6.2平行四边形的判定 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“平行线之间的距离”与“平行四边形的判定”核心知识点，先通过定义及“距离处处相等”性质夯实基础，再系统梳理平行四边形的五种判定定理，构建从概念理解到定理应用的学习支架。 资料题型丰富，涵盖选择、填空及解答题，通过图形分析培养几何直观，借助定理推理强化推理意识，规范符号语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过分层练习巩固知识，查漏补缺。

第6章第2节 平行四边形的判定 题型1 平行线之间的距离 题型2 平行四边形的判定 ▉题型1 平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 1．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（　　） A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可 2．如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是 　 ． 3．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 　　 cm． 4．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 　　 ． ▉题型2 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边 行ABCD是平行四边形． 5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 6．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 7．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AC⊥BD，∠A＝∠C B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD∥BC D．AB∥DC，AB＝DC 9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 10．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180° 11．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC C．AB∥DC，AD∥BC D．AB＝DC，AD＝BC 12．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（　　） ①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形． A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④ 13．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A．BD∥CF B．DF＝BC C．BD＝CF D．∠B＝∠F 15．如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　　 ． 17．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 　　 ． 18．如图，四边形ABCD，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40° （1）求∠D的度数； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC． 求证：四边形ABED是平行四边形． 20．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝t cm，AM＝　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 22．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章第2节 平行四边形的判定 题型1 平行线之间的距离 题型2 平行四边形的判定 ▉题型1 平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 1．已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（　　） A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可 【答案】C 【解答】解：∵从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离， ∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离， 故选：C． 2．如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：作AC⊥b于点C， ∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠ABC＝∠1＝60°， ∴AC＝AB•sin60°＝63， ∴直线a与直线b之间的距离是3． 故答案为：3． 3．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 　3　 cm． 【答案】3 【解答】解：∵AC⊥l2， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝5cm，BC＝4cm． ∴AC3（cm）， ∴平行线l1，l2之间的距离为3cm． 故答案为：3． 4．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F， ∵△ABD的面积为16，BD＝8， ∴BD•AF8×AF＝16， 解得AF＝4， ∵AE∥BD， ∴AF的长是△ACE的高， ∴S△ACEAE×45×4＝10． 故答案为：10． ▉题型2 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边 行ABCD是平行四边形． 5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 【答案】B 【解答】解：根据平行四边形的判定方法， A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意； C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； 故选：B． 6．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行判定左右一组对边平行，不能判定上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故C符合题意； D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 7．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 【答案】C 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AC⊥BD，∠A＝∠C B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD∥BC D．AB∥DC，AB＝DC 【答案】A 【解答】解：A、若AC⊥BD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意； B、若AB＝DC，AD＝BC，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若AB∥DC，AD∥BC，由两组对边平行的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、若AB∥DC，AB＝DC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 【答案】A 【解答】解：当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意； 当BC∥AD，∠A＝∠C时，可得AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意； 当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； 故选：A． 10．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180° 【答案】B 【解答】解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形． 故选：B． 11．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AB＝DC C．AB∥DC，AD∥BC D．AB＝DC，AD＝BC 【答案】A 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形． 故选项A不可以判断四边形ABCD是平行四边形 B、根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B可以判断四边形ABCD是平行四边形； C、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项C可以判断四边形ABCD是平行四边形； D、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D可以判断四边形ABCD是平行四边形； 故选：A． 12．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（　　） ①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形． A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：①当BC＝AD时，也可能是等腰梯形，故①错误； ②∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180° ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确； ③∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO， ∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确； ④当∠DBA＝∠CAB时，也可能是等腰梯形，故④错误． 故选：C． 13．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，给出条件①AD∥BC且AB＝CD，②AB＝CD且OA＝OC，③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC，④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解答】解：如图： ①AD∥BC且AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝CD且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形； ③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形； ④∠DAB＝∠DCB且OB＝OD不能判定四边形ABCD是平行四边形； 故选：A． 14．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A．BD∥CF B．DF＝BC C．BD＝CF D．∠B＝∠F 【答案】C 【解答】解：A、∵BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形； 故此选项不符合题意； B、∵DF∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形； 故此选项不符合题意； C、由DF∥BC，BD＝CF，判定四边形BCFD为平行四边形， 故此选项不符合题意； D、∵DE∥BC， ∴∠B+∠BDF＝180°， ∵∠B＝∠F， ∴∠F+∠BDF＝180°， ∴BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形； 故此选项不符合题意； 故选：C． 15．如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OA＝OC D．AD＝AB 【答案】C 【解答】解：可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA＝OC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　2或3.5　 ． 【答案】2或3.5 【解答】解：∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝9， ∵AD∥BC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时， 则得：9﹣3t＝5﹣t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时， 则得：3t﹣9＝5﹣t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2或3.5． 17．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 18．如图，四边形ABCD，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40° （1）求∠D的度数； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵∠D+∠2+∠3＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠2﹣∠3 ＝180°﹣40°﹣85°＝55°． （2）证明：∵AB∥DC， ∴∠2+∠ACB+∠B＝180°． ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠2 ＝180°﹣55°﹣40°＝85°． ∵∠ACB＝∠1＝85°， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 或解 ∵AB∥DC， ∴∠2＝∠CAB． 又∠B＝∠D＝55°， AC＝AC， ∴△ACD≌△CAB． ∴AB＝DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC． 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 20．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵DF∥BE， ∴∠E＝∠F， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝t cm，AM＝　4t cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，得：BP＝tcm，AM＝4tcm； 故答案为：t，4t； （2）设AD＝xcm，则：CD＝（10﹣x）cm， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝6； ∴AD＝6cm； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时， 由题意得：PQ＝BP＝tcm，AD＝6cm， ∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得t＝1.2； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝6cm， ∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形， 解得t＝2． 综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 22．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠FAE∠BAD，∠FCE∠BCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCE，∠FAE＝∠AEB， ∴∠FCE＝∠AEB， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $