2.4一元一次不等式组 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理从定义（含同一未知数的一元一次不等式组合）到解法（数轴求公共部分及规律），再到整数解、实际问题抽象与应用的完整知识链，搭建从概念理解到实际运用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础定义到综合应用）和生活化实例（如购买方案、电梯超重问题），培养学生抽象能力、推理意识与模型观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过多样化练习（选择、填空、解答）查漏补缺，强化知识应用。

第2章第4节 一元一次不等式组 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 解一元一次不等式组 题型3 一元一次不等式组的整数解 题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型5 一元一次不等式组的应用 ▉题型1 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是　　 ． ▉题型2 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 ▉题型3 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 6．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 7．满足不等式组的非负整数解的个数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 （多选）8．如果关于x的不等式组恰有3个整数解，符合条件的a的取值是（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．4.5 9．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 　． 10．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　　 个． 11．在平面直角坐标系中，已知点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，且m为整数，则点A的坐标为　　 ． ▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 12．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 13．某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　） A．930＜x≤970 B．875≤x＜945 C．875＜x≤945 D．930≤x＜970 14．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 15．用若干辆载重量为6千克的货车运一批货物，若每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物；若每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克．若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 16．若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为　　 ． ▉题型5 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 17．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（　　） A．280＜x≤350 B．280＜x≤400 C．330＜x≤350 D．330＜x≤400 18．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8（x﹣1） C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 19．把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　） A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 20．小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（　　） A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘 21．某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元． （1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ （2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 22．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n的值． （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 23．每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵．若每人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植），问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？ 24．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 25．学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 26．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元． （1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章第4节 一元一次不等式组 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 解一元一次不等式组 题型3 一元一次不等式组的整数解 题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型5 一元一次不等式组的应用 ▉题型1 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一） 【解答】解：根据解集﹣1＜x≤2，构造的不等式为． 答案不唯一． ▉题型2 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在中， 由x﹣1＜0得：x＜1， 由x+1≥0得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜1． 故选：A． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：， 由①得x≥1； 由②得x＜3； 故不等式组的解集为1≤x＜3， 在数轴上表示出来为：． 故选：C． 4．不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： 解不等式x﹣2＞0得：x＞2， 解不等式2x﹣6≥0得：x≥3， 在数轴上表示如图： ， 故选：B． 5．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 【答案】D 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为x＜4， ∴a≥4． 故选：D． ▉题型3 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 6．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 【答案】B 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x≥3， ∴不等式组的解集为：3≤x＜m， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6， ∴6＜m≤7． 故选：B． 7．满足不等式组的非负整数解的个数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解答】解： 解不等式①得：x＞﹣2.5， 解不等式②得，x≤4， ∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4， ∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， 故选：C． （多选）8．如果关于x的不等式组恰有3个整数解，符合条件的a的取值是（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．4.5 【答案】AB 【解答】解：， 解①得：x＞a﹣2， 解②得：x≤3， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为a﹣2＜x≤3， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴这3个整数解为1，2，3， ∴0≤a﹣2＜1， ∴2≤a＜3， 故选：AB． 9．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 　1≤a＜2　 ． 【答案】1≤a＜2． 【解答】解：， 解不等式①得x＞﹣3， 解不等式②得x≤a， ∵不等式组有四个整数解，即为﹣2，﹣1，0，1， ∴1≤a＜2， 故答案为：1≤a＜2． 10．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 　3　 个． 【答案】3 【解答】解：由题意得45， 解得：7≤x， 其整数解为7、8、9共3个． 故答案为：3． 11．在平面直角坐标系中，已知点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，且m为整数，则点A的坐标为　（1，﹣1）　 ． 【答案】（1，﹣1）． 【解答】解：∵点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内， ∴， 解得，2.5＜m＜4， 又∵m为整数， ∴m＝3， ∴点A的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． ▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 12．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个， 由题意，得． 故选：C． 13．某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（　　） A．930＜x≤970 B．875≤x＜945 C．875＜x≤945 D．930≤x＜970 【答案】C 【解答】解：由题意可知：， 解得875＜x≤945． 故选：C． 14．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住， ∴学生总人数为（4x+19）人， ∵一间宿舍不空也不满， ∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间， ∴列的不等式组为： 故选：D． 15．用若干辆载重量为6千克的货车运一批货物，若每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物；若每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克．若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设有x辆货车， 每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物， 所以，货物总重为（4x+18）千克， 每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克， 根据等量关系，可得到不等式为： 4x+18﹣6（x﹣1）＜5和4x+18﹣6（x﹣1）＞0． 故选：D． 16．若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为　1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6　 ． 【答案】1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6 【解答】解：设有x间宿舍，则学生有（4x+2）人，由题意得： 1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6， 故答案为：1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6． ▉题型5 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 17．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（　　） A．280＜x≤350 B．280＜x≤400 C．330＜x≤350 D．330＜x≤400 【答案】A 【解答】解：根据题意得：， 解得：280＜x≤350． 故选：A． 18．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8（x﹣1） C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 【答案】C 【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得： 0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 所以可列不等式为：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：C． 19．把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　） A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 【答案】C 【解答】解：假设共有学生x人，根据题意得出：， 解得：10＜x≤12． 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12． 观察选项，选项C符合题意． 故选：C． 20．小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（　　） A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘 【答案】D 【解答】解：设小亮最终胜x场，则小颖胜（8﹣x）场， 根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x＝5， ∴小亮最终胜5场． 故选：D． 21．某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元． （1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ （2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元， 根据题意得，解得， 答：A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元； （2）设购买A型手机a部，则购买B型手机（6﹣a）部， 根据题意得11200≤1800a+2200（6﹣a）≤11600 解得4≤a≤5 因为a为整数， 所以a＝4或5， 所以有两种购买方案，即方案①：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案②：购买A型手机5部，购买B型手机1部； （3）按方案①购买所需费用为：1800×4+2200×2＝11600（元） 按方案②购买所需费用为：1800×5+2200＝11200（元）， 因此，按方案②购买更省，最少费用是11200元． 22．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n的值． （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【答案】（1）m的值为10，n的值为14； （2）共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， 答：m＝10，n＝14； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件（100﹣x）个， 根据题意得：， 解得：58≤x≤60， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； 23．每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵．若每人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植），问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设个植树小组有x人去植树，共有y棵树． 由“每人植4棵，则余20棵没人植”和“若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植）”得： ，将y＝4x+20代入第二个式子得： 0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8， 5＜x＜7． 答这个植树小组有6人去植树，共有4×6+20＝44棵树． 24．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆， 根据题意得：， 解得：a， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为450×2+300×6＝2700（元）； 选择方案2所需总租金为450×3+300×5＝2850（元）． ∵2700＜2850，2900﹣2700＝200（元）， ∴花费最少的方案比预算2900元省200元钱． 25．学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元． （2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（25﹣m）个， 依题意，得：， 解得：m≤10． ∵m为整数， ∴m＝7，8，9，10， ∴25﹣m＝18，17，16，15． ∴学校有四种购买方案， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， ∴m＝7时，花费最少， 即购买A奖品7个，购买B奖品18个，花费最少． 26．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元． （1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元； （2）共有3种购买方案， 方案1：购买A种树48棵，B种树52棵； 方案2：购买A种树49棵，B种树51棵； 方案1：购买A种树50棵，B种树50棵． 【解答】解：（1）设购买A种树每棵需x元，B种树每棵需y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元； （2）设购买A种树m棵，则购买B种树（100﹣m）棵， 根据题意得：， 解得：48≤m≤50， 又∵m为正整数， ∴m可以为48，49，50， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买A种树48棵，B种树52棵； 方案2：购买A种树49棵，B种树51棵； 方案1：购买A种树50棵，B种树50棵． 学科网（北京）股份有限公司 $