专题07 几何压轴 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

专题07 几何压轴 考点目录： 1． 基本几何证明： · 全等三角形的判定与性质（SAS， ASA， AAS等）。 · 相似三角形的判定与性质（常为“A字型”、“8字型”或直角共角型）。 · 特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的判定与性质。 2． 动态几何探究： · 线段关系：探究两条线段的数量关系（相等、倍分）和位置关系（平行、垂直）。 · 线段或图形周长/面积的最值：通常需要利用相似、勾股定理建立函数关系式，再求最值。 · 特殊图形存在性问题：如等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的存在性，需分类讨论，结合图形性质列方程求解。 · 备考提示：本题是整卷的难点和天花板。解题策略：①从特殊位置（起点、中点、终点）入手猜想结论；②分析图形变化中的不变量（如定角、定比、定线段）；③将动态问题静态化，在某一特定时刻的图形中，运用全等、相似、勾股定理等知识进行推理和计算。 一、解答题 1．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 2．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；45°；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及旋转变换的性质，． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解. 【详解】（1）；； 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 3．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 4．如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想_，_ (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围_ 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 5．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 6．菱形对角线AC与BD交于点O，若，过点A作于点M，交BD于点N． (1)如图1，若，求AN的长度． (2)如图2，延长AM交DC延长线于点P，求证：． (3)如图3，若，在线段AB上取一点E，使得，连接CE，在CE上任取一点G，R为线段AC边上动点，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设元计算，找到直角三角形三边勾股关系列方程计算可得． （2）先通过三垂直全等得到关系，转化目标为，再通过截长补短得到及的线段，最后由角度求得线段关系得证． （3）此题须先利用对称找到最值位置，再求出容易计算的，最后求解含有特殊角度的的面积，利用的直角三角形相似及多重设元进行计算求得答案． 【详解】（1）解：过作于 菱形， 平分， 又，， ， 设， ， 与均为等腰直角三角形， ，，， ， ， 得， ； （2）解：在上取连接、， 菱形，， ，，， ，为菱形的对称轴，且； ， ， 又，， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 为菱形的对称轴， ，， ，， ， ， ， ． （3）解：作关于直线的对称线段，则关于直线的对称点在直线上，，当时，最小，即最小值为，与的交点为点． 由，得： ，； ，，， ， 中． 作交于，交于； 则，， ，，， 得，， ； 设， 则，，， ∴， ，， ． 四边形的面积为． 通过相似和设元计算得四边形的面积为． 【点睛】本题考查复杂的四边形证明和计算问题，涉及菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构作适当的辅助线是本题的难点与关键．在复杂计算中利用设元列方程能够有效简化计算，降低计算错误率． 7．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G． （1）求的度数． （2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值． （3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长． 【答案】（1）60°；（2）；（3）2或 【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABC，△ACD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△ABF≌△CAE，得到∠BAF＝∠ACE，从而结合三角形的外角性质求解即可； （2）延长GA至点K使得AK＝CG，首先结合（1）的结论推出△AFC∽△CFG，得到，从而求出GF，AG，CG，再证明△ADK≌△CDG，推出△DKG是等边三角形，从而求出DG，最后根据30°角的直角三角形的性质求解即可； （3）分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD， ∴△ABC，△ACD是等边三角形． ∴∠ABC＝∠CAE， 在△ABF与△CAE中， ∴△ABF≌△CAE(SAS)， ∴∠BAF＝∠ACE， ∴∠CGF＝∠GAC＋∠ACG＝∠GAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°； （2）如图所示，延长GA至点K使得AK＝CG． ∵∠BAF＝∠ACE， ∴∠FAC＝∠GCF， ∵∠GFC＝∠AFC， ∴△AFC∽△CFG， ∴, ∵CF＝4，，AC＝6， ∴，， ∵∠FGC＝60°，∠ADC＝60°， ∴∠AGC＋∠ADC＝180°， ∴∠GAD＋∠GCD＝180°， ∵∠KAD＋∠GAD＝180°， ∴∠KAD＝∠GCD， 又∵DC=DA， ∴△ADK≌△CDG（SAS）， ∴DK＝DG，∠KDA＝∠GDC， ∴∠KDG＝∠ADC ＝60°， ∴△DKG是等边三角形， ∴∠AGD＝∠DGH＝60°，DG＝KG＝AK＋AG＝AG＋CG＝， ∵，∠DGH＝60°， ∴ ； （3）①若AM=MC，则△MAC为等腰三角形， 此时，取AC中点为点P，连接OP，OM，BM， ∵∠MEO=60°，EO=EM， ∴△OEM为等边三角形， ∵∠FGC=60°， ∴∠MEO=∠FGC， ∴ME∥AF， ∵O为CE的中点，P为AC的中点，   ∴OP为△AEC的中位线，OP∥AB， ∵△ABC为等边三角形，△MAC为等腰三角形，P为AC的中点， ∴由“三线合一”知，B、M、P三点共线， 且BP⊥AC，AP=PC=AC=3，∠ABP=∠ABC=30°， ∵△OEM为等边三角形， ∴OE=OM，∠OEM=∠OME， ∵OE=OC， ∴OM=OC，∠OMC=∠OCM， ∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC， 即：∠OEM+∠OCM=∠EMC， ∴∠EMC=90°，CM⊥EM， ∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°， 此时，如图所示，将△AEC绕着C点逆时针旋转60°至△BNC，连接MN， 则∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°， ∵∠ECM=30°， ∴∠ACE+∠MCB=30°， ∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°， ∴∠MCN=∠MCE=30°， ∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM， ∴△MCE≌△MCN， ∴∠CMN=∠CME=90°， ∴E、M、N三点共线， ∴△ECN为等边三角形， ∵∠NBC=∠ACB=60°， ∴BN∥AC， ∵∠BPC=90°， ∴∠NBM=90°， ∵∠CMN=90°， ∴∠BMN+∠CMP=90°， ∵∠BMN+∠BNM=90°， ∴∠BNM=∠CMP， ∴△BMN∽△PCM， ∴， ∵， ∴， ∵PC=3， ∴BM=， 在Rt△ABP中，AP=3，∠ABP=30°， ∴BP=， ∴PM=BP-BM=， ∵∠MBC=30°，∠OMC=90°-∠OME=30°， ∴∠MBC+∠MCB=∠OMC+∠OMP， ∴∠MCB=∠OMP， ∵OP∥AB， ∴∠OPC=∠BAC=60°， ∴∠OPM=90°-60°=30°， ∴△OPM∽△MBC， ∴， 即：， ∴OP=1， ∵OP为△AEC的中位线， ∴AE=2OP=2； ②若AM=AC，则△AMC为等腰三角形， 如图所示，取AC中点P，连接OP，延长AO交MC于Q点， 由①可知，△EMC始终为直角三角形，∠EMC=90°，∠ECM=30°， 且EM与AF始终平行， ∴∠EMC=∠AQC=90°，AQ⊥MC于Q点， ∵OM=OC， ∴O点在AQ上， ∵∠COQ=60°，∠CGF=60°，   ∴此时O点和G点重合， ∵∠CPO=∠CAB=60°，∠COQ=60°， ∴∠APO=∠AOC=120°， ∴△APO∽△AOC， ∴， ∵AC=6，AP=3， ∴， ∴AO=， ∵Rt△OCQ中，∠OCQ=30°， ∴设OQ=x，则CQ=x， 在Rt△CAQ中，， 即：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴由得：， 解得：， ∵OP是△AEC的中位线， ∴AE=2OP=； ③若AC=MC，则E点在AB的延长线上，此时与E点在边AB上运动矛盾，故该种情况舍去； 综上，AE＝2或． 【点睛】本题考查特殊平行四边形的动点问题，涉及到相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的运用，等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的性质，熟练综合分析是解题关键． 8．在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE，EF． （1）取AD中点G，连接EF，EG．DE与FG交于点H． ①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH∽△DBH． ②如图2，当∠EDF＝2∠GED时，求线段EF的长． （2）连接AF，如图3，当∠DEF＝∠BAF时，求BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）． 【分析】（1）利用三角形中位线定理，得到平行线，得到∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH，得证△EGH∽△DBH； （2）连接BD，根据EG是中位线，∠EDF＝2∠GED，可证明∠ADE=∠CDF，根据菱形的性质，可得△ADE≌△CDF，得AE=CF=2,得BE=BF，再根据∠B=60°证明△BEF是等边三角形，即可得EF=BE=2； （3）延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K，根据△EFM∽△AFE，设相似比，继而得出，再由列方程求出k和BF即可． 【详解】解：（1）∵点E是AB的中点，AD中点G， ∴EG//BD， ∴∠GEH=∠BDH，∠EGH=∠DBH， ∴△EGH∽△DBH； （2）如解（2）图，连接BD， 由（1）EG//BD， ∴∠GED=∠EDB， ∵∠EDF=2∠GED， ∴∠EDF=2∠EDB=∠EDB+∠FDB， ∴∠EDB=∠FDB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB=∠CDB，∠DAE=∠DCF，AD=DC， ∴∠ADB-∠EDB =∠CDB-∠FDB，即∠ADE=∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF=2, ∴BE=BF=2， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°， ∴∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF=BE=2； （3）如解（3）图，延长线段DE交BC延长线于N，过E点作EK⊥BC，垂足为K， ∵在四边形ABCD是菱形中，， ∴△ADE∽△BNE， ∴， ∴，， ∵,, ∴在中，， ∵∠DEF＝∠BAF，∠AFE＝∠EFM, ∴△EFM∽△AFE， 设相似比，， 则 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， 整理得， ∴，（舍去）， 将代入并整理得：， 解得． 【点睛】本题综合考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、三角形中位线等知识，解题关键是利用全等三角形或相似三角形求出线段之间的关系，本题设参数解方程是难点，要求有较强的计算能力． 9．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）作图：延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． ∵由（1）可得为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴． ∵， ∴同理：为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 10．菱形中，点E为边上一动点，射线与的延长线交于点F，连接，射线与交于点G． (1)如图1，E为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点H在边AD上，若，，线段的长为________． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①根据菱形的性质，证明，等量代换即可得证； ②先证明，再证明，根据，就可以证明，解答即可； （2）延长与交于点，连接，利用等边三角形的判定和性质，相似的判定和性质，分类解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：①证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：如图，延长与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， 由①得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：如图，延长与交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ， ， ②当，， ， 同理①的方法可得， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 11．如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题是等腰直角三角形与旋转结合的几何综合题，围绕“线段关系证明”和“面积计算”展开，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． 学科网（北京）股份有限公司 $专题07几何压轴 考点目录： 1.基本几何证明： ·全等三角形的判定与性质(SAS,ASA,AAS等)。 ·相似三角形的判定与性质（常为“A字型”、“8字型”或直角共角型）。 .特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的判定与性质。 2.动态几何探究： ·线段关系：探究两条线段的数量关系（相等、倍分）和位置关系（平行、垂直）。 ,线段或图形周长面积的最值：通常需要利用相似、勾股定理建立函数关系式，再求最值。 ·特殊图形存在性问题：如等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的存在性，需分类讨论，结合图 形性质列方程求解。 ·备考提示：本题是整卷的难点和天花板。解题策略：①从特殊位置（起点、中点、终点）入手猜想结 论；②分析图形变化中的不变量（如定角、定比、定线段）；③将动态问题静态化，在某一特定时刻 的图形中，运用全等、相似、勾股定理等知识进行推理和计算。 一、解答题 BC m 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=n,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点，连接DE, 过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F. D 图1 图2 图3 备用图 DE (1)如图1，若m=n’点E在线段AC上，求出DF的值，并写出证明过程： DE (2)①如图2，若点E在线段AC上，则DF= (用含m’n的代数式表示)； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明： 3若4C=V5,BC=2N5,DF=45,请直接写出CE的长. 2.综合与实践 A D E 图① 图② 图③ 【问题呈现】 (1)如图①，△AOC和△ADE都是等腰直角三角形，∠AOC=∠ADE=90°，连接OD,CE,则OD, CE之间的数量关系是 ,∠OCE= (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D(不与点B,C重合)是直线CB上的一动点， 将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得到DE,连接CE,AE. 【类比探究】 ①如图②，点D在线段CB上时，求证：AC-CE=V2BD 【拓展提升】 ②如图③， AB=AC=4V ,在点D运动的过程中，当∠CME=60°时，请直接写出CD的长. 3.【问题发现】 M o 图1 图2 备用图 和0cD. 1)如图1，在△01 OA=OBOC=OD∠AOB=∠COD=35° AC.BD 中， ，连接 交于 AC 点M.求出BD的值及∠AMB的度数： 【类比探究】 △0MB和△0CD ∠AOB=∠COD=90°∠OAB=∠OCD=30° 连接C,交B AC (2)如图2，在 ， 的 AC 延长线于点M,求出BD的值及∠AMB的度数： 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，若OD=2,AB=8,将△OCD绕点O在平面内旋转一周.当D、C、B三点共 线时时，直接写出AC的长为 t△ABC, 4.如图1，在 中， ∠C=9P,∠A=30°，DE∥AB与边1C、BC分别交于点D、E,连接BD,点 F、G、H分别是DE、DB、AB的中点，分别连接FG、GH. G H H 图1 图2 (1)观察、猜想 FG 观察图1，猜想GH-,∠FGH=- (2)探究、说理 把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明：如 果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在△ABC所在的平面内，把△CDE绕点C自由旋转，当AC=I0、CD=4时，直接写出线段GH的长度 的取值范围」 5.某校数学活动小组探究了如下数学问题： 图1 图2 图3 (1)问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,以AP 为腰作等 RMPO,且2PH0=90°， 0、则P和C0 ，连接 F和”的数量关系是 (2)变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是腰AB上一点，连接CP,以CP为 底边作等腰Rt△CPQ,连接AQ,判断BP和AQ的数量关系，并说明理由： (3)问题解决：如图3，在正方形 O中，点'是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点”是正 ABCD 方形DPGr两条对角线的交点，连接C0.若正方形DPEf的边长为20，CQ=25 请直接写出正 方形ABCD的边长. 6.菱形ABCD对角线AC与BD交于点O,若∠ABC=45°，过点A作AM L BC于点M,交BD于点N. D D N h B M M B P 图1 图1 图3 (1)如图1，若AB=4,求AN的长度. (2)如图2，延长AM交DC延长线于点P,求证：2 BN-ON+OC (3)如图3，若AC=4,在线段AB上取一点E,使得∠ACE=15°，连接CE,在CE上任取一点G,R为 线段AC边上动点，当RG+GA取最小值时，直接写出四边形AEGR的面积. 7.如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB=AC=6,点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足 AE=BF,连接AF与CE相交于点G. (1)求∠CGF的度数. (2)如图2，作DH1CE交CE于点H,若CF=4,MF=27 求GH的值， (3)如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM,当△MAC构成等 腰三角形时，请直接写出AE的长. D G H B 图1 图2 图3 8.在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，点E是AB的中点，点F在边BC上，连接DE,EF. (1)取AD中点G,连接EF,EG.DE与FG交于点H. ①如图1，当点F与点B重合时，求证：△EGH-△DBH. ②如图2，当∠EDF=2LGED时，求线段EF的长. (2)连接AF,如图3，当∠DEF=∠BAF时，求BF的长 G 4 G D A D D F B C 图1 图2 图3 9.在矩形ABCD中，AB=2,∠BAD的平分线交BD于点O,交射线BC于点E,交射线DC于点F,取 EF的中点G,连接BG、DG D B G 图① 图② (1)利用图①，求证：BA=BE: 2若射线BG交射线DC于点，当GF=4F时，请直接写出eGH的面积： .0E_4 (3)如图②，DG交BC于点M,若EF=5,求CM的长. 10.菱形ABCD中，点E为CD边上一动点，射线AE与BC的延长线交于点F,连接DF,射线BE与DF 交于点G. 图 图2 (1)如图1，E为CD中点，∠AEB=∠BCD. BE2=CE·BC ①求证： ②若AB=6,求线段EG的长： (2)如图2，点H在边AD上，若∠EBH=∠BCD=60°，BE=4EG=2,线段AH的长为 ABCD 11.如图1，在四边形 中， ∠ABC=90,AB=BC,连接 CBD交于点P,且满足 PAPC=PB·PD B ⊙ 图1 图2 图3 (1)求证：∠ABD=∠ACD: CD 3 2如图2，已知4D4,过点p作PE⊥4B于点E PE ①求BC的值： ②如图3，连接DE,若5m=8 ,求BD的长 12.如图，在△ABC ∠ABC=90°，AB=BC ,点在线段8C上点C不与点，C重合，线段4G绕 (I 中， 点A顺时针旋转9O°得到线段AD,连接DG,DE⊥AC于点E,DE与AB交于点F 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：△AFD≌aGCA: (2)如图②，连接FG,求证：FG+2AE=DF: 如图③，设DF与4G交于点N,DG与4C交于点M,当BF=F=5时，求4DNM 的面积.