8.4乘法公式（第2课时平方差公式）同步练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册

8.4乘法公式（第2课时平方差公式）同步练习 一、单选题 1．下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 3．下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 7．代数式的值是（　　） A． B． C． D． 8．在用平方差公式计算时，第一步正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 10．定义新运算：，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 11．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图，将边长为的大正方形通过剪裁、拼接，得到新的图形，利用图形面积不变可以直观解释乘法公式的结构．现有甲、乙两种拼图方案（如图①和图②），其中能够验证公式成立的是（   ） A．方案甲可以，方案乙不可以 B．方案甲不可以，方案乙可以 C．方案甲、乙都可以 D．方案甲、乙都不可以 二、填空题 12．若，，则 ． 13．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 14．若，，则的值为 ． 15．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是 ． 16．如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ． 17．若，则 ． 18．用简便方法计算的结果是 ． 19．若，则代数式的值为 ． 20．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 21．如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 ；若，，则比多出来的使用面积为 ． 22．若，，，则a，b，c的大小关系是 （用“”表示）． 23．新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 三、解答题 24．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 25．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 26． 计算：． 27．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，…… (1)请写出第5个等式； (2)观察上面的规律发现，两个连续奇数的平方差等于介于这两个奇数之间的偶数的4倍．请用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式； (3)运用有关知识，说明（2）中的结论的正确性． 28．【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图①）． (1)图①中的阴影部分的面积为___________（用含的代数式表示）；将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图②），那么这个长方形的面积为___________（用含的代数式表示）； (2)结合图①、图②，可以得出一个代数恒等式：___________； (3)根据（2）中的结论计算：； (4)【灵活应用】图③为2025年4月的日历，从中画出一组用5个数字组成的形图案（阴影部分），先观察这5个数之间的数量关系，再从特殊到一般，从图③中任意找一个形图案（如图④），若设这个形图案的中心数为，、、、所对应的数分别设为、、、，请求出的值． 29．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 30．阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： 如果将中间的数记为为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： ………………第一步 …………第二步 ……………………第三步 ．…………………………第四步 归纳总结：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n为整数，且）． 任务： (1)“规律探究”中，第二步到第三步运用了__________公式． (2)利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． (3)请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m，且）的乘积的规律． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 【详解】解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的乘法运算，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．检查各选项是否符合此条件． 【详解】∵ 平方差公式要求 ． A：，不符合平方差形式； B：，符合平方差公式； C：，符合平方差公式； D：令 ，则 ，符合平方差公式． ∴ 不能用平方差公式计算的是A 故选A． 4．B 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式可推出，再根据整数性质判断各结论即可． 【详解】解： ， 当时，，不是正整数，故①错误； ∵为任意整数， ∴是奇数， 又∵3是奇数，奇数乘以奇数仍是奇数， ∴一定是奇数，故②正确； ∵， ∴总能被3整除，故③正确． ∴ 正确结论的序号是②③．， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查平方差公式的应用，将视作整体是解题的关键． 通过设，将原式按平方差公式进行化简，然后解方程求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∴， ， ， 得， 即， 故选D． 6．A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答． 【详解】解： … ， ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 10．C 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据新运算的定义，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据两个方案，分别求出各方案中左、右两个图的阴影部分面积，再作判断即可． 【详解】解：方案甲，左图阴影部分面积为，右图阴影部分为长为，宽为的长方形，面积为，能够验证平方差公式； 方案乙，左图阴影部分等于大正方形的面积减去小正方形的面积 ，右图是底为，高为的平行四边形，面积可表示为，能够验证平方差公式， 故选：C． 12．10 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；利用平方差公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由平方差公式，得 ． 又，， ∴． 故答案为：10． 13． 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：． 直接应用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 14．/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用x表示出剩余阴影部分的面积，再分解因式，然后根据长方形的一条边长为，得出它的一条邻边长． 【详解】解：在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分的面积为， 因为长方形的一条边长为， 所以它的一条邻边长是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 17．25 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方公式逆用，利用平方差公式将已知条件变形，再逆用积的乘方公式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故答案为：25． 18． 【分析】本题考查了平方差公式的简便运算，熟记平方差公式是解题的关键． 先整理，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 19．1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 故答案为：1． 20． 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 21． 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 22． 【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 23． 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 24．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）先根据平方差公式分别计算，再加减即可； （4）根据平方差公式依次进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 26． 【分析】本题主要考查了用平方差公式进行简便计算，把算式中各部分分别用平方差公式分解因式，可得：原式，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 27．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握此知识点并发现数字变化规律是解题的关键． （1）根据题意写出符合规律的算式即可； （2）根据等式的规律即可得出答案； （3）利用平方差公式因式分解进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：观察前面几个等式，可得第5个等式为． （2）解：由规律可得第n个等式为． （3）解：因为左边=右边， 所以是正确的． 28．(1)； (2) (3)800 (4)28 【分析】此题考查的是列代数式，平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，根据图形列出正确的代数式，并且归纳出结论是解此题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积列式即可；图②根据长方形面积公式列式即可； （2）根据阴影部分的面积不变即可求解； （3）根据（2）的结论计算即可求解； （4）设中心数为，则，，，，代入，根据（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的面积， 长方形的面积． 故答案为：；； （2）解：∵图①中的阴影部分面积图②中的阴影部分面积， ∴． 故答案为：； （3）解： ； （4）解：设中心数为， ∴，，，， ∴ ． 29．（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 30．(1)平方差 (2)7980 (3) 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式； （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【详解】（1）解：“规律探究”中，第二步到第三步运用了平方差公式． 故答案为：平方差； （2）解：． （3）解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $