第2章 3 一元一次不等式与一次函数-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系 要点提示 一元一次不等式与一次函数的关系：关于x的一元一次不等式ax十b>0(a≠0)或ax十b<0(a≠0)可看作一 次函数y=a.x十b(a≠0)在函数值y>0或y<0时的变化形式.故当函数值y>0或y<0时，一次函数自变量 x的取值范围就是不等式ax十b>0或ax十b<0的解集. O1固基础之 5.如下图，函数y1=-2x十3与y2=-2x十 知识点一元一次不等式与一次函数的关系 m的图象交于点P(n,-2),直线y1=一2x 1.(2025抚州南城期中)如图，一次函数y=kx 十3与y轴交于点A,直线y2=一2x十m 十b的图象经过点(2,0)与(0,3)，则关于x 的不等式kx十b>0的解集是 与y轴交于点B. ( (1)求出m,n的值. A.x<2 B.x>2 1 C.x<3 D.x>3 (2)不等式-2x十m>一2x+3的解集为 1 y=kx+b 02x 3 (3)求△ABP的面积. 第1题图 第2题图 2.如图，直线y=kx十b(k≠0)经过点A(一3， 2),则关于x的不等式kx十b<2的解集为 ( ) y1=-2x+3 A.x>-3 B.x<-3 C.x>2 D.x<2 3.如图，直线y1=一x十a与y2=bx一4相交 于点P.已知点P的坐标为(1，一3)，则关于 x的不等式一x+a≤bx一4的解集是 y=-3 y=ax+4 0 第3题图 第4题图 4.如图，函数y=一3x和y=ax十4的图象相 交于点A(m,3),则0<ax+4<-3.x的解 集为 36 数学八年级BS版 ②a的值. y=kx+b 易错点 不理解函数值和点的坐标的 关系而出错 6.如图，直线y=kx十b经过 A y2=-4x+a A(2,1),B(-1,-2)两点， B 则一2<kx十b<1的解集为 第6题图 02提能力之 7.数形结合是我们解决数学问题常用的思想 方法.如图，一次函数y=一x一1的图象与 y=m.x十n(m,n为常数，m≠0)的图象相交 于点(1，一2)，则不等式-x一1<mx+n的 ……◆O3拓思维之 解集在数轴上的表示正确的是 ( ) 10.在学习了一次函数后，小星准备利用已有 知识，参照学习一次函数的过程与方法，探 01 -2 0 B 索函数y=|x+1|的图象与性质. (1)列表： -2 0 D 4-3-2-10 12 =-x-1y 3 01 3 v=mx + 其中m= ,n= (2)描点、连线：在下图所示的平面直角坐 第7题图 第8题图 标系xOy中，描出表中各组数值所对应的 8.如图，正比例函数y1=ax与一次函数y2= 点(x,y),并画出函数图象. 2x十b的图象交于点P.下面四个结论： (3)设函数图象与x轴、y轴分别交于A,B 两点，则下列说法正确的是 （填 ①a<0;②b<0;③不等式ax>2x+b的 序号) ①y随着x的增大而增大；②函数图象是 解集是x<一2；④当x>0时，y1y2>0.其 一个轴对称图形；③该函数有最小值； 中正确的是 ( A.①②B.②③C.①④D.①③ ④∠BAO=45°. 9.一次函数y1=kx+b和y2=一4x十a的图 (4)根据绘制的函数图象，直接写出不等式 象如下图所示，且A(0,4),C(-2,0). |x+1>2的解集： (1)不等式kx+b>0的解集是 (2)若不等式kx十b>一4x十a的解集是x >1,求： ①点B的坐标； -5-4-3-2-10123x 下册第二章 第2课时一元一次不等式与一次函数的应用 要点提示 元一次不等式与一次函数应用的解答步骤：(1)理清题目中的数量关系，利用这些数量关系建立几个一次函 数表达式：(2)根据题意，将列出的函数表达式转化为方程或不等式；(3)解方程或不等式：(4)利用方程的解或 不等式的解集及限制条件，作出判断，确定最佳方案. O1固基础念 学校需复印x页，则当x 时， 乙复印社的收费更少 知识点一元一次不等式与一次函数的应用 4.(教材变式)五一劳动节假期来临之际，各大 1.甲、乙两家商店销售同一种 y元1 乙 甲 超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的 产品，每件产品的售价y (2,4) 具体销售方案如下表： (单位：元)与数量x(单位： 甲 乙 件)之间的函数图象如图所 0123x/件 销售 每盒标价 每盒标价480元，若购买数量 示，则下列说法错误的是 第1题图 方案 420元 超过3盒，则超出部分打八折 ( A.买2件时，甲、乙两家售价一样 已知购买礼盒所需费用y(单位：元)与数量 x(单位：盒)之间成函数关系，李明通过计算 B.买1件时，买乙家的合算 发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 C.买3件时，买甲家的合算 D.买1件时，乙商店的售价约为3元 盒 5.(教材变式)某学校团支部书记暑假带领该 2.小静准备到甲商场或乙商场购买一些商品， 两家商场同种商品的标价相同，但各自推出 校学生去旅游.甲旅行社说：“若团支部书记 买一张全票，则学生可享受半价优惠.”乙旅 的优惠方案不同.在甲商场累计购买满一定 数额a元后，超出的部分按原价的90%付 行社说：“包括团支部书记在内都享受六折 费；在乙商场累计购买50元商品后，超出的 优惠.”若全票票价是1200元，设学生的人 部分按原价的95%付费.若累计购买商品x 数为x,甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社 元，当x>a时，在甲商场需付钱数y甲= 的收费为y乙元. 0.9x+10;当x>50时，在乙商场需付钱数 (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数 为yz.给出下列结论：①y乙=0.95x十2.5 的关系式. (x>50);②a=100;③当x>50时，选择乙 (2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠. 商场更优惠；④当x>150时，选择甲商场更 优惠.其中正确的是 A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 3.学校有一批复印任务，原来由甲复印社承 接，按每100页40元的价格进行计费.现乙 复印社表示，若学校先付200元的包月费， 则可按每100页15元的价格进行计费.设 数学八年级BS版 02提能力 O3拓思维 6.跨物理学科已知在弹性限度 y/em 8.某大型电影院提供会员卡购票服务和单次 /y2 内，甲、乙两弹簧的长度y(单 12 购票服务，会员卡购票服务需要支付会员费 位：cm)与所挂物体的质量x 60元，之后每次购票可以享受会员价40元/ 01234/kg (单位：kg)之间的函数关系 张；而单次购票服务则按原价50元/张购 第6题图 式分别是y1=k1x十b1,y2=k2x十b2,其图 买.会员卡购票服务观影总费用为y1元，单 象如图所示.当所挂物体的质量为2kg时， 次购票服务观影总费用为y2元 甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为 (1)分别写出y1y2与观影次数x之间的关 ( 系式 A.y1>y2 B.y1=y2 (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出两 C.y<y2 D.不能确定 个函数的图象 7.随着手机和网络的普及，外卖行业得到了迅 (3)根据观影次数，你认为选用哪种服务更 速的发展.某知名外卖平台招聘外卖骑手， 合算？ 并提供了如下两种日工资结算方案 360 方案一：每日底薪50元，每完成1单外卖业 务提成3元 方案二：每日底薪80元，外卖业务的前30 10 单没有提成，超过30单的部分，每完成1单 8 提成5元. 01234567891011x 设骑手每日完成的外卖业务量（单位：单）为 x(x为正整数)，方案一、方案二中骑手的日 工资（单位：元）分别为y1,y2: (1)分别写出y1y关于x的函数表达式. (2)若小明是该外卖平台的一名骑手，从日 工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工 资结算方案？ 下册第二章 39、5 2m=10.故该公司有两种采购方案，方案1：采购 A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：采购A型汽车 4辆，B型汽车10辆. 6.C7.A8.33 9.66【解析】设还可以购买B种海报的张数为x. 依题意，得10×60+12x<140,解得x<200 x为整数，x的最大值为66， .最多还可以购买B种海报的张数为66. 10.解：设从普通人工检票口进入的旅客有x人. 12 由题意，得4×3x十x≥1000，解得x≥7613： x为正整数，∴.x的最小值为77， ∴.从普通人工检票口进入的旅客至少有77人 11.解：(1)设每个排球x元，每个篮球y元 3x+2y=310, 依题意，得 x+5y=500, 解得/=50， y=80. 故每个排球50元，每个篮球80元. (2)设购买a个篮球，则购买(60一a)个排球. 依题意，得80a+50×(60-a)≤4000， 解得u≤333 ,a为正整数，∴.a的最大值为33. 故最多可以购买33个篮球. (3)设购买排球m个，购买篮球n个. 依题意，得50m+80n=1000, m-20-9 ,m,n均为正整数， .∴.n=5或n=10. 故共有两种购买方案，方案一：购买排球12个、篮球 5个；方案二：购买排球4个、篮球10个. 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系 1.A2.A3.x≥1 4.一4<x<-1【解析】如图，设直=-3xy↑ 线y=ax十4交x轴于点B. :函数y=一3x的图象过点 A(m,3), /p .∴.-3m=3, 解得m=-1 ..A(-1,3). 将A(-1,3)代入y=ax十4，得-a+4=3, 解得a=1, ∴.y=x十4. 令y=0,则x=-4, .B(-4,0), .0<ax十4<一3x的解集为一4<x<-1. 5.解：(1)把P(n,-2)代入y1=-2x+3,得-2n+3= -2,解得m=号∴P(号-2） 把P(受，-2)代人⅓-立+m,得-+ 4十m= -2,解得m=- (2)x72 (3)令x=0,则=3=-号A(0,30.B(0 AB8-(-）-5 1155_75 Saa=2XX2-16 6.一1<x<2【解析】观察图可知，不等式-2<kx十b <1的解集就是线段AB(不包含端点)所对应的自变 量x的取值范围，即-1<x<2. 7.A 8.D【解析】：正比例函数y1=ax的图象经过第二、四 象限a<0,放结论①正确：”一次两数，=宁十 b的图象与y轴正半轴相交，∴.b>0,故结论②错误； 1 由图可知，不等式ax>2x+b的解集是x<-2,故 结论③正确；当x>0时，y1<0,y2>0,y1y2<0,故 结论④错误.综上所述，其中正确的是①③. 9.解：(1)x>-2 (2)①：点A(0,4),C(-2,0)在一次函数y1=kx十b b=4, k=2, 的图象上，. 解得 ∴.y1=2x+4. -2k+b=0, b=4. :不等式kx十b>-4x十a的解集是x>1, .点B的横坐标是1. 当x=1时，y1=2×1+4=6, .点B的坐标是(1,6). ②：点B(1,6)在函数y2=-4x十a的图象上， ∴.6=-4×1十a,解得a=10. 10.解：(1)12 (2)函数图象如图所示， -5-4-3-2-10123x (3)②③④ (4)x<-3或x>1 下册参考答案 第2课时一元一次不等式与一次函数的应用 1.D 2.C【解析】根据题意，得yz=50+0.95(x-50)= 0.95x十2.5(x>50),故结论①正确；根据题意，得y甲 =a+0.9(x-a)=0.9x+0.1a=0.9x十10，∴.a 100,故结论②正确；当y甲<yz,即0.9x十10<0.95.x 十2.5时，解得x>150,.当x>150时，选择甲商场 更优惠，故结论③错误，结论④正确.综上所述，其中 正确的是①②④ 3.>8004.9 5.解：(1)由题意，得ym=0.5×1200x十1200=600x+ 1200,yz=0.6×1200x+0.6×1200=720x+720. (2)①当y=yz时，600x+1200=720x十720，解得x= 4,∴当学生人数为4时，两家旅行社的收费是一样的： ②当y甲>yz时，600x+1200>720.x+720,解得x<4, ∴.当0<x<4(x为整数)时，乙旅行社更优惠： ③当y甲<yz时，600.x+1200<720.x+720,解得x>4, ∴.当x>4(x为整数)时，甲旅行社更优惠. 6.A 7.解：(1)由题意，得y1=50十3x. 当0<x≤30时，y2=80; 当x>30时，y2=80+5(x-30)=5x-70. (2)当0<x≤30且50+3x=80时，解得x=10, 即当0<x<10时，y1<y2;当10<x≤30时，y1>y2 当x>30且50十3x=5x-70时，解得x=60, 即当30<x<60时，y2<y1:当x>60时，y2>y1 故从日工资收入的角度考虑： ①当0<x<10或x>60时，他应该选择方案二； ②当10<x<60时，他应该选择方案一： ③当x=10或x=60时，他选择两种方案均可， 8.解：(1)y1与观影次数x之间的关系式为y1=40x +60. y2与观影次数x之间的关系式为y2=50x. (2)由(1)中所得关系式，画出两个函数的图象如图. y2=50x y,=40x+60 360 330 390 1d 1R0 150 120 60 30--t- 01234567891011x (3)令y1=y2,得50x=40x+60,解得x=6, ∴.根据图象可知，当x=6时，y1=y2; 当0≤x<6时，y2<y1:当x>6时，y1<y2. 综上，当0≤x<6时，选用单次购票服务更合算；当x =6时，两种购票服务所需费用相同；当x>6时，选用 会员卡购票服务更合算. 数学八年级BS版 4一元一次不等式组 第1课时一元一次不等式组的解法 1.A2.A3.0≤x<14.B5.-1(答案不唯一) 6.解：解不等式①，得x>2 解不等式②，得x≤8， ,∴.原不等式组的解集为2<x≤8. 1x-1<2,① 7.解：(1) x+5<0.② 解不等式①，得x<3,解不等式②，得x<-5. 故不等式组/下-1<2， 的解集是x<一5. x+5<0 (2)设“口”为a,则不等式x十a<0的解集是x<-a, 不等式x-1<2的解集是x<3. 不等式组的解集是x<3,∴.-a≥3，解得a≤-3， ∴.常数“口”的取值范围是不大于一3. 8.a≥-3【解析】由题意，得3a+2≥a-4,解得a≥ -3. 9.A 10.D【解析】 []=22<2<3,解得5≤ 2 <7. 11.m≤412.313.a≤-6 1+x-(3x-40>0,① 2 14.不能【解析】由题意，得 +3 2 _15>0.@ .7 解不等式①，得x<3,解不等式②得x>3, ∴此不等式组无解，即代数式。十？的值不能同 时大于3江-4和5。的位。 x-y=m-5,① 15.解： x+y=3m+3.② ①十②，得2x=4m-2,解得x=2m-1. ②-①，得2y=2m十8，解得y=m十4. ,x的值为负数，y的值为正数， 1 '解得-4<m<2 16.解：(1)根据“异号两数相乘，积为负”可得， ①/2x-3>0, 2x-3<0, 或② 解①，得不等式组无 x+1<0 x+1>0. 3 解，解②，得-1<x<2不等式(2x-3)(x+1) 3 <0的解集为-1<x<2 (2)根据“同号两数相除，商为正”可得， 1 1 ①3x-1≥0， 或②3x-1≤0， 解①，得x≥3，解 x+2>0 x+2<0.