4.4利用三角形全等测距离 寒假预习讲义（知识点+7大题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.4利用三角形全等测距离寒假预习讲义 （知识点+7大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 添加条件使三角形全等】 1 【题型2 倍长中线模型】 2 【题型3 旋转模型】 8 【题型4 垂线模型】 12 【题型5 其他模型】 21 【题型6 证一条线段等于两条线段和差】 28 【题型7 全等三角形综合问题】 34 1.回顾并熟练掌握三角形全等的4种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），能快速区分不同判定方法的适用条件，避免混淆易错点。 2.理解“利用三角形全等测距离”的核心原理：将无法直接测量的距离，转化为可直接测量的、与它相等的线段（借助全等三角形“对应边相等”的性质）。 3.能看懂课本中利用三角形全等测距离的典型实例（如池塘两端、不可到达的两点间距离），明确每一步操作对应的全等判定依据。 模块三 知识点梳理 （一）预习前提：回顾三角形全等的核心内容（必背） 1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（核心依据，测距离的关键）。 2. 全等三角形的4种判定方法（简写）：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等）、AAS（两角及一角的对边对应相等）。 3. 易错提醒（寒假预习重点标记）：① 判定全等必须强调“对应”，非对应边、非对应角相等不能判定全等；② SSA（两边及其中一边的对角）不能判定三角形全等，避免误用。 （二）核心内容：利用三角形全等测距离的原理与思路（重中之重） 1.核心原理：转化思想—— 当一个距离无法直接测量（如两点被障碍物隔开，无法直接用尺子测量）时，我们可以通过构造两个全等三角形，将这个无法直接测量的距离，转化为与它相等的、可直接测量的线段（因为全等三角形的对应边相等）。 2.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． 3.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： 构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； 构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； 构造三边对应相等的两个全等三角形. 总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”． （三）课本典型实例（寒假预习必看，理解透彻） （贴合北师大版课本，简化表述，易懂好记，可对照课本图形预习） 1. 实例：测量池塘两端A、B的距离（无法直接测量，被池塘隔开） · 构造方法：在池塘外取一点C，连接AC并延长，使AC=CD；连接BC并延长，使BC=CE，连接DE。 · 全等判定：在△ACB和△DCE中，AC=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=CE，∴ △ACB≌△DCE（SAS）。 · 得出距离：∵ △ACB≌△DCE，∴ AB=DE（对应边相等），测量出DE的长度，即为池塘两端A、B的距离。 （四）关键提醒与易错点（寒假预习重点标记，避免出错） · 构造全等三角形的核心：确保构造的两个三角形满足全等的判定条件，对应边、对应角要准确，尤其是“夹角”“夹边”不能找错（如实例中利用对顶角相等作为夹角，是常用技巧）。 · 转化思想的关键：明确“要测的线段”和“构造的全等三角形中对应的可测线段”，二者必须是全等三角形的对应边，才能保证长度相等。 · 常见易错点：① 构造三角形时，延长线段不相等（如AO≠CO、BC≠EC），导致无法全等；② 证明全等时，遗漏判定依据（如不写对顶角相等）；③ 混淆“要测的距离”对应的对应边，导致测量结果错误。 · 寒假预习小技巧：构造图形时，可结合草稿纸画图，用不同符号标记对应边、对应角，方便理解全等关系；记住“对顶角相等”“公共边相等”是构造全等时常用的隐藏条件。 模块四 题型汇总 【题型1 添加条件使三角形全等】 【典例1】．如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知一边一角，再补充一组角相等，即可证，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ B选项补充 ∴，即 ∴ 补充其他选项都不能证明， 故选：B． 【变式1-1】．如图，已知，再添加一个条件使，以下条件不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定全等三角形，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， A．当时，利用可以判定； B．当时，利用可以判定； C．当时，不可以判定； D．当时，利用可以判定； 故选：C． 【变式1-2】．如图，点、在线段、上，，添加（   ）不能保证 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由题意，，， A．若添加，可利用定理可证明，故该选项不符合题意； B．若添加，由两边及一边所对的角，不能证明，故该选项符合题意； C．若添加，可利用定理可证明，故该选项不符合题意； D．若添加，可利用定理证明，故该选项不符合题意． 故选：B． 【题型2 倍长中线模型】 【典例2】．在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系；正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长到，使，连接，利用证明，得到，在中利用三角形三边关系求出的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线 在和中，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2-1】．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式2-2】．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 【题型3 旋转模型】 【典例3】． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】．【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【变式3-2】．在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【详解】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质． 【题型4 垂线模型】 【典例4】．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 【变式4-1】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【变式4-2】．如图，等腰和等腰如图放置，，，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，连接，过点A作于点G，的延长线交于点H，若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）证明，即可证出结论； （2）延长至点，使，连接，证明，进一步证明，得到，即可； （3）过点作于点，过点作于点，分别证明，得到，利用的面积等于的面积加上的面积，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接， 由（1）知：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 同法可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，等腰三角形的判定，涉及手拉手模型，倍长中线法构造全等三角形，一线三直角全等模型，对学生的思维要求较高，难度较大，属于压轴题，掌握构造全等三角形的辅助线的作法，是解题的关键． 【题型5 其他模型】 【典例5】．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】．为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作，求证：； (2)在图2中，连接交于M，若，，求的值． (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)不变，1 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择恰当的判定条件证明三角形全等，并添加适当辅助线构造全等三角形． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明； （2）由得到，再利用等腰直角三角形得到，得到，，接着利用“”证明，得到即可求解； （3）在上截取，先利用“”证明得到，，然后由，得到，进而求得，从而利用“”证明，得到，然后即可计算出的值． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，． ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：为等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：的值不会发生变化，且， 在上截取，如图， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式5-2】．在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 【题型6 证一条线段等于两条线段和差】 【典例6】．已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②图见解析，． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，再得出，即可得出结论； （2）①当点在点右边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；②先画出图像，点在点左边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图为所求作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-1】．（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 【答案】（1）第一步错误，正确的证明过程见详解 （2）这两个三角形全等，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据等边对等角得到，，则，得到，运用边角边即可求证，由全等三角形的性质即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，证明，得，则，运用边角边即可求证． 【详解】解：（1）∵不能运用“边边角”证明两个三角形全等， ∴证明中第一步错误， 正确的证明过程如下， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）全等，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ． ∴， 又， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴． 【变式6-2】．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 【题型7 全等三角形综合问题】 【典例7】．如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，关键是先由平行线性质得到一组角相等，再结合各选项条件判断是否符合全等判定定理．已知且，根据“两直线平行，同位角相等”可得，接下来分析各选项即可． 【详解】解：， ， 又， 对于选项A：添加，此时满足，，，属于，无法判定； 对于选项B：添加， 在和中，， ； 对于选项C：添加， ， ， 在和中，， ； 对于选项D：添加， 在和中，， ； 故选：A． 【变式7-1】．如图，已知点B在线段上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据，以及选项添加的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，添加，∴根据能判定，故该选项不符合题意； B、∵，，添加，∴根据能判定，故该选项不符合题意； C、∵，，添加，∴根据不能判定，故该选项符合题意； D、∵，，添加，则，∴根据能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】．如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，不能判定； 当添加时，则可根据“”判定； 综上符合条件的有①②④，共3个． 故选C． 模块五 过关检测 1．如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接、．若添加下列条件中的某一个，就能使．你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，由平分，得，由公共边，可知添加条件，即可根据得，可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 又， 若添加条件，则根据可得，故选项D符合题意， 而添加条件不能得到，故选项A不符合题意， 添加条件不能得到，故选项B不符合题意， 添加条件不能得到，故选项C不符合题意， 故选：D． 2．如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()与性质的综合运用，同时考查角的和差运算与等量代换、对顶角性质及三角形内角和定理的应用，先通过角的等量代换推出，用证得到边的等量关系；再依次用证多组三角形全等，逐一验证①②④⑤结论成立，根据已知条件排除③，结合选项确定最终答案为①④⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， 如解图，连接 根据题目已知条件，无法判断和全等， 则不一定等于， ∴不一定等于， 故②不一定正确； ∵题目条件并未体现和和之间的角度关系， 故③不一定正确； 又∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故④⑤正确， 综上所述，一定正确的是①④⑤． 故选：D． 3．如图，已知，，增加一个条件 ，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 【答案】(或或) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 【详解】解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：(或或)． 4．如图，AC，BD相交于点O，连接AB，CD，如果，要使，还需添加的一个条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或 5．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 6．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时， 秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 7．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为 ； （2）当点在点右侧时，的值为 ． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 8．综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 9．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 10．已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，周角定义，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）对于图，在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）如图，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，进而得出，，再判定，得出，又，所以，所以，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图（），延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：； （2）解：，理由如下： 如图（），在上截取，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即； （3）解：结论：，理由： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 11．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证； （2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 在延长线上找一点，使得，连接， ， 又， ， 在和中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4利用三角形全等测距离寒假预习讲义 （知识点+7大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 添加条件使三角形全等】 1 【题型2 倍长中线模型】 4 【题型3 旋转模型】 5 【题型4 垂线模型】 6 【题型5 其他模型】 8 【题型6 证一条线段等于两条线段和差】 9 【题型7 全等三角形综合问题】 10 1.回顾并熟练掌握三角形全等的4种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），能快速区分不同判定方法的适用条件，避免混淆易错点。 2.理解“利用三角形全等测距离”的核心原理：将无法直接测量的距离，转化为可直接测量的、与它相等的线段（借助全等三角形“对应边相等”的性质）。 3.能看懂课本中利用三角形全等测距离的典型实例（如池塘两端、不可到达的两点间距离），明确每一步操作对应的全等判定依据。 模块三 知识点梳理 （一）预习前提：回顾三角形全等的核心内容（必背） 1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（核心依据，测距离的关键）。 2. 全等三角形的4种判定方法（简写）：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等）、AAS（两角及一角的对边对应相等）。 3. 易错提醒（寒假预习重点标记）：① 判定全等必须强调“对应”，非对应边、非对应角相等不能判定全等；② SSA（两边及其中一边的对角）不能判定三角形全等，避免误用。 （二）核心内容：利用三角形全等测距离的原理与思路（重中之重） 1.核心原理：转化思想—— 当一个距离无法直接测量（如两点被障碍物隔开，无法直接用尺子测量）时，我们可以通过构造两个全等三角形，将这个无法直接测量的距离，转化为与它相等的、可直接测量的线段（因为全等三角形的对应边相等）。 2.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． 3.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： 构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； 构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； 构造三边对应相等的两个全等三角形. 总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”． （三）课本典型实例（寒假预习必看，理解透彻） （贴合北师大版课本，简化表述，易懂好记，可对照课本图形预习） 1. 实例：测量池塘两端A、B的距离（无法直接测量，被池塘隔开） · 构造方法：在池塘外取一点C，连接AC并延长，使AC=CD；连接BC并延长，使BC=CE，连接DE。 · 全等判定：在△ACB和△DCE中，AC=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=CE，∴ △ACB≌△DCE（SAS）。 · 得出距离：∵ △ACB≌△DCE，∴ AB=DE（对应边相等），测量出DE的长度，即为池塘两端A、B的距离。 （四）关键提醒与易错点（寒假预习重点标记，避免出错） · 构造全等三角形的核心：确保构造的两个三角形满足全等的判定条件，对应边、对应角要准确，尤其是“夹角”“夹边”不能找错（如实例中利用对顶角相等作为夹角，是常用技巧）。 · 转化思想的关键：明确“要测的线段”和“构造的全等三角形中对应的可测线段”，二者必须是全等三角形的对应边，才能保证长度相等。 · 常见易错点：① 构造三角形时，延长线段不相等（如AO≠CO、BC≠EC），导致无法全等；② 证明全等时，遗漏判定依据（如不写对顶角相等）；③ 混淆“要测的距离”对应的对应边，导致测量结果错误。 · 寒假预习小技巧：构造图形时，可结合草稿纸画图，用不同符号标记对应边、对应角，方便理解全等关系；记住“对顶角相等”“公共边相等”是构造全等时常用的隐藏条件。 模块四 题型汇总 【题型1 添加条件使三角形全等】 【典例1】．如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，已知，再添加一个条件使，以下条件不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，点、在线段、上，，添加（   ）不能保证 A． B． C． D． 【题型2 倍长中线模型】 【典例2】．在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【变式2-1】．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【变式2-2】．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【题型3 旋转模型】 【典例3】． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式3-1】．【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【变式3-2】．在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【题型4 垂线模型】 【典例4】．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则 ； （2）当点在直线上运动时，，，则 ． 【变式4-1】．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【变式4-2】．如图，等腰和等腰如图放置，，，． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，连接，过点A作于点G，的延长线交于点H，若，，直接写出的面积． 【题型5 其他模型】 【典例5】．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【变式5-1】．为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作，求证：； (2)在图2中，连接交于M，若，，求的值． (3)如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由． 【变式5-2】．在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【题型6 证一条线段等于两条线段和差】 【典例6】．已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【变式6-1】．（1）阅读下题及证明过程， 如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以……第一步 所以……第二步 上面的证明过程是否正确?若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗?请说明理由． 【变式6-2】．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型7 全等三角形综合问题】 【典例7】．如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．如图，已知点B在线段上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模块五 过关检测 1．如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接、．若添加下列条件中的某一个，就能使．你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 3．如图，已知，，增加一个条件 ，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 4．如图，AC，BD相交于点O，连接AB，CD，如果，要使，还需添加的一个条件是 ． 5．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则 （用含的代数式表示）． 6．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时， 秒． 7．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为 ； （2）当点在点右侧时，的值为 ． 8．综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 9．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 10．已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 11．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 12．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $