4.3公式法（二）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦因式分解中完全平方公式的应用，衔接整式乘法中完全平方公式的逆运算，构建“提公因式—判结构—套公式—查彻底”的学习支架，帮助学生掌握完全平方式的结构特征及综合分解方法。 通过“首平方，尾平方，首尾两倍坐中央”口诀强化结构识别，渗透整体思想（如将(m+n)看作整体）培养抽象能力与符号意识，课堂检测结合几何、代数应用问题提升推理意识与应用意识，助力教师高效教学与学生查漏补缺。

2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第三节公式法（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解完全平方式的结构特征，能准确判断一个多项式是否为完全平方式； 2.掌握因式分解的完全平方公式，能熟练运用公式将符合条件的多项式分解因式； 3.学会综合运用提公因式法与完全平方公式分解因式，做到分解彻底； 4.建立 “ 整体思想 ” ，能将多项式中的部分整式看作一个整体运用公式，提升代数运算能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.完全平方式的结构特征识别； 2.完全平方公式在因式分解中的灵活应用。 （二）难点 1.综合运用提公因式法与完全平方公式分解因式； 2.把多项式中的复杂整式（单项式、多项式）看作整体运用公式，突破符号与系数易错点。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，完全平方公式为：(a + b)2 = __________，(a - b)2= _____________； 2. 因式分解是整式乘法的逆运算，因此完全平方公式的逆用（因式分解形式）为：a2+ 2ab + b2= ___________，a2- 2ab + b2= _________； 3.我们把形如a2±2ab + b2的多项式称为______，其结构特征是：有_____项，其中两项是_____的形式且符号_____，第三项是这两项“底数”乘积的_____倍； 4.判断一个多项式是否为完全平方式，需同时满足：① 项数为_____；② 平方项符号_____；③ 中间项是两平方项底数乘积的_____； 5.分解因式的基本步骤：先看各项是否有_____，若有则先_____，再看剩余部分是否符合公式特征，最后确保分解_____。 四．课堂探秘 探究一：完全平方式的结构特征 乘法公式中的完全平方公式:　 　. 反过来,就得到因式分解的完全平方公式: (1)a2-2ab+b2=　 　; (2)a2+2ab+b2=　 　.  观察下列多项式： ①x2 + 4x + 4；②4y2- 12y + 9；③x2+ 2x - 1；④a2+ ab + b2 思考：哪些是完全平方式？为什么？ 【总结】：完全平方式的“三字诀”——首平方，尾平方，首尾两倍坐中央，中间项符号可正可负，对应“和平方”或“差平方”。 形如　 　与　 　的式子称为完全平方式.把乘法公式反过来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.  探究二：完全平方公式的应用 1.基础应用： 分解因式x2 + 6x + 9 2.含系数平方项的应用： 分解因式4a2- 20ab + 25b2 3.综合提公因式法的应用： 分解因式3x2+ 6xy + 3y2 4.整体思想的应用： 分解因式(m + n)^2 - 4(m + n) + 4 探究三：用完全平方公式因式分解的步骤 例题：分解因式: (1) 2a3-4a2+2a; (2) 3x3-12x2y+12xy2; (3)-4a2b+12ab2-9b3; (4) (a2+4)2-16a2. 用完全平方公式因式分解的一般步骤如下： （1）提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，化为最简形式。 （2）判结构：判断提取公因式后的多项式是否符合完全平方公式的结构特征 a2 ±2ab + b2，需满足“首平方、尾平方，首尾两倍中间放”。 （3）定a、b：确定公式中的a和b，a是平方项的正平方根，b是另一平方项的正平方根，同时验证中间项是否等于±2ab。 （4）套公式：若符合结构，直接套用公式分解为(a \pm b)^2。 （5）查彻底：检查分解后的因式是否还能继续分解，确保因式分解进行到每一个因式都不能再分解为止。 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 若是完全平方式，那么a等于( ) A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2 2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是完全平方式的是( ) A. B. C. x＋xy＋1 D. 4. 若a、b、c是△ABC的三边，满足且，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 5.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6.已知a+b=3，ab=2，则值是（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 9 7. 不论,为任何实数， 的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 8.下列因式分解正确的是(　　) A.x2-xy+x=x(x-y) B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2 C.x2-2x+4=(x-1)2+3 D.ax2-9=a(x+3)(x-3) 9.a4b-6a3b+9a2b因式分解的正确结果是(　　) A.a2b(a2-6a+9) B.a2b(a+3)(a-3) C.b(a2-3)2 D.a2b(a-3)2 10.多项式①16x3-4x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x因式分解后,结果中含有相同因式的是(　　) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ （二）．填空题 11.因式分解:3a2+6a+3=　　　　　. 12. 分解因式：=____________________. 13.用因式分解法计算:782+156×22+222=(　　　　)2=　　　　. 14.若a+b=4,ab=3,则a3b+a2b2+ab3的值是　　　　　　　. 15. 若是一个完全平方式，则m=____________． 16. 已知=0，则a+b=__________. 17. 已知=0，则a+b=__________. 18.若实数x、y满足x-3=y,则代数式2x2-4xy+2y2的值为　　　　.  19.若x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,则m的值应为　　　　.  20．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____． （三）．解答题 21.将下列各式因式分解: (1)-x2+6xy-9y2; (2)(a2+4b2)2-16a2b2; (3)4-12(x-y)+9(x-y)2; (4)4-x2+2xy-y2. 22. 用简便方法计算： （1）962＋96×8＋16； （2）9.92＋1.98＋0.01. 23.已知化简(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的结果中不含x2项和x3项． (1)求p，q值． (2)x2－2px＋3q是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 24．先阅读，再因式分解： x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)， 按照这种方法把多项式x4＋324分解因式． 25．若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：∵13＝32＋22，∴13是“完美数”； 再如：∵a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a，b是正整数)，∴a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． (1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”； (2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x，y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由． 26.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了． 此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）. 问题解决： （1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756； （2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.形如a2 + 2ab + b2或______的式子称为完全平方式。 2.完全平方式的特征：是一个______项式，其中两项是两数的______，另一项是这两个数乘积的______倍（或乘积2倍的相反数）。 3.口诀“首平方，尾平方，______放中央，同号加、异号减”精准概括了完全平方式的结构特点。 4.两数和的完全平方公式：a2+ 2ab + b2= __________。 5.两数差的完全平方公式：a2- 2ab + b2= ___________。 6.完全平方公式的文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的______的平方。 7.公式中的字母a，b既可以是______，也可以是______。 8.因式分解x2- 6x + 9时，因其符合完全平方式特征，可直接套用公式得______。 9.因式分解4a2+ 12ab + 9b2，先识别“首”为2a、“尾”为3b，再套用公式得______。 10.分解因式-x3+ 2x2y - xy2时，应先提取公因式______，再对余下的完全平方式分解，最终结果为______。 11.若多项式(x - y)2 - 6(x - y) + 9因式分解，可将(x - y)看作一个整体，结果为______。 12.要使x2+ mx + 16成为完全平方式，则单项式m的值为______（写出所有可能）。 13.多项式a2+ b2+ ab______（填“是”或“不是”）完全平方式，理由是______。 14.综合运用提公因式法和完全平方公式，分解因式ab3 - 4ab2+ 4ab的结果为______。 15.已知2a - 3b = 4，则代数式4a2 - 12ab + 9b2的值为______（利用完全平方公式变形求值）。 16.用2张边长为m的正方形、5张长为m宽为n的长方形、2张边长为n的正方形拼成大正方形，该大正方形的边长为______（用含m、n的代数式表示） （二）强化训练 一．选择题 1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 2．若4x2＋ax＋121是完全平方式，则a的值是(　　) A．22 B．44 C．±44 D．±22 3.若x2＋6x＋p＝(x－q)2，则p，q的值分别为(　　) A．6，6 B．9，－3 C．3，－3 D．9，3 4.下列多项式不能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 5. 如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( ) A. 3 B. 6 C. D. 6. 下列哪个多项式能分解成 （ ） A. B. C. D. 7.下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　) A.x2-2x+ x2-x+1　　　　C.16x2+8x+1　　　　D.x2-6x+9 8.将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是(　　) A.a2(a2-2)+1　　B.(a2-2)(a2+1) C.(a2-1)2　　　D.(a-1)2(a+1)2 9.将多项式m2-2mn-3n2因式分解时,虽然它不符合完全平方式的形式,但经过变形,可以利用完全平方公式进行分解:原式=m2-2mn+n2-4n2=(m-n)2-4n2=(m+n)(m-3n),像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”.用这种方法把多项式a2-6ab+5b2因式分解的结果是(　　) A.(a+5b)(a+b)　　B.(a-5b)(a+b) C.(a+5b)(a-b)　　D.(a-5b)(a-b) 10.无论a取何实数,多项式a2+4a+5的值一定是(　　) A.正数　　　　B.负数　　　　C.零　　　　D.不能确定 二．填空题 11．因式分解：2m2－12m＋18＝___. 12.因式分解：ab2－2ab＋a＝___． 13.因式分解：3a2－6ab＋3b2＝___． 14．若x＋y＝2，则多项式x2＋2xy＋2y2的值为________. 15．已知＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是(　B　) 16. 已知，则的值是__________． 17. 若，则的值为______________ 18．多项式a3c－4a2bc＋4ab2c因式分解的结果是__________． 19. 已知2a－3b＝6，ab＝7，则代数式4a3b－12a2b2＋9ab3＝________． 20.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____________． 三．解答题 21分解因式： (1) 2a3－4a2＋2a； (2) 3x3－12x2y＋12xy2; (3)－4a2b＋12ab2－9b3； (4) (a2＋4)2－16a2. 22．我们知道，对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x＋a)2的形式，但是，对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用完全平方公式，可以采用如下方法： x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a). (1)以上这种因式分解方法的关键是____________． (2)用上述方法把a2－8a＋15因式分解． 23．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9进行因式分解的过程． 解：设x2－4x＝y， 原式＝(y＋1)(y＋7)＋9(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2(第四步). 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________． (3)请你用换元法对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解． 24.已知x2＋x－1＝0，求x4＋2x3－x2－2x＋2027的值． 25.(（1） 已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值． （2）已知a(a＋1)－(a2＋2b)＝1，求a2－4ab＋4b2－2a＋4b的值． 26. 阅读下面的材料： 配方法是初中数学中经常用到的一种重要方法，学好配方法对我们学好数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要恒等．例如：解方程x2－4x＋4＝0，则有(x－2)2＝0，则x＝2；再如x2－4x＋y2－6y＋13＝0，则有(x2－4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝0，则x＝2，y＝3. 根据上述材料解答下列各题： (1)若a，b，c表示三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试说明三角形ABC是等边三角形； (2)若x2－4xy＋5y2－2y＋1＝0，求x，y的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下《第四章因式分解第三节公式法（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解完全平方式的结构特征，能准确判断一个多项式是否为完全平方式； 2.掌握因式分解的完全平方公式，能熟练运用公式将符合条件的多项式分解因式； 3.学会综合运用提公因式法与完全平方公式分解因式，做到分解彻底； 4.建立 “ 整体思想 ” ，能将多项式中的部分整式看作一个整体运用公式，提升代数运算能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.完全平方式的结构特征识别； 2.完全平方公式在因式分解中的灵活应用。 （二）难点 1.综合运用提公因式法与完全平方公式分解因式； 2.把多项式中的复杂整式（单项式、多项式）看作整体运用公式，突破符号与系数易错点。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，完全平方公式为：(a + b)2 = __________，(a - b)2= _____________； 2. 因式分解是整式乘法的逆运算，因此完全平方公式的逆用（因式分解形式）为：a2+ 2ab + b2= ___________，a2- 2ab + b2= _________； 3.我们把形如a2±2ab + b2的多项式称为______，其结构特征是：有_____项，其中两项是_____的形式且符号_____，第三项是这两项“底数”乘积的_____倍； 4.判断一个多项式是否为完全平方式，需同时满足：① 项数为_____；② 平方项符号_____；③ 中间项是两平方项底数乘积的_____； 5.分解因式的基本步骤：先看各项是否有_____，若有则先_____，再看剩余部分是否符合公式特征，最后确保分解_____。 【答案】1.a2 + 2ab + b2；a2 - 2ab + b2 2.(a + b)2；(a - b)2 3.完全平方式；三；完全平方；相同；2 4.三项；相同；2倍 5.公因式；提取公因式；彻底 四．课堂探秘 探究一：完全平方式的结构特征 乘法公式中的完全平方公式:　(a±b)2=a2±2ab+b2 　. 反过来,就得到因式分解的完全平方公式: (1)a2-2ab+b2=　(a-b)2 　; (2)a2+2ab+b2=　 (a+b)2 　.  观察下列多项式： ①x2 + 4x + 4；②4y2- 12y + 9；③x2+ 2x - 1；④a2+ ab + b2 思考：哪些是完全平方式？为什么？ 【解析】①是完全平方式（x2+ 2 x ×2 + 22）；②是完全平方式（(2y)2- 2 ×2y ×3 + 32）；③不是（常数项为负，平方项符号不一致）；④不是（中间项是ab，不是2ab）。 【总结】：完全平方式的“三字诀”——首平方，尾平方，首尾两倍坐中央，中间项符号可正可负，对应“和平方”或“差平方”。 形如　 2.a2+2ab+b2 　与　a2-2ab+b2 　的式子称为完全平方式.把乘法公式反过来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.  探究二：完全平方公式的应用 1.基础应用： 分解因式x2 + 6x + 9 【分析】：多项式是三项式，x2，9 = 32，中间项6x = 2×x×3，符合完全平方式特征，直接套用公式。 【解答】：x2+ 6x + 9 = (x + 3)2 2.含系数平方项的应用： 分解因式4a2- 20ab + 25b2 【分析】：先识别平方项，4a2 = (2a)2，25b2 = (5b)2，中间项20ab = 2×2a×5b，符号为负，对应“差平方”。 【解答】：4a2 - 20ab + 25b2= (2a - 5b)2 3.综合提公因式法的应用： 分解因式3x2+ 6xy + 3y2 【分析】：先观察各项有公因式3，先提取公因式，再看剩余部分是否为完全平方式。 【解答】：3x2+ 6xy + 3y2= 3(x2+ 2xy + y2) = 3(x + y)2 4.整体思想的应用： 分解因式(m + n)^2 - 4(m + n) + 4 【分析】：把(m + n)看作一个整体（即公式中的“a”），4 = 22，中间项4(m + n) = 2 (m + n)×2，符合完全平方式。 【解答】：(m + n)^2 - 4(m + n) + 4 = (m + n - 2)2 探究三：用完全平方公式因式分解的步骤 例题：分解因式: (1) 2a3-4a2+2a; (2) 3x3-12x2y+12xy2; (3)-4a2b+12ab2-9b3; (4) (a2+4)2-16a2. 【解析】(1) 原式=2a(a2-2a+1)=2a(a-1)2. (2)原式=3x(x2-4xy+4y2)=3x(x-2y)2. (3)原式=-b(4a2-12ab+9b2)=-b(2a-3b)2. (4)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2 (a-2)2. 用完全平方公式因式分解的一般步骤如下： （1）提公因式：先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，化为最简形式。 （2）判结构：判断提取公因式后的多项式是否符合完全平方公式的结构特征 a2 ±2ab + b2，需满足“首平方、尾平方，首尾两倍中间放”。 （3）定a、b：确定公式中的a和b，a是平方项的正平方根，b是另一平方项的正平方根，同时验证中间项是否等于±2ab。 （4）套公式：若符合结构，直接套用公式分解为(a \pm b)^2。 （5）查彻底：检查分解后的因式是否还能继续分解，确保因式分解进行到每一个因式都不能再分解为止。 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 若是完全平方式，那么a等于( ) A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2 【答案】D 【解析】∵x2-4x+a2=x2-2×2•x+a2，∴a2=22=4，∴a=±2，故选D． 2.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】m+1+=（m2+4m+4）=（m+2）2；-x2+2xy-y2=-（x2-2xy+y2）=-（x-y）2；-a2+14ab+49b2=-（a2-14ab-49b2），它不能用完全平方公式分解因式；-n+1=（n2-6n+9）=（n-3）2，故选C． 3. 下列各式是完全平方式的是( ) A. B. C. x＋xy＋1 D. 【答案】A 【解析】A、x 2 -x+是完全平方式；B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式，故选 A. 4. 若a、b、c是△ABC的三边，满足且，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵a2-2ab+b2=0且b2-c2=0，∴（a-b）2=0且（b+c）（b-c）=0，∴a=b且b=c，即a=b=c，∴△ABC为等边三角形，故选D． 5.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项中间乘积项不是两底数积的2倍，故本选项错误； B选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误；C选项符合完全平方公式的特点；D选项不符合完成平方公式的特点，故本选项错误，故选C． 6.已知a+b=3，ab=2，则值是（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 9 【答案】A 【解析】∵a+b=-3，ab=2，∴（a-b）2=a2+b2-2ab=a2+b2+2ab-4ab=（a+b）2-4ab=（-3）2-4×2=9-8=1， 故选A． 7. 不论,为任何实数， 的值总是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 【答案】A 【解析】x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，故选A. 8.下列因式分解正确的是(　　) A.x2-xy+x=x(x-y) B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2 C.x2-2x+4=(x-1)2+3 D.ax2-9=a(x+3)(x-3) 【答案】B 【解析】x2-xy+x=x(x-y+1),故选项A错误.a3-2a2b+ab2=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2,故选项B正确.x2-2x+4=x2-2x+1+3=(x-1)2+3,此过程不叫因式分解,故选项C错误.ax2-9无法分解,故选项D错误. 9.a4b-6a3b+9a2b因式分解的正确结果是(　　) A.a2b(a2-6a+9) B.a2b(a+3)(a-3) C.b(a2-3)2 D.a2b(a-3)2 【答案】D 【解析】a4b-6a3b+9a2b = a2b(a2-6a+9)=a2b(a-3)2. 10.多项式①16x3-4x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x因式分解后,结果中含有相同因式的是(　　) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 【答案】C 【解析】①的结果是4x(2x+1)(2x-1);②的结果是(x-3)2;③的结果是(x2+1)2;④的结果是-(2x-1)2.故①和④有相同因式2x-1. （二）．填空题 11.因式分解:3a2+6a+3=　　　　　. 【答案】:3(a+1)2 【解析】3a2+6a+3=3(a2+2a+1)=3(a+1)2. 12. 分解因式：=____________________. 【答案】 【解析】1-x+x2=-x+1=(-1)2故答案为. 13.用因式分解法计算:782+156×22+222=(　　　　)2=　　　　. 【答案】:78+22　10000 【解析】782+156×22+222=782+2×78×22+222=(78+22)2=1002=10000. 14.若a+b=4,ab=3,则a3b+a2b2+ab3的值是　　　　　　　. 【答案】:24 【解析】a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=×3×42=24. 15. 若是一个完全平方式，则m=____________． 【答案】±8 【解析】∵是一个完全平方式∴ ∴m=±8故答案为±8． 16. 已知=0，则a+b=__________. 【答案】1 【解析】∵a2+4a+4+|b-3|=0，∴(a+2)2+|b-3|=0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴a+b=1， 故答案为1. 17. 已知=0，则a+b=__________. 【答案】1 【解析】∵a2+4a+4+|b-3|=0，∴(a+2)2+|b-3|=0，∴a+2=0，b-3=0，∴a=-2，b=3，∴a+b=1， 故答案为1. 18.若实数x、y满足x-3=y,则代数式2x2-4xy+2y2的值为　　　　.  【答案】　18 【解析】　∵x-3=y,∴x-y=3,∴2x2-4xy+2y2=2(x2-2xy+y2)=2(x-y)2=2×32=18,故答案为18. 19.若x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,则m的值应为　　　　.  【答案】　-1或9 【解析】　∵x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,∴2(m-4)x=±2·x·5,∴m-4=±5,解得m=-1或9. 20．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____． 【答案】a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 【解析】：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. （三）．解答题 21.将下列各式因式分解: (1)-x2+6xy-9y2; (2)(a2+4b2)2-16a2b2; (3)4-12(x-y)+9(x-y)2; (4)4-x2+2xy-y2. 解：(1)-x2+6xy-9y2=-(x2-6xy+9y2)=-(x-3y)2. (2)(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2. (3)4-12(x-y)+9(x-y)2=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2=[2-3(x-y)]2=(2-3x+3y)2. (4)4-x2+2xy-y2=4-(x2-2xy+y2)=22-(x-y)2=(2+x-y)(2-x+y). 22. 用简便方法计算： （1）962＋96×8＋16； （2）9.92＋1.98＋0.01. 解：（1）原式＝962＋2×96×4＋42＝(96＋4)2＝10 000 （2）原式＝9.92＋2×9.9×0.1＋0.12＝(9.9＋0.1)2＝100 23.已知化简(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的结果中不含x2项和x3项． (1)求p，q值． (2)x2－2px＋3q是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 解析：(1)(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)＝x4＋(－3＋p)x3＋(q－3p＋8)x2＋(pq－24)x＋8q. 因为不含x2项和x3项．∴－3＋p＝0，q－3p＋8＝0，∴p＝3，q＝1. (2)x2－2px＋3q不是完全平方式．理由是：当p＝3，q＝1时，x2－2px＋3q＝x2－6x＋3， 即x2－2px＋3q不是完全平方式． 24．先阅读，再因式分解： x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)， 按照这种方法把多项式x4＋324分解因式． 解：x4＋324＝x4＋36x2＋324－36x2＝(x2＋18)2－36x2＝(x2＋18)2－(6x)2＝(x2＋18＋6x)(x2＋18－6x)． 25．若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：∵13＝32＋22，∴13是“完美数”； 再如：∵a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a，b是正整数)，∴a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． (1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”； (2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x，y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由． 解：(1)25＝42＋32，∵53＝49＋4＝72＋22，∴53是“完美数”； (2)(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．理由：∵(x2＋9y2)(4y2＋x2)＝4x2y2＋36y4＋x4＋9x2y2＝13x2y2＋36y4＋x4＝(6y2＋x2)2＋(xy)2，∴(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”． 26.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了． 此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）. 问题解决： （1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756； （2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽． 解：（1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）； （2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时，这个长方形的宽为a+6b. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.形如a2 + 2ab + b2或______的式子称为完全平方式。 2.完全平方式的特征：是一个______项式，其中两项是两数的______，另一项是这两个数乘积的______倍（或乘积2倍的相反数）。 3.口诀“首平方，尾平方，______放中央，同号加、异号减”精准概括了完全平方式的结构特点。 4.两数和的完全平方公式：a2+ 2ab + b2= __________。 5.两数差的完全平方公式：a2- 2ab + b2= ___________。 6.完全平方公式的文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的______的平方。 7.公式中的字母a，b既可以是______，也可以是______。 8.因式分解x2- 6x + 9时，因其符合完全平方式特征，可直接套用公式得______。 9.因式分解4a2+ 12ab + 9b2，先识别“首”为2a、“尾”为3b，再套用公式得______。 10.分解因式-x3+ 2x2y - xy2时，应先提取公因式______，再对余下的完全平方式分解，最终结果为______。 11.若多项式(x - y)2 - 6(x - y) + 9因式分解，可将(x - y)看作一个整体，结果为______。 12.要使x2+ mx + 16成为完全平方式，则单项式m的值为______（写出所有可能）。 13.多项式a2+ b2+ ab______（填“是”或“不是”）完全平方式，理由是______。 14.综合运用提公因式法和完全平方公式，分解因式ab3 - 4ab2+ 4ab的结果为______。 15.已知2a - 3b = 4，则代数式4a2 - 12ab + 9b2的值为______（利用完全平方公式变形求值）。 16.用2张边长为m的正方形、5张长为m宽为n的长方形、2张边长为n的正方形拼成大正方形，该大正方形的边长为______（用含m、n的代数式表示） 【答案】1.a2- 2ab + b2 2.三；平方和；2 3.首尾相乘的2倍（或积的二倍） 4.(a + b)2 5.(a - b)2 6.和（或差） 7.单项式；多项式 8.(x - 3)2 9.(2a + 3b)2 10.-x；-x(x - y)2 11.(x - y - 3)2 12.±8 13.不是；第三项不是两数乘积的2倍 14.ab(b - 2)2 15.16 16.m + 2n （二）强化训练 一．选择题 1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据完全平方公式：，可以进行判断出答案是C选项正确. 故选C. 2．若4x2＋ax＋121是完全平方式，则a的值是(　　) A．22 B．44 C．±44 D．±22 【答案】C 【解析】∵4x2＋ax＋121是一个完全平方式，∴ax＝±2·2x·11，解得：a＝±44. 3.若x2＋6x＋p＝(x－q)2，则p，q的值分别为(　　) A．6，6 B．9，－3 C．3，－3 D．9，3 【答案】B 【解析】x2＋6x＋p＝(x－q)2＝(x＋3)2.则p＝9，q＝－3. 4.下列多项式不能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据平方差公式：，完全平方公式：的特点，可知：A、B、C选项可以利用完全平方公式和平方差公式进行分解因式，D选项不能利用公式法分解因式.故选D. 5. 如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( ) A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.选D. 6. 下列哪个多项式能分解成 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据平方差公式：，完全平方公式：的特点，可分解为=（x-1）2，=（x-2）2，=x（x-4），=x（x-2）.故选B. 7.下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　) A.x2-2x+ x2-x+1　　　　C.16x2+8x+1　　　　D.x2-6x+9 【答案】A　 【解析】A.x2-2x+不能用完全平方公式分解因式,符合题意;B.,不符合题意; C.16x2+8x+1=(4x+1)2,不符合题意;D.x2-6x+9=(x-3)2,不符合题意.故选A. 8.将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是(　　) A.a2(a2-2)+1　　B.(a2-2)(a2+1) C.(a2-1)2　　　D.(a-1)2(a+1)2 【答案】　D　 【解析】a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=[(a-1)(a+1)]2=(a-1)2(a+1)2.故选D. 9.将多项式m2-2mn-3n2因式分解时,虽然它不符合完全平方式的形式,但经过变形,可以利用完全平方公式进行分解:原式=m2-2mn+n2-4n2=(m-n)2-4n2=(m+n)(m-3n),像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”.用这种方法把多项式a2-6ab+5b2因式分解的结果是(　　) A.(a+5b)(a+b)　　B.(a-5b)(a+b) C.(a+5b)(a-b)　　D.(a-5b)(a-b) 【答案】　D　 【解析】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b).故选D. 10.无论a取何实数,多项式a2+4a+5的值一定是(　　) A.正数　　　　B.负数　　　　C.零　　　　D.不能确定 【答案】　A　 【解析】 a2+4a+5=a2+4a+4+1=(a+2)2+1,∵(a+2)2≥0,∴(a+2)2+1≥1,∴多项式a2+4a+5的值一定是正数,故选A. 二．填空题 11．因式分解：2m2－12m＋18＝___. 【答案】2(m－3)2. 【解析】原式＝2(m2－6m＋9)＝2(m－3)2. 12.因式分解：ab2－2ab＋a＝___． 【答案】a(b－1)2. 【解析】原式＝a(b2－2b＋1)＝a(b－1)2. 13.因式分解：3a2－6ab＋3b2＝___． 【答案】3(a－b)2. 【解析】原式＝3(a2－2ab＋b2)＝3(a－b)2. 14．若x＋y＝2，则多项式x2＋2xy＋2y2的值为________. 【答案】8 【解析】：∵x＋y＝2，∴x＋2y＝4，∴x2＋2xy＋2y2＝(x2＋4xy＋4y2)＝(x＋2y)2＝×16＝8. 15．已知＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是(　B　) 【答案】－4 【解析】：由题意得＋(y－3)2＝0，∴3x＋4＝0，y－3＝0, ∴x＝－，y＝3, ∴xy＝－4. 16. 已知，则的值是__________． 【答案】7 【解析】将两边平方得：，即：，解得：＝7， 故填7。 17. 若，则的值为______________ 【答案】 【解析】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0∴（m+n）2+（n-3）2=0，∴m+n=0且n-3=0，∴m=-3，n=3， ∴，故答案为：-. 18．多项式a3c－4a2bc＋4ab2c因式分解的结果是__________． 【答案】ac(a－2b)2 【解析】a3c - 4a2bc + 4ab2c &= ac(a2- 4ab + 4b2)= ac(a - 2b)2 19. 已知2a－3b＝6，ab＝7，则代数式4a3b－12a2b2＋9ab3＝________． 【答案】252 【解析】a3b-12a2b2+9ab3 = ab(4a2 - 12ab + 9b2)= ab(2a - 3b)2= 7×62= 252 20.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____________． 【答案】a＋3b 【解析】 用1张边长为 a 的正方形、6张边长为 a,b 的长方形、9张边长为 b 的正方形拼成大正方形总面积为：a2 + 6ab + 9b2= (a + 3b)2因此大正方形的边长为 a + 3b。 三．解答题 21分解因式： (1) 2a3－4a2＋2a； (2) 3x3－12x2y＋12xy2; (3)－4a2b＋12ab2－9b3； (4) (a2＋4)2－16a2. 解析： (1) 原式＝2a(a2－2a＋1)＝2a(a－1)2. (2)原式＝3x(x2－4xy＋4y2)＝3x(x－2y)2. (3)原式＝－b(4a2－12ab＋9b2)＝－b(2a－3b)2. (4)原式＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2 (a－2)2 22．我们知道，对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x＋a)2的形式，但是，对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接用完全平方公式，可以采用如下方法： x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2＝(x＋a)2－(2a)2＝(x＋3a)(x－a). (1)以上这种因式分解方法的关键是____________． (2)用上述方法把a2－8a＋15因式分解． 解：(1)配成完全平方式 (2)a2－8a＋15＝a2－8a＋16－16＋15＝(a－4)2－1＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5). 23．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9进行因式分解的过程． 解：设x2－4x＝y， 原式＝(y＋1)(y＋7)＋9(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2(第四步). 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的________． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________． (3)请你用换元法对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解． 解：(1)选C. (2)(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9， 设x2－4x＝y，原式＝(y＋1)(y＋7)＋9＝y2＋8y＋16＝(y＋4)2＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4. （3）设x2＋2x＝y，原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4. 24.已知x2＋x－1＝0，求x4＋2x3－x2－2x＋2027的值． 解：∵x2＋x－1＝0，∴x2＋x＝1，x2－1＝－x， ∴x4＋2x3－x2－2x＋2027＝(x4－x2)＋(2x3－2x)＋2027＝x2(x2－1)＋2x(x2－1)＋2027＝x2·(－x)＋2x·(－x)＋2027＝－x3－2x2＋2027＝－[(x3＋x2)＋x2]＋2 027＝－[x(x2＋x)＋x2]＋2027＝－(x＋x2)＋2027＝－1＋2027＝2026. 25.(（1） 已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值． （2）已知a(a＋1)－(a2＋2b)＝1，求a2－4ab＋4b2－2a＋4b的值． 解：（1）a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝2×32＝18 （2）∵a(a＋1)－(a2＋2b)＝1，∴a－2b＝1，∴a2－4ab＋4b2－2a＋4b＝(a－2b)2－2(a－2b)＝(a－2b)(a－2b－2)＝1×(1－2)＝－1 26. 阅读下面的材料： 配方法是初中数学中经常用到的一种重要方法，学好配方法对我们学好数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要恒等．例如：解方程x2－4x＋4＝0，则有(x－2)2＝0，则x＝2；再如x2－4x＋y2－6y＋13＝0，则有(x2－4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝0，则x＝2，y＝3. 根据上述材料解答下列各题： (1)若a，b，c表示三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试说明三角形ABC是等边三角形； (2)若x2－4xy＋5y2－2y＋1＝0，求x，y的值． 解：(1)∵a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，∴(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝0，∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，∴a＝b，a＝c，b＝c，∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形　 (2) ∵x2－4xy＋5y2－2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2＋y2－2y＋1＝0，∴(x－2y)2＋(y－1)2＝0，∴x－2y＝0，y－1＝0，∴y＝1，x＝2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $