湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，解答题融合教育测量模型、椭圆综合应用及数列单调性证明，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、向量、函数单调性等|注重概念辨析与空间想象| |填空题|3/15|双曲线离心率、三角函数零点等|考查抽象能力与规律探究| |解答题|5/77|概率统计估计掌握概率、椭圆斜率之积与最值、函数证明数列单调性|突出逻辑推理与模型应用|

高三数学 本试卷分第 Ⅰ 卷 (选择题) 和第 Ⅱ 卷 (非选择题) 两部分，共 6 页。时量 120 分钟，满分 150 分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.一个样本3，4，5，6，a的平均数是 b，且不等式 的解集为(b，a)，则这个样本的标准差是 A. 1 B. C. D. 2 2.已知向量，满足 则·= B. C. - 1 D. 1 3.已知集合 则 A. {x|1<x<2} B. {x|1<x≤2} C. {x|x>2} D. {x|x≥2} 4.已知函数 在区间(t-3，t+5)上单调递增，则实数 t的取值范围是 A. - 6<t<6 B. t≥6或t≤-6 C. t>6或t<-6 D. - 6≤t≤6 5.设数列{}的前n项和为,已知 则 6.三次函数 f(x)在 处的切线与函数y=f(x)的图象的交点个数为 A. 1个 B. 3个 C.1个或者 2个 D. 2个 7.过抛物线 的焦点 F 作直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,点 P 在 y 轴上,PA⊥PB,M 为线段 AB 的中点，O为坐标原点，则∠OPM 的取值范围是 A. B. C. D. 8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为4 的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2 则该四棱锥的外接球的表面积为 C. 32π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.下列有关复数的结论正确的是 A. 3+i>1+i B.若复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数,则m=-1 C.若 2i-3是关于x的方程2x²+ px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p+q=38 D.若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为3π 10.如图，在直三棱柱 中, 点 D,E,F 分别为A₁B₁,AA₁,CD 的中点. 下列结论正确的是 A. EF//平面ABC B.异面直线 EF 与 BC 所成角的余弦值为 C.直线 BE 与平面 CC₁D 所成角的正弦值为 D.平面 A₁CD与平面 CC₁D 夹角的余弦值为 11. 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的图象连续不间断,当x≥0时,f(1+x)=2f(1-x),且当x>0时,f'(1+x)+f'(1-x)<0,则下列说法正确的是 A. f(1)=0 B. f(x)在 (-∞,1]上单调递减 C. 若 则 D. 若x₁,x₂是g(x)= f(x)-cos(πx)的两个零点，且 则 1<<2 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为 . 13.已知函数f(x)= sinωx-cosωx(ω>0),若集合A = {x∈[0,π)|f(x)=1}只含有3 个元素，则实数ω的取值范围是 . 14.在两个实数a，b之间插入这两个数的和，得到数列 A₁：a，a+b，b；在数列 A₁的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列. 用同样的方式依次构造数列A₃,A₄,….若数列 A₁₀₀ 中所有各项的和为 则a+b= . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,点 E 在 BD 上,AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (1) 证明: 平面 ACD⊥平面 ABD; (2) 若 DE=2,BE=1,AE=2, 求平面 ABC 与平面 ACD 夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 (1)求角 A; (2)点 D 在 BC 边上,且 求△ABC 面积的最大值. 17.(本小题满分 15 分) 某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为 80，乙校学生选择正确的人数为 75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X 为这2名学生中该题选择正确的人数，求X =1的概率及 X 的数学期望. (2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能 100%选择正确. ① 求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值 p₁； ② 已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率. 18.(本小题满分 17 分) 已知椭圆 的离心率为 长轴长与短轴长的差为2，点 A，B，C 都在 E 上，O为坐标原点，且 (1)求 E 的方程; (2)若直线 OA，OB 的斜率存在，求直线 OA 与 OB 的斜率之积； (3)设直线 OA 与 E 的另一个交点为 D，点 P 在线段 AD 上运动，过点 P 作斜率为 的直线 l 与 E相交于 M,N 两点,若直线 AD 的斜率为3,求|PM|+2|PN|的最大值. 19.(本小题满分 17分) 已知当 时，定义函数： 完成以下问题： (1)证明不等式： 并指出等号成立条件. (2)若 对任意 恒成立，求实数 k 的取值范围. (3)设数列{ }满足: 证明：数列 单调递减，且对任意正整数 n，有 学科网（北京）股份有限公司 $