4.1 因式分解 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“因式分解的意义”核心知识点，系统梳理因式分解的定义、与整式乘法的互逆关系及检验方法。以“概念引入—关系辨析—应用巩固”为学习支架，先明确“多项式化为整式积的形式”的本质，再通过对比整式乘法突出互逆性，最后依托练习题深化理解。 该资料通过19道多样化练习题（选择、填空等）强化概念辨析，如区分整式乘法与因式分解，培养学生抽象能力和推理意识。填空题让学生举例a的值，发展应用意识。课中辅助教师高效讲解，课后助力学生自查补缺，提升对因式分解本质的理解。

第4章第1节 因式分解 题型1 因式分解的意义 ▉题型1 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B． C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） 4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2 C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5） 5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a•4b 6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+3x＝x（x+3） B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1 D．6xy2＝3x•2y2 7．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2） C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 8．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4 C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3） 9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y） 10．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3 C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 11．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+4x+10＝（x+2）2+6 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x 13．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x 14．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 15．下列由左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9 B．4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1 C．（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3） D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2 16．某同学粗心大意，分解因式时，把等式a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）中的两个数弄污了，那么你认为式子中的※和●所对应的一组数是（　　） A．9，3 B．81，3 C．81，9 D．27，3 17．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 18．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　） A．24x2y＝3x•8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 19．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 ． 20．下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x•5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是　　 ． 21．分解因式：x2+ay2在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是 　　 ．（任意写出一个即可） 22．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　　 ，从右向左的变形是　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章第1节 因式分解 题型1 因式分解的意义 ▉题型1 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 【答案】B 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、是因式分解，故本选项符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 【答案】B 【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误； 故选：B． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B． C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） 【答案】D 【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．﹣7ab2c3＝﹣abc•7bc2 C．m（m+3）＝m2+3m D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5） 【答案】D 【解答】解：A．x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意； B．﹣7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意； C．m（m+3）＝m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意； D．2x2﹣5x＝x（2x﹣5）是因式分解，故D符合题意； 故选：D． 5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a•4b 【答案】C 【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法， ∴选项A不符合题意； ∵ab+ac+d＝a（b+c）+d不是因式分解， ∴选项B不符合题意； ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2是因式分解， ∴选项C符合题意； ∵12ab2＝3a•4b不是因式分解， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 6．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+3x＝x（x+3） B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1 D．6xy2＝3x•2y2 【答案】A 【解答】解：x2+3x＝x（x+3）符合因式分解的定义，则A符合题意； （x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则B不符合题意； x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意； 6xy2＝3x•2y2中6xy2是单项式，则D不符合题意； 故选：A． 7．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2） C．（y+1）（y﹣3）＝﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z 【答案】B 【解答】解：根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是m3﹣n3＝（m﹣n）（m2+mn+n2）． 故选：B． 8．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4 C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1 D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3） 【答案】D 【解答】解：A、这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此A选项不是因式分解． B、这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解． C、这个等式右边是y乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解． D、y2﹣9＝（y+3）（y﹣3），这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解． 故选：D． 9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y） 【答案】D 【解答】解：A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； D、x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）属于因式分解，符合题意． 故选：D． 10．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3 C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 【答案】D 【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．x2•5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 11．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选：B． 12．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+4x+10＝（x+2）2+6 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x 【答案】C 【解答】解：A、是多项式相乘，错误； B、右边不是积的形式；错误； C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确； D、右边不是积的形式；错误； 故选：C． 13．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【答案】C 【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意； B选项计算错误，故不符合题意； C选项是因式分解，故符合题意； D选项不是因式分解，故不符合题意； 故选：C． 14．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【解答】解：①x2+3x+1＝x（x+3）的右边不是整式的积，不是因式分解； ②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，不是因式分解； ③15x2y＝3x•5xy的左边不是多项式，不是因式分解； ④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2是因式分解． 是因式分解的个数是1个， 故选：A． 15．下列由左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9 B．4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1 C．（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3） D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2 【答案】C 【解答】解：A、（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9，不是因式分解，故本选项错误； B、4x2+18x﹣1＝4x（x+2）﹣1，不是因式分解，故本选项错误； C、（a﹣b）2﹣9＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3），是因式分解，正确； D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2不是因式分解，故本选项错误． 故选：C． 16．某同学粗心大意，分解因式时，把等式a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）中的两个数弄污了，那么你认为式子中的※和●所对应的一组数是（　　） A．9，3 B．81，3 C．81，9 D．27，3 【答案】B 【解答】解：由a4﹣※＝（a2+9）（a+3）（a﹣●）得出●＝3， 则（a2+9）（a+3）（a﹣3）＝（a2+9）（a2﹣9）＝a4﹣81，则※＝81． 故选：B． 17．如果x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式，那么m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：设另一个因式是x+a， 则（x﹣2）（x+a） ＝x2+ax﹣2x﹣2a ＝x2+（a﹣2）x﹣2a， ∵x﹣2是多项式x2﹣6x+m的一个因式， ∴a﹣2＝﹣6， 解得：a＝﹣4， ∴m＝﹣2a＝8， 故选：A． 18．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　） A．24x2y＝3x•8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 【答案】C 【解答】解：A、24x2y不是多项式，因而不是因式分解，选项错误； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、是因式分解，选项正确； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误． 故选：C． 19．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【答案】x2+6x+8＝（x+2）（x+4） 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 20．下列从左到右的变形：①；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；③15x2y＝3x•5xy；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．其中是因式分解的是　④　 ． 【答案】④． 【解答】解：①中不是整式，它不是因式分解， ②是乘法运算，它不是因式分解， ③中等号左边是单项式，它不是因式分解， ④符合因式分解的定义，它是因式分解， 故答案为：④． 21．分解因式：x2+ay2在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是 　﹣4（答案不唯一）　 ．（任意写出一个即可） 【答案】﹣4（答案不唯一）． 【解答】解：由题意得当a＝﹣4时，原多项式为x2﹣4y2，分解因式为（x+2y）（x﹣2y）， 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 22．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　整式乘法　 ，从右向左的变形是　因式分解　 【答案】整式乘法；因式分解 【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法； 从右向左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法、因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $