点E. 0 o (1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若BE=4,OE=5,求AC的长. 15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D,且AC平分 ∠DAB. C B (1)求证：DC为⊙O的切线： (2)若∠DAB=60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长.