2.1不等式及其性质 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦初中数学“不等式及其性质”核心知识点，系统梳理不等式的定义、性质、解集及在数轴上的表示，从概念理解到性质应用，再到解集确定与图形表达，构建递进式学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 资料以题型分类为特色，通过实例（如绝对值不等式几何意义分析）培养抽象能力与几何直观，大量练习题强化推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第2章第1节 不等式及其性质 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集 ▉题型1 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 1．下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．0 4．下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（　　） 用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30 6．下列各式中，不是不等式的是（　　） A．x≥3 B．x＜﹣5 C．x＝﹣1 D．x≠﹣3 7．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（　　） A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8 8．老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤xy＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．根据下列数量关系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是 　　 ． 11．用适当的符号表示下列关系：a是正数 　 ． 12．（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则： ①“|a|＜2”可理解为 　　 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为 　　 和 　　 ． 我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1， 绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3． 则：①不等式|x|≥4的解集是 　 ． ②不等式|x|＜2的解集是 　　 ． （3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并画图说明． ▉题型2 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 13．若x＞y，则下列式子错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．﹣2x＜﹣2y D． 14．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1 15．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b 16．下列不等式的变形正确的是（　　） A．若a＞b，则c+a＜c+b B．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b 17．如果a＜b，那么下列结论中一定成立的是（　　） A．﹣1+a＞1+b B．2﹣a＞2﹣b C．ab＜b2 D．a2＜b2 18．下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜﹣mb；（3）ac2＞bc2；（4）﹣ac2≤﹣bc2中，能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▉题型3 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 19．用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 20．若不等式组无解，则m的值可能（　　） A．7 B．6 C．3 D．5 21．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1 22．若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是　 ． 23．若不等式组无解，则m的取值范围为 　 ． 24．若不等式组无解，则m的取值范围是 　 ． 25．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x，则a的取值范围是 　 ． 26．已知关于x的两个不等式①与②1﹣3x＞0．若两个不等式的解集相同，求a的值． ▉题型4 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 27．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 28．下面数轴上所表示的不等式正确的是（　　） A．x＞1 B．x≤4 C．1≤x＜4 D．1＜x≤4 29．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 30．已知点P（2x+6，x﹣4）在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章第1节 不等式及其性质 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集 ▉题型1 不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 1．下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：根据不等式的定义可得：①﹣2＜0，②2x﹣1＞0，④2x﹣1＜0，⑥﹣2≤2ab共计4个． 故选：B． 2．在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③． 故选：C． 3．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．0 【答案】D 【解答】解：A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；B是一元二次不等式；C是二元一次不等式．所以只有D正确，故选D． 4．下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x＝﹣4；⑥x+2＞x+1，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：①3＞0，属于不等式； ②4x+5＞0，属于不等式； ③x＜3，属于不等式； ④x2+x属于代数式，不合题意； ⑤x＝﹣4属于方程，不合题意； ⑥x+2＞x+1，属于不等式． 故选：B． 5．某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（　　） 用法用量：口服，每天30〜60mg，分2〜3次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A．x＝15，y＝30 B．x＝10，y＝20 C．x＝15，y＝20 D．x＝10，y＝30 【答案】D 【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量为15﹣30mg之间， 若每天服用3次，则所需剂量为10﹣20mg之间， 所以，一次服用这种药的剂量为10﹣30mg之间， 所以x＝10，y＝30． 故选：D． 6．下列各式中，不是不等式的是（　　） A．x≥3 B．x＜﹣5 C．x＝﹣1 D．x≠﹣3 【答案】C 【解答】解：A、x≥3，是不等式，故A不符合题意； B、x＜﹣5，是不等式，故B不符合题意； C、x＝﹣1，是等式，故C符合题意； D、x≠﹣3，是不等式，故D不符合题意； 故选：C． 7．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（　　） A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8 【答案】A 【解答】解：依题意得：|x|＜8 ∴﹣8＜x＜8 故选：A． 8．老师在黑板上写了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤xy＝0；⑥x+2y≤0．你认为其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个． 故选：C． 9．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：不等式有：①3＞0，②4x+y＜2，⑤x+2≤3． 故选：B． 10．根据下列数量关系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是 　4x≤3　 ． 【答案】4x≤3． 【解答】解：根据题意可得，4x≤3． 故答案为：4x≤3． 11．用适当的符号表示下列关系：a是正数 a＞0　 ． 【答案】a＞0． 【解答】解：a是正数可表示为a＞0， 故答案为：a＞0． 12．（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则： ①“|a|＜2”可理解为 　数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2　 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|＞2”成立，列举的a的值为 　3　 和 　﹣3　 ． 我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＜m”“|x|＞m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由如图可以得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1， 绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3． 则：①不等式|x|≥4的解集是 x≥4或x≤﹣4；　 ． ②不等式|x|＜2的解集是 　﹣4＜x＜4　 ． （3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并画图说明． 【答案】（1）①数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2； ②3，﹣3； （2）①x≥4或x≤﹣4； ②﹣4＜x＜4； （3）x＜﹣1或x＞3．图见解析． 【解答】解：（1）①由题意可知|a|＜2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2； ②使不等式|a|＞2成立的整数a有3，﹣3， 故答案为：3，﹣3； （2）①根据题意可求x≥4或x≤﹣4， ∴x≥4或x≤﹣4， 故答案为：x≥4或x≤﹣4； ②根据题意可求|x|＜2的解集为﹣4＜x＜4， 故答案为﹣4＜x＜4； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集就是数轴上表示数x的点，到表示﹣1与3的点的距离之和大于4的所有x的值， 如图可知，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集是x＜﹣1或x＞3． ▉题型2 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 13．若x＞y，则下列式子错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．﹣2x＜﹣2y D． 【答案】B 【解答】解：若x＞y， 则有x﹣3＞y﹣3；3﹣x＜3﹣y；﹣2x＜﹣2y；， 故选：B． 14．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1 【答案】B 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣b＞0， 故A不符合题意； ∵a＞b， ∴， 故B符合题意； 当c＝0时，ac2＝bc2， 故C不符合题意； ∵a＞b， ∴2a＞2b， ∴2a﹣1＞2b﹣1， 故D不符合题意， 故选：B． 15．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B． C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b 【答案】D 【解答】解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误； C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确； 故选：D． 16．下列不等式的变形正确的是（　　） A．若a＞b，则c+a＜c+b B．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b 【答案】D 【解答】解：A．∵a＞b， ∴c+a＞c+b，故本选项不符合题意； B．当c＜0时，由a＜b能推出ac＞bc，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，由a＜b能推出ac2＝bc2，故本选项不符合题意； D．∵ac2＜bc2， ∴不等式的两边都除以c2，得a＜b，故本选项符合题意； 故选：D． 17．如果a＜b，那么下列结论中一定成立的是（　　） A．﹣1+a＞1+b B．2﹣a＞2﹣b C．ab＜b2 D．a2＜b2 【答案】B 【解答】解：根据a＜b得到a﹣b＜0，结合四个选项，利用作差法逐项验证如下： A、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∵（﹣1+a）﹣（1+b）＝a﹣b﹣2＜0， ∴﹣1+a＜1+b，错误，不符合题意； B、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∵（2﹣b）﹣（2﹣a）＝a﹣b＜0， ∴2﹣a＞2﹣b，正确，符合题意； C、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∵ab﹣b2＝b（a﹣b），b的正负无法确定， ∴ab＜b2不一定成立，错误，不符合题意； D、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b的正负无法确定， ∴a2＜b2不一定成立，错误，不符合题意； 故选：B． 18．下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜﹣mb；（3）ac2＞bc2；（4）﹣ac2≤﹣bc2中，能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）因为ac＞bc，所以c≠0，但c大于0还是小于0，不能确定，即不能确定c为正数，故不能得出a＞b，故错误； （2）因为﹣ma＜﹣mb，所以m≠0，但m大于0还是小于0，不能确定，即：不能确定出﹣m为负数，故不能得出a＞b，故错误； （3）因为ac2＞bc2，所以c2≠0，即：c2必为正数，故可得出a＞b，故正确； （4）﹣ac2≤﹣bc2中，不能得出﹣c2为负数，故不能得出a＞b，故错误； 综上可得（3）正确． 故选：A． ▉题型3 不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 19．用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【答案】B 【解答】解：由数轴可知，表示的不等式的解集是x≥2， 故选：B． 20．若不等式组无解，则m的值可能（　　） A．7 B．6 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：， 由①得x≥2， 由②得x， ∵不等式组无解， ∴2， ∴m≤4， 故选：C． 21．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1 【答案】C 【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2， 解不等式①得x＞2， 解不等式②得x＞m+1， 不等式组的解集是x＞2， ∴不等式，①解集是不等式组的解集， ∴m+1≤2， m≤1， 故选：C． 22．若（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是a＞1　 ． 【答案】a＞1 【解答】解：由（1﹣a）x≤a﹣1的解集为x≥﹣1，得 1﹣a＜0． 解得a＞1， 故答案为：a＞1． 23．若不等式组无解，则m的取值范围为 m≤2　 ． 【答案】m≤2． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2． 故答案为：m≤2． 24．若不等式组无解，则m的取值范围是 m≤8　 ． 【答案】m≤8． 【解答】解：， 解不等式得x＞8， ∵不等式组无解， ∴m≤8． 故答案为：m≤8． 25．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x，则a的取值范围是 a＜3　 ． 【答案】a＜3 【解答】解：∵（a﹣3）x＞1的解集为x， ∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3． 故答案为：a＜3． 26．已知关于x的两个不等式①与②1﹣3x＞0．若两个不等式的解集相同，求a的值． 【答案】a＝1． 【解答】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 依题意， 解得：a＝1． ▉题型4 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 27．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限， ∴， 解得m＞3， 将解集表示在数轴上为： ， 故选：A． 28．下面数轴上所表示的不等式正确的是（　　） A．x＞1 B．x≤4 C．1≤x＜4 D．1＜x≤4 【答案】D 【解答】解：如图，数轴上所表示的不等式是1＜x≤4． 故选：D． 29．不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示， 故选：D． 30．已知点P（2x+6，x﹣4）在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵点P（2x+6，x﹣4）在第四象限， ∴， 解得﹣3＜x＜4， 解集在数轴上的表示为： 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $