4.2提公因式法 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本初中数学讲义聚焦“提公因式法”核心知识点，先通过定义明确公因式概念，再以三“定”（定系数、定字母、定指数）方法指导确定公因式，进而系统讲解提公因式法步骤与口诀，构建从概念理解到方法应用的学习支架，衔接多项式基础与后续因式分解学习。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖公因式选择、提公因式后因式分析等基础题及长方形面积周长应用等综合题，通过具体实例培养学生抽象能力（提取公因式）、运算能力（分解过程）与应用意识（解决实际问题）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

第4章第2节 提公因式法 题型1 公因式 题型2 因式分解-提公因式法 ▉题型1 公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 1．多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（　　） A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2 2．把多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是（　　） A．ab B．4ab C．2ab D．4a2b 3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3 5．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　） A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z 6．整式n2﹣1与n2+n的公因式是（　　） A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1 7．代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是（　　） A．5ab（b﹣a） B．5a2b2（b﹣a） C．5a2b（b﹣a） D．120a3b3（b2﹣a2） 8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　） A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 9．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　） A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1 10．式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 　 ． 11．24m2n+18n的公因式是　 ． 12．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是 ． ▉题型2 因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 13．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（　　） A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a 14．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（　　） A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y 15．把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是（　　） A．12ab B．4ab C．3ab D．3ab3 16．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 17．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（　　） A．3 B．1 C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3 18．把多项式6a2b﹣3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．ab B．3ab2 C．3ab D．12a2b2 19．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（　 ）． 20．一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 　　 ． 21．分解因式：x2+3x＝）　 ． 22．因式分解． （1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章第2节 提公因式法 题型1 公因式 题型2 因式分解-提公因式法 ▉题型1 公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 1．多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（　　） A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2 【答案】D 【解答】解：多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是4x2yz2． 故选：D． 2．把多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是（　　） A．ab B．4ab C．2ab D．4a2b 【答案】B 【解答】解：12ab3+8a3b＝4ab（3b2+2a2），则多项式12ab3+8a3b分解因式，应提的公因式是4ab， 故选：B． 3．多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（　　） A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab 【答案】D 【解答】解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab， 故选：D． 4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3 【答案】A 【解答】解：系数最大公约数是﹣3， 相同字母的最低指数次幂是a2、b2， 应提取的公因式是﹣3a2b2． 故选：A． 5．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　） A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z 【答案】C 【解答】解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2， 故选：C． 6．整式n2﹣1与n2+n的公因式是（　　） A．n B．n2 C．n+1 D．n﹣1 【答案】C 【解答】解：n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），所以整式n2﹣1与n2+n的公因式是（n+1）， 故选：C． 7．代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是（　　） A．5ab（b﹣a） B．5a2b2（b﹣a） C．5a2b（b﹣a） D．120a3b3（b2﹣a2） 【答案】C 【解答】解：因为5a2b（b﹣a）＝﹣5a2b（a﹣b），﹣120a3b3（a2﹣b2）＝﹣120a3b3（a+b）（a﹣b）， 所以代数式15a3b3（a﹣b），5a2b（b﹣a），﹣120a3b3（a2﹣b2）中的公因式是5a2b（b﹣a）． 故选：C． 8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　） A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 【答案】A 【解答】解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1）； ②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣3）2； ③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式； ④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣（2x﹣1）2． 所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④． 故选：A． 9．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　） A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1 【答案】D 【解答】解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1． 故选：D． 10．式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是 y﹣1　 ． 【答案】y﹣1 【解答】解：式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是y﹣1， 故答案为：y﹣1． 11．24m2n+18n的公因式是　6n ． 【答案】6n 【解答】解：原式＝6n•4m2+6n•3＝6n（4m2+3）． 所以公因式为6n． 12．a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是a﹣b ． 【答案】a﹣b 【解答】解：∵a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣2ab+b2、a2﹣b2的公因式是：a﹣b． 故答案为：a﹣b． ▉题型2 因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 13．将多项式﹣4a3+16a2+12a分解因式，应提取的公因式是（　　） A．4a3 B．4a2 C．﹣4a2 D．﹣4a 【答案】D 【解答】解：﹣4a3+16a2+12a ＝﹣4a（a2﹣4a﹣3）． 故选：D． 14．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（　　） A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y 【答案】A 【解答】解：﹣7ab﹣14abx+49aby ＝﹣7ab（1+2x﹣7y）． 故选：A． 15．把多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是（　　） A．12ab B．4ab C．3ab D．3ab3 【答案】C 【解答】解：12ab+3ab3＝3ab（4+b2）， ∴多项式12ab+3ab3分解因式，应提的公因式是3ab， 故选：C． 16．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 【答案】B 【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3）， ＝b（x﹣3）（b+1）． 故选：B． 17．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（　　） A．3 B．1 C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3 【答案】A 【解答】解：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3] ＝1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3 ＝（1﹣a）2﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3 ＝（1﹣a）2013﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3 ＝（1﹣a）2014﹣（1﹣a）2014+3 ＝3． 故选：A． 18．把多项式6a2b﹣3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是（　　） A．ab B．3ab2 C．3ab D．12a2b2 【答案】C 【解答】解：6a2b﹣3ab2+12a2b2＝3ab（2a﹣b+4ab）． 故选：C． 19．分解因式：12x3y﹣18x2y2+24xy3＝6xy（　2x2﹣3xy+4y2 ）． 【答案】2x2﹣3xy+4y2 【解答】解：原式＝6xy（2x2﹣3xy+4y2）， 故答案为：2x2﹣3xy+4y2． 20．一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为 　35　 ． 【答案】35． 【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5， ∴2（a+b）＝14，ab＝5， 故a+b＝7，ab＝5， 则a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝5×7 ＝35． 故答案为：35． 21．分解因式：x2+3x＝x（x+3）　 ． 【答案】x（x+3） 【解答】解：x2+3x＝x（x+3）． 22．因式分解． （1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）； （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9． 【答案】（1）（y﹣z）（2a+3b）； （2）（x+1）2（x﹣1）2． 【解答】解：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y） ＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）． （2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9 ＝[（x2+2）﹣3]2 ＝（x2﹣1）2 ＝（x+1）2（x﹣1）2． 学科网（北京）股份有限公司 $