5.1分式及其基本性质 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“分式及其基本性质”核心知识点，系统梳理分式的定义、有意义的条件、值为零的条件、分式的值、基本性质、约分及最简分式七大题型，构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握分式知识体系。 该资料通过分类题型与典型例题设计，以分式定义辨析培养抽象能力，以条件推导题发展推理意识，以实际求值题强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺，提升分式知识掌握效果。

第5章第1节 分式及其基本性质 题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件 题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值 题型5 分式的基本性质 题型6 约分 题型7 最简分式 ▉题型1 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 1．在，a，，这四个代数式中，是分式的是（　　） A． B．a C． D． 2．下列式子属于分式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中：，，，，，分式的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在式子、、、、、中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列各式：，，，，，中，是分式的共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 ▉题型2 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 7．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 8．分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0 9．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x＝2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 10．当x　　 时，分式有意义． ▉题型3 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 11．如果分式的值为零，那么x应为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 12．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0 13．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 14．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 15．分式的值为0，则x的值为 　　 ． ▉题型4 分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 16．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣4 4 a 分式的值 无意义 0 1 A．n＝4 B．m＝﹣4 C．a＝12 D．n＝﹣8 17．已知a﹣b﹣1＝0，则代数式的值为 　　 ． 18．已知a+b＝﹣3ab，则　　 ． 19．若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 　　 ． 20．若分式的值为负数，则x的取值范围是　 ． 21．阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： （1）分式是 　　 （填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式可以化为带分式的形式； （3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． ▉题型5 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 22．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（　　） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 23．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 24．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．缩小到原来的 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小到原来的 25．若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不变 ▉题型6 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 26．下列约分结果正确的是（　　） A． B．x﹣y C．m+1 D． 27．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 28．下列各式约分正确的是（　　） A． B． C．1 D．1 29．约分： （1）　 ； （2）　 30．约分：①　　 ，②　　 ． 31．约分：　　 ． ▉题型7 最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 32．下列说法正确的是（　　） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则x＝±2 C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 33．下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 34．下列说法正确的是（　　） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为±3 D．分式是最简分式 35．下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章第1节 分式及其基本性质 题型1 分式的定义 题型2 分式有意义的条件 题型3 分式的值为零的条件 题型4 分式的值 题型5 分式的基本性质 题型6 约分 题型7 最简分式 ▉题型1 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 1．在，a，，这四个代数式中，是分式的是（　　） A． B．a C． D． 【答案】A 【解答】解：A．是分式，故本选项符合题意； B．a是整式，不是分式，故本选项不符合题意； C．是整式，不是分式，故本选项不符合题意； D．是整式，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列式子属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是分式，故此选项符合题意； B、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．下列各式中：，，，，，分式的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：分式有：，，共2个， 故选：D． 4．在，，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：分式有，，，共3个， 故选：C． 5．在式子、、、、、中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：、、9x这3个式子的分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，不是分式． 故选：B． 6．下列各式：，，，，，中，是分式的共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，，分母中含有字母，因此是分式． 故选：B． ▉题型2 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 7．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、x＝0时分式无意义，故A错误； B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确； C、当x＝﹣1时，分式无意义，故C错误； D、当x＝0时，分式无意义，故D错误； 故选：B． 8．分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0 【答案】B 【解答】解：由题意可知：x+1≠0， ∴x≠﹣1， 故选：B． 9．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x＝2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 【答案】D 【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0， ∴x≠2， 故选：D． 10．当x　≠5　 时，分式有意义． 【答案】≠5 【解答】解：根据题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5． 故答案为：≠5． ▉题型3 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 11．如果分式的值为零，那么x应为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【答案】A 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴x＝1． 故选：A． 12．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0 【答案】A 【解答】解：根据题意，得 ，即， 解得x＝3． 故选：A． 13．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【答案】B 【解答】解：依题意，得 x2﹣4＝0，且x+2≠0， 解得，x＝2． 故选：B． 14．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣3x+2≠0， 所以|x|＝1且（x﹣1）（x﹣2）≠0． 解得x＝﹣1． 故选：A． 15．分式的值为0，则x的值为 　4　 ． 【答案】4 【解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得x＝4． 故答案为：4． ▉题型4 分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 16．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣4 4 a 分式的值 无意义 0 1 A．n＝4 B．m＝﹣4 C．a＝12 D．n＝﹣8 【答案】A 【解答】解：当x＝﹣4时，分式无意义， 即﹣4﹣m＝0， ∴m＝﹣4， 当x＝4时，分式的值为零， 即2×4+n＝0， ∴n＝﹣8， ∴该分式为， 令1， 解得：x＝12，即a＝12， 故选：A． 17．已知a﹣b﹣1＝0，则代数式的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ＝3． 故答案为：3． 18．已知a+b＝﹣3ab，则　　 ． 【答案】 【解答】解：， 把a+b＝﹣3ab代入分式，得 ． 故答案为：． 19．若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0， ∴a2﹣2a＝4， ∴， 故答案为：． 20．若分式的值为负数，则x的取值范围是x＜1且x≠0　 ． 【答案】x＜1且x≠0 【解答】解：由题意得，x2≠0， ∴x≠0， ∵的值为负数， ∴x﹣1＜0， ∴x＜1， 所以x＜1且x≠0． 21．阅读下列材料： 我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：． 解答下列问题： （1）分式是 　真分式　 （填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式可以化为带分式的形式； （3）如果x为整数，且分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】（1）真分式； （2）； （3）0或6或﹣2或﹣8． 【解答】解：（1）分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）原式 ； （3） ， ∵x为整数，分式的值为整数， ∴x+1＝±1或±7， 解得：x＝0或6或﹣2或﹣8． ▉题型5 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 22．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（　　） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：新分式为：， ∴分式的值是原来的2倍． 故选：B． 23．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 【答案】A 【解答】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，那么 3． 故选：A． 24．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．缩小到原来的 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，， ∴分式的值缩小到原来的． 故选：A． 25．若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【解答】解：由题意得： ， ∴若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值缩小为原来的， 故选：C． ▉题型6 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 26．下列约分结果正确的是（　　） A． B．x﹣y C．m+1 D． 【答案】C 【解答】解：A、，错误； B、，错误； C、m+1，正确； D、分式的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误． 故选：C． 27．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、不能再计算，故A错误； B、1，故B正确； C、，故C错误； D、a+b，故D错误； 故选：B． 28．下列各式约分正确的是（　　） A． B． C．1 D．1 【答案】A 【解答】解：A．，正确，符合题意； B．的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意； C． 1≠1，错误，不符合题意； D． 的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意． 故选：A． 29．约分： （1）　　 ； （2）　2x﹣2y ． 【答案】（1）；（2）2x﹣2y． 【解答】解：（1）原式； （2）原式2（x﹣y）＝2x﹣2y； 故答案为：；2x﹣2y； 30．约分：①　　 ，②　　 ． 【答案】； 【解答】解：①； ②． 31．约分：　　 ． 【答案】 【解答】解：． 故答案为． ▉题型7 最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 32．下列说法正确的是（　　） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则x＝±2 C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 【答案】A 【解答】解：根据分式的值为零的条件以及分式的基本性质，最简分式的定义逐项分析判断如下： A，分式是最简分式，正确； B，分式的值为零，则x的值为2，故此选项错误； C，根据分式的基本性质，当x≠0时，等式成立，故此选项错误； D，将分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； 故选：A． 33．下列各分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、原式，不符合题意； B、原式x+1，不符合题意； C、原式为最简分式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 34．下列说法正确的是（　　） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为±3 D．分式是最简分式 【答案】D 【解答】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式中x，y都扩大3倍后的值为3，即分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法不正确，C不符合题意； D、分式是最简分式，故本选项说法正确，符合题意． 故选：D． 35．下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据最简分式的定义逐项化简分析判断如下： A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $