精品解析：江苏省南通市海安市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】根据题意得， 故选：B 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定格式解题. 【详解】由，得命题的否定为. 故选：C. 3. 若正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 4. 设是上的奇函数，且当时，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【详解】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换求解. 【详解】因为， 所以只需将函数向左平移个单位长度得到. 故选：C. 6. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由终边上的点表示三角函数值，结合余弦两角和差公式计算即可. 【详解】因为角终边上一点， 所以，， 所以. 故选：A 7. 若面积为扇形与面积为的正方形的周长相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示扇形的周长，正方形的周长，利用，得，再表示扇形面积，正方形的面积，计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，正方形的边长为， 则扇形的周长，正方形的周长， 扇形周长和正方形周长相等， ，即， ， ， ， 即， . 故选：D 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数性质与中间变量法得到，利用对数的运算性质结合中间变量法得到，最后得到即可. 【详解】由指数性质得，则， 由余弦函数性质得， 而，则，即，可得， 由对数性质得， 由指数性质得，则，即，可得， 综上可得成立，故D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项得合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则函数不可能是（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 对数函数 D. 余弦函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据幂函数的性质判断；对B，根据指数函数的性质判断；对C，举例说明；对D，根据余弦函数的性质判断. 【详解】对于A，因为，而幂函数图象不经过第四象限，所以函数不可能是幂函数，故A正确； 对于B，因为指数函数的值域为，所以函数不可能是指数函数，故B正确； 对于C，如，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线，则（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 与曲线重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB，根据三角函数性质分别代入验证；对C，求出曲线的增区间判断；对D，利用诱导公式将曲线变形与曲线的解析式比较判断. 【详解】对于A，当时，， 所以曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，，所以曲线关于点对称，故B正确； 对于C，令，，得， 所以曲线的增区间为， 所以曲线上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，因为曲线 ， 所以曲线与曲线重合，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义在上的函数满足：，当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. 为偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 函数的零点个数为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得函数的奇偶性、对称性和图像变换可得函数是周期为4的奇函数.再根据函数与函数的图像的交点个数可得答案. 【详解】根据题意， ， 所以的周期为4，A正确； 由，为奇函数，B错误； 根据，则， 所以函数关于直线对称， 当时，，则在区间上是增函数， 在区间上是减函数， 根据周期性可知在区间上增函数，在区间上是减函数，C错误； 画出函数和的图象，可得两函数图象有两个公共点， 则函数的零点个数为2，D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 13. 若，则____________________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 14. 已知，则的最大值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由题可得，结合指对数函数的单调性可得存在，使得当时上式成立，所以，结合函数单调性求解. 【详解】由，得， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 又的增长速度快于，故存在，使得当时，成立， 因为，令，易知在上单调递增， ，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6. 故答案为：6. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 设全集， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，再根据集合的补集和并集运算求解； （2）根据题意可得是的真子集，化简集合列式求解. 【小问1详解】 依题意， 又，故. 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 由（1）知，，又， 所以， 故实数的取值范围是. 16. 已知. （1）求的值； （2）用表示，并求的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解； （2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 . 因为，所以， 故. 因为，所以. 所以 17. 某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，. （1）求； （2）求关于的函数关系式； （3）若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围. 【答案】（1）200 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意代入运算得解； （2）根据题意写出分段函数的解析式； （3）根据题意分，和讨论求解. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 当时，； 当时，. 综上，. 【小问3详解】 当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 ， 令，得，所以. 当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 令， 得或，所以. 当时，从第分钟到第分钟的打印页数为 ，不符题意 综上，的取值范围为. 18. 设，函数为奇函数. （1）求； （2）判断并证明函数的单调性； （3）设，直线与函数的图象交点的横坐标分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性和定义域建立关于的不等式求解即可； （2）根据函数单调性的定义取值，代入函数，作差判断符号即可； （3）根据题意求出交点的横坐标，作差结合基本不等式求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以函数的定义域关于“0”对称. 又即，所以， 当时代入原函数得， 故， 所以时为奇函数. 【小问2详解】 由（1）知，. 函数为区间上的减函数. 证明：设对任意的，且. ， 因为，又， 故，所以， 所以， 所以，所以为区间上的减函数. 【小问3详解】 由（2）知，，由可得，. 即. 所以 （当且仅当时，等号成立）， 19. 对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求的取值范围.（参考公式：） 【答案】（1）不具有，具有，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，逐个验证； （2）由性质，问题转化为，由在区间上单调递减，得，即证，结合条件易证； （3）根据性质的定义，可得，结合辅助角公式可得，即，结合三角函数线知识求解. 【小问1详解】 不具有性质， 理由：函数的定义域为， 因为；所以函数不具有性质， 具有性质， 理由：函数的定义域为， 因为，所以， 所以，故函数是否具有性质， 【小问2详解】 当时，要证明函数具有性质， ， 即证，即证. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减， 所以. 故只需，而，所以显然成立， 所以具有性质. 【小问3详解】 因为函数具有性质，所以对任意的， 即，即， 即， 即. 因为的最大值为1，所以. 由参考公式，，即，即. 根据三角函数线知，当时，；又当时，，故，所以当时，. 所以当，即时，符合要求；当，即时，不符合要求. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 设是上的奇函数，且当时，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若面积为的扇形与面积为的正方形的周长相等，则（ ） A. B. C. D. 8 设，则（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项得合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则函数不可能（ ） A. 幂函数 B. 指数函数 C. 对数函数 D. 余弦函数 10. 已知曲线，则（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 与曲线重合 11. 定义在上的函数满足：，当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. 为偶函数 C. 在区间上是增函数 D. 函数的零点个数为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足函数解析式__________. 13. 若，则____________________. 14. 已知，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 设全集， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）求的值； （2）用表示，并求的值. 17. 某单面打印机在连续打印时，打印速度会随时间而变化.从开始打印经过分钟时的打印速度（单位：页/分钟）为，累计打印页数为，且当时，. （1）求； （2）求关于的函数关系式； （3）若从第分钟到第分钟，打印页数不少于41页，求的取值范围. 18. 设，函数为奇函数. （1）求； （2）判断并证明函数的单调性； （3）设，直线与函数的图象交点的横坐标分别为，求的最大值. 19. 对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求的取值范围.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $