精品解析：河北秦皇岛市实验中学2025-2026学年度第一学期期末考试高二年级数学试题

秦皇岛市实验中学学年度第一学期期末考试 高二年级数学试题 命题人：刘佳 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 抛物线的准线方程为 A. x=2 B. x=2 C. y=2 D. y=2 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查抛物线的性质． 点拨：准线方程为． 解答：根据抛物线方程的特征，，准线方程为，故选C． 2. 数列，3，，15，的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式 【详解】数列各项正､负交替，故可用来调节， 又， 所以通项公式为 故选：A. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 4. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 5. 已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用点差法计算可得. 【详解】依题意直线的斜率存在，设，， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 7. 在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用基本不等式 “1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 8. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及已知条件得到，，在中利用余弦定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 则，，因为， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以， 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（ ） A. 苦为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二元二次方程与选项中曲线方程的结构特征，得到对应的不等式，解之即可得解. 【详解】因为方程，即所表示的曲线为， 对于A，若为椭圆，则，且，故A错误； 对于B，若为双曲线，则，或，故B正确； 对于C，当，即时，曲线为圆，故C正确； 对于D，若为焦点在轴上的椭圆，则，，故D错误. 故选：BC. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知条件可知A和B选项；利用等差数列求和判断C选项；根据，判断D选项. 【详解】因为，，，所以和异号，且， 所以，，所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为，，，，所以当时，最大，故D错误. 故选：BC. 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故答案为：8. 14. 已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设到轴的距离为，过点作⊥准线于点，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，， 则，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再用点斜式写出直线方程； （2）求弦长时可联立直线与抛物线方程，用韦达定理结合抛物线焦点弦公式计算. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为， ∵ 直线过点且斜率为1， ∴ 由点斜式得直线的方程为，即. 【小问2详解】 联立直线与抛物线的方程， 消去得：，整理得. 设，，由韦达定理得.， 得； 因 ，，故 . 即线段的长度为. 16. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和，求和. 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可. （2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解. 【小问1详解】 设的公比为q，则， 由，，成等差数列，得，则有，解得， 所以和的通项公式是，. 【小问2详解】 由（1）知； ， 则， 两式相减得， 所以. 17. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 【答案】（1）双曲线C的方程为； 渐近线方程为．（2）l方程为． 【解析】 【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程； （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程． 【详解】（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c， 则c＝2，，a＝1， 所以b2＝c2﹣a2＝3， 故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　 双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　 （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程， 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*） △＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程（*）的两个根，所以， 又由，可知x1x2+y1y2＝0， 即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得， 故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得， 所以直线l方程为． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 19. 设椭圆的左焦点为 ，离心率为，过点 且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆方程； (2)过点的直线 与椭圆交于不同的两点，当 面积最大时，求 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）由离心率和点.用待定系数法求出椭圆的方程.（2）利用点到直线的距离公式求出高及弦长公式求出弦长.分式形式的最值的求法要记牢.本题是对椭圆的基础知识的测试. 试题解析：(1)由题意可得，，又 ，解得， 所以椭圆方程为 (2)根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线 的方程为，设 ，由方程组消去 得关于的方程 由直线与椭圆相交于 两点，则有，即 得： 由根与系数的关系得 故 又因为原点到直线 的距离，故的面积 令则 ，所以当且仅当 时等号成立， 即时， . 考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.点到直线的距离.3.弦长公式.4.最值的求法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市实验中学学年度第一学期期末考试 高二年级数学试题 命题人：刘佳 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 抛物线的准线方程为 A. x=2 B. x=2 C. y=2 D. y=2 2. 数列，3，，15，的一个通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 4. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 5. 已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为，下列说法正确的是（ ） A. 苦为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为焦点在轴上的椭圆，则 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. C. D. 当时，最大 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，，则__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 14. 已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长度. 16. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列. （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和，求和. 17. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 19. 设椭圆的左焦点为 ，离心率为，过点 且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆方程； (2)过点的直线 与椭圆交于不同的两点，当 面积最大时，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $