5.2分式的运算 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本初中数学讲义聚焦分式的运算核心知识点，构建从通分（含最简公分母确定）到分式乘除法、加减法、混合运算，再到化简求值的递进学习支架，系统梳理定义、方法规律与典型例题。 资料以题型为纲，通过分解因式确定最简公分母培养抽象能力，强调运算顺序训练运算能力，结合整体代入法渗透模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

第5章第2节 分式的运算 题型1 通分 题型2 最简公分母 题型3 分式的乘除法 题型4 分式的加减法 题型5 分式的混合运算 题型6 分式的化简求值 ▉题型1 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 1．（1）约分 （2）通分 ，． ▉题型2 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 2．下列选项正确的是（　　） A．分式和的最简公分母是10x7 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 3．与的最简公分母为（　　） A．2a2b2c B．ab C．2a2b2 D．2abc 4．分式，的最简公分母是 　　 ． 5．分式，的最简公分母是　 ． ▉题型3 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 6．计算：•（）的结果是（　　） A． B． C． D． 7．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8．计算：•的结果是（　　） A． B． C． D． 9．计算：　　 ． 10．化简： （1）； （2）． 11．计算：． ▉题型4 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 12．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 13．已知，则分式的值为 　　 ． 14．若，则B＝　　 ． 15．计算： ． 16．已知，且a≠﹣b，则的值为 　　 ． 17．已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 　　 ． ▉题型5 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 18．下列分式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 19．按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式＝[]第一步 ＝[]第二步 第三步 ..． （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是 　　 ，其依据是 　　 ． （2）上面的运算过程中第 　　 步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 20．计算： （1）； （2）a+b； （3）． 21．计算： （1）； （2）． ▉题型6 分式的化简求值 ‌分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程‌．常用方法包括整体代入法、比例系数法等． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 22．已知a+b＝3，ab＝﹣5，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．已知，则的值是（　　） A．5 B． C．4 D． 24．如果a﹣b＝4，那么代数式的值为（　　） A． B． C． D． 25．先化简，再求值：（x+1），其中x＝﹣2． 26．先化简，然后从﹣1，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章第2节 分式的运算 题型1 通分 题型2 最简公分母 题型3 分式的乘除法 题型4 分式的加减法 题型5 分式的混合运算 题型6 分式的化简求值 ▉题型1 通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 1．（1）约分 （2）通分 ，． 【答案】见试题解答内容 【解答】解；（1） ； （2）， ， ． ▉题型2 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 2．下列选项正确的是（　　） A．分式和的最简公分母是10x7 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【答案】C 【解答】解：A、分式和的最简公分母是10x5，所以A选项错误； B、当c≠0时，，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、分式中的a，b同时扩大2倍分式的值扩大2倍，所以D选项错误． 故选：C． 3．与的最简公分母为（　　） A．2a2b2c B．ab C．2a2b2 D．2abc 【答案】A 【解答】解：与的最简公分母为2a2b2c． 故选：A． 4．分式，的最简公分母是 　（m+2）（m﹣2）　 ． 【答案】（m+2）（m﹣2）． 【解答】解：， ∴最简公分母为：（m+2）（m﹣2）， 故答案为：（m+2）（m﹣2）． 5．分式，的最简公分母是　12x2y3 ． 【答案】12x2y3 【解答】解：分式，的最简公分母是：12x2y3， 故答案为：12x2y3． ▉题型3 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 6．计算：•（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：•（） ； 故选：C． 7．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ． 故选：A． 8．计算：•的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 9．计算：　　 ． 【答案】 【解答】解：原式•． 故答案为： 10．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）x2﹣2x+1； （2）． 【解答】解：（1） ＝x（x﹣1）• ＝（x﹣1）2 ＝x2﹣2x+1； （2）• • ． 11．计算：． 【答案】． 【解答】解： •• ． ▉题型4 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 12．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：原式1． 故选：B． 13．已知，则分式的值为 　0.6　 ． 【答案】0.6 【解答】解：∵， ∴， ∴y﹣x＝3xy， ∴x﹣y＝﹣3xy， ∴ 故答案为：0.6． 14．若，则B＝　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵，， ∴， 解得． 故答案为：2． 15．计算： x+y ． 【答案】x+y 【解答】解：原式x+y．故答案为x+y． 16．已知，且a≠﹣b，则的值为 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵1， ∴1， ∴ab＝2a+b， ∴1． 故答案为：1． 17．已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 　　 ． 【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． ▉题型5 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 18．下列分式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：（A）原式，故A错误； （B）原式，故B错误； （D）原式，故D错误； 故选：C． 19．按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式＝[]第一步 ＝[]第二步 第三步 ..． （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是 　通分　 ，其依据是 　分式的基本性质　 ． （2）上面的运算过程中第 　三　 步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）通分；分式的基本性质； （　　）三；． 【解答】解：（1）上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：通分；分式的基本性质； （2）第三步出现错误，原因是分子相减时未变号， 原式＝[]， ＝[]， ， ， ． 故答案为：三． 20．计算： （1）； （2）a+b； （3）． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式 ＝3； （2）原式 ； （3）原式 • ． 21．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． ▉题型6 分式的化简求值 ‌分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程‌．常用方法包括整体代入法、比例系数法等． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 22．已知a+b＝3，ab＝﹣5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由条件可知a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣5）＝19， ∴， 故选：C． 23．已知，则的值是（　　） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【解答】解：． 当时， 则原式． 故选：D． 24．如果a﹣b＝4，那么代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ＝（）• ， a﹣b＝4，则2， 故选：B． 25．先化简，再求值：（x+1），其中x＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式••， 当x＝﹣2时，原式． 26．先化简，然后从﹣1，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；﹣1． 【解答】解：原式 ． 由题意得，a﹣1≠0，a2﹣a≠0，a2﹣4≠0， ∴a≠﹣2，0，1，2． 当a＝﹣1时，原式1． 学科网（北京）股份有限公司 $