2.3一元一次不等式与一次函数 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本初中数学讲义聚焦“一元一次不等式与一次函数”核心知识点，系统阐述从函数角度（寻求y=kx+b值大于或小于0的自变量x范围）和图象角度（确定直线在x轴上下方点的横坐标集合）的关系，构建一次函数到不等式综合应用的学习支架。 资料通过16道典型例题（如交点坐标与不等式解集、函数图象象限与不等关系等），强化几何直观，培养从图象抽象数量关系的推理意识。课中辅助教师引导学生数形结合，课后助力学生通过练习巩固知识，有效查漏补缺。

第2章第3节 一元一次不等式与一次函数 题型1 一次函数与一元一次不等式 ▉题型1 一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 1．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 2．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＜0 3．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知直线y1＝2x与直线y2＝﹣2x+4相交于点A．有以下结论：①点A的坐标为A（1，2）；②当x＝1时，两个函数值相等；③当x＜1时，y1＜y2；④直线y1＝2x与直线y2＝2x﹣4在平面直角坐标系中的位置关系是平行．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③ C．①②③④ D．①②③ 6．若（﹣3，m），（2，n）为一次函数y＝kx+b图象上两点，且m＞n，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k＞0 D．k＜0 7．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，6），根据图象可知0＜﹣3x+6＜6的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜2 C．2＜x D．x＜0，x＞2 8．如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 9．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当时，x的取值范围为（　　） A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．x＜1 10．如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＜x+b．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 11．要使函数y＝（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值应为（　　） A．m，n B．m＞3，n＞﹣3 C．m，n D．m，n 12．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 13．如图是函数y＝ax+1的图象，则不等式ax+1＜0的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2的解集为（　　） A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＜2 D．x＞2 15．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 16．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3 17．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2）则关于x的不等式kx+b＜2解集为（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2 18．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（3，0），且y随自变量x的增大而增大，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x≤﹣2 C．x≥1 D．﹣2≤x＜﹣1 20．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0）的图象为直线l，在下列结论中： ①无论m取何值，直线l一定经过某个定点； ②过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是； ③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝1； ④对于一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，则． 其中正确的是 　　 （填写所有正确结论的序号） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章第3节 一元一次不等式与一次函数 题型1 一次函数与一元一次不等式 ▉题型1 一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 1．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　） A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【答案】D 【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4）， 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 2．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＜0 【答案】A 【解答】解：由图象可得， 当x＝﹣2时，y＝0，y随x的增大而减小， ∴不等式kx+b＜0的解集为x＞﹣2， 故选：A． 3．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1 【答案】C 【解答】解：根据图象得，当x＞1时，y1＞y2， 即：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1． 故选：C． 4．已知一次函数y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据函数图象可知，当x＜﹣1时，一次函数y＝﹣x+2的图象在y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象的下方， ∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞mx+n，即不等式﹣x+2＞mx+n的解集为x＜﹣1， 在数轴上表示为： ． 故选：C． 5．已知直线y1＝2x与直线y2＝﹣2x+4相交于点A．有以下结论：①点A的坐标为A（1，2）；②当x＝1时，两个函数值相等；③当x＜1时，y1＜y2；④直线y1＝2x与直线y2＝2x﹣4在平面直角坐标系中的位置关系是平行．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③ C．①②③④ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：联立y1＝2x，y2＝﹣2x+4得， 解得：， ∴点A的坐标为（1，2），故①正确； 当x＝1时，y1＝2，y2＝2，故②正确； 如图：当x＜1时，y1＜y2故③正确； 直线y1＝2x与直线y2＝2x﹣4平行，故④正确； 故选：C． 6．若（﹣3，m），（2，n）为一次函数y＝kx+b图象上两点，且m＞n，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＞1 C．k＞0 D．k＜0 【答案】D 【解答】解：∵（﹣3，m），（2，n）为一次函数y＝kx+b图象上两点，且m＞n，﹣3＜2， ∴y随着x的增大而减小， ∴k＜0； 故选：D． 7．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，6），根据图象可知0＜﹣3x+6＜6的解集为（　　） A．x＜0 B．0＜x＜2 C．2＜x D．x＜0，x＞2 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，6）， ∴根据图象可知0＜﹣3x+6＜6的解集为0＜x＜2， 故选：B． 8．如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+2得﹣2m+2＝4，解得m＝﹣1， 当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b． 故选：A． 9．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当时，x的取值范围为（　　） A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．x＜1 【答案】C 【解答】解：由条件可知直线经过点A（3，1）， ∵直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1）， ∴点A（3，1）为直线y＝kx+b（k＜0）和直线的交点， 由图象可知：当时，x的取值范围为x＞3； 故选：C． 10．如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＜x+b．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解答】解：∵直线y2＝kx经过第二、四象限， ∴k＜0，故①错误； ∵y1＝x+b与y轴交点在正半轴， ∴b＞0，故②正确； ∵正比例函数y2＝kx经过原点，且y随x的增大而减小， ∴当x＜0时，y2＞0；故③正确； 当x＜﹣2时，正比例函数y2＝kx在一次函数y1＝x+b图象的上方，即kx＞x+b，故④错误． 故选：B． 11．要使函数y＝（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值应为（　　） A．m，n B．m＞3，n＞﹣3 C．m，n D．m，n 【答案】D 【解答】解：∵函数y＝（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过x、y轴的正半轴， ∴得到， 解得：m，n． 故选：D． 12．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限， ∴a＞0，所以①正确； ∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ∴m＞0，n＜0， ∴mn＜0，所以②错误； ∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确； 把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2， 解得a＝3， ∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0， 解得x， ∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（，0）， ∴当x时，ax+2＜0， ∴当﹣2＜x时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确． 故选：B． 13．如图是函数y＝ax+1的图象，则不等式ax+1＜0的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【答案】A 【解答】解：由函数图象可知，一次函数y＝ax+1的图象经过点（﹣2，0）， ∴不等式ax+1＜0的解集是x＜﹣2． 故选：A． 14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2的解集为（　　） A．x＞﹣4 B．x＜﹣4 C．x＜2 D．x＞2 【答案】C 【解答】解：把P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2得：﹣n﹣2＝﹣4， 解得n＝2， 根据图象可得2x+m＜﹣x﹣2的解集为x＜2， 故选：C． 15．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A 【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线yx都经过点A（3，1）， ∴当x＞3时，kx+bx． 故选：A． 16．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3 【答案】B 【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞x+b的解集为：x＞2， 故选：B． 17．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2）则关于x的不等式kx+b＜2解集为（　　） A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2 【答案】A 【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2， 故选：A． 18．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（3，0），且y随自变量x的增大而增大，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【答案】A 【解答】解：∵y随自变量x的增大而增大， ∴当x≥3时，y≥0， 即关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≥3． 故选：A． 19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x≤﹣2 C．x≥1 D．﹣2≤x＜﹣1 【答案】A 【解答】解：由图象可知：正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图的交点是A（﹣1，﹣2）， ∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤﹣1． 故选：A． 20．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0）的图象为直线l，在下列结论中： ①无论m取何值，直线l一定经过某个定点； ②过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是； ③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝1； ④对于一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，则． 其中正确的是 　①②④　 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：①y1＝mx+2m﹣1＝m（x+2）﹣1， 当x＝﹣2时，y1＝﹣1， ∴直线l过定点（﹣2，﹣1）， ∴①正确． ②∵OH⊥l，垂足为H， ∴当点H与点（﹣2，﹣1）重合时，OH最大． 此时OH， ∴②正确． ③在y1＝mx+2m﹣1中，当x＝0时，y＝2m﹣1， 当y＝0时，x2， ∴A（2，0），B（0，2m﹣1）． ∵∠AOB＝90°，△AOB是等腰三角形， ∴OA＝OB． ∴2＝2m﹣1或2＝1﹣2m， ∴m＝±1或（舍去）， ∴③错误． ④一次函数y1＝m（x+2）﹣1（m≠0）的图象过定点（﹣2，﹣1）， 一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0）过定点（3，1）， ∵无论x取何值，始终有y1＞y2， ∴当m＜0时，若a＝m，两直线平行时，则y2＞ y1，不符合题意． 当m＞0时，经过点（﹣2，﹣1），（3，1）的直线为y3， ∵一次函数y1＝m（x+2）﹣1（m≠0）的图象过定点（﹣2，﹣1）， ∴当m，若m＝a时，直线y1∥y2，不论x取何值，始终有y1＞y2， 符合题意． ∴m． ∴④正确． 故答案为：①②④． 学科网（北京）股份有限公司 $