第2章 1 不等式及其基本性质-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∴.∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C =2×39°=78°. 9.解：(1)∠B=∠D.理由如下： .∠BAD=∠CAE,,∴.∠BAD-∠CAD=∠CAE -∠CAD, ∴.∠BAC=∠DAE. 又.AB=AD,AC=AE, .△ACB≌△AED(SAS),∴∠B=∠D. (2)80°【解析】(2)：点C在线段AB的垂直平分 线上， .AC=BC,.∠BAC=∠B=36°， .∠BAF=∠BAC+∠CAF=36°+44°=80°， ∠BFA=180°-∠BAF-∠B=180°-80°-36 =64°， ∠DFG=∠BFA=64°. 由(1)知，∠D=∠B=36°， .∠DGF=180°-∠DFG-∠D=180°-64°-36 =80° 10.C 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 1.C2.D 3.1)x>0(2)2x<4x(3)x+2≥y-4 (4)3x-7≤y2 4.A5.A 6.解：(1)根据题意，得500x十80×(10一x)≥3600. (2)根据题意，得10x+4×(10一x)≤65. 第2课时不等式的解集 1.A2.(1)1,2(2)-3,-2,-1 3.x≤1（答案不唯一） 4.解：这句话不正确.理由：一个含有未知数的不等式 的所有解，组成这个不等式的解集.不等式x+2<5 的解集是x<3,而x<0只包含不等式x十2<5的部 分解.例如，x=2是不等式x十2<5的解，但并不在x <0的范围内，.这句话不正确. 5.D 6.A【解析】由x△≥2，得3x-k≥2，则x≥十2 3 由数轴，得不等式的解集为x≥一1， :十2=一1，解得=一5 3 7.(1)3(2)3≤a<4 8.6075【解析】根据题意，得m=3,n=2025,∴.mn的 值为6075， 9.解：(1)，a⊕b=a·(a-b)-1, .(-1)①(-2)=-1×(-1+2)-1=-1×1-1= -2. (2),a①b=a·(a-b)-1, ∴.(-1)⊕x=-1X(-1-x)-1=x. (-1)①x的值大于-2， ∴x>-2. 如图. 321012 第3课时不等式的基本性质 1.C2.A 3.(1)<(2)>(3)<(4)≥ 4.A5.错误6.D 7.B【解析】由左图可知，■+■>●十■，得■>●： 由右图可知，●十●十■=●十▲，得●十■=▲，即 ▲>■.故这三种物体按质量从重到轻的顺序排列应 为▲>■>●. 8.<【解析】由图可知，b>c, ∴.-b<-c,.a-b<a-c. 9.解：，a,b,c为直角三角形的三边，c为斜边， ∴.a2+b2=c2,a+b>c. c2+2(c-a)-(a2+b2+2b)=c2+2c-2a-a2- b2-2b=(c2-a2-b2)+2(c-a-b)=2(c-a-b) <0, ∴.c2+2(c-a)<a2+b2+2b. 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.A2.2 3.C【解析】将x=2代入不等式，得2×3一a一3<0， 解得a>3,,∴.a可取的最小正整数为4. 4.1,2,3,4【解析】去分母，得-3x十5>-10，移项、合 并同类项，得-3x>-15,系数化为1，得x<5,.该 不等式的正整数解为1,2,3,4. 5.解：(1)去括号，得2x十4≥3x, 移项、合并同类项，得一x≥一4， 系数化为1，得x≤4. (2)去括号，得3.x+4<5.x+10, 移项、合并同类项，得-2x<6, 系数化为1，得x>一3. (3)去括号，得3x-6≤4x-2, 移项、合并同类项，得一x≤4， 系数化为1，得x≥-4. (4)去分母，得2x+1<3x一3， 移项、合并同类项，得一x<一4， 系数化为1，得x>4. 6解3< 去分母，得3(3x-1)≤2(2x+1), 下册参考答案第二章不等 1不等式及 第1课时 要点提示 不等式的概念：一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥ 是不等式。 之O1固基础之 知识点1不等式的概念 1.(2025吉安永丰月考)下列式子：①5>0； ®2-11<0，③x=-4:④-2x2+ 3 2x ⑤x≠一3；⑥2x+11≤x十2.其中是不等式 的有 A.2个 B.3个C.4个D.5个 知识点2根据数量关系列不等式 2.y减2的差不大于0，用不等式表示为( A.y-2>0 B.y-2<0 C.y-2≥0 D.y-2≤0 3.(教材变式)用适当的符号表示下列关系： (1)x2是正数： (2)x的一半小于x的4倍： (3)x与2的和不小于y与4的差： (4)x的3倍与7的差不大于y的平方： 知识点3实际问题中的不等关系 4.小霞原有存款52元，小明原有存款70元. 从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小 明每月存12元零花钱.设经过n个月后小 霞的存款超过小明，可列不等式为() A.52+15n>70+12n B.52+15n70+12n 式与不等式组 其基本性质 不等关系 )连接的式子叫作不等式：用符号“≠”连接的式子也 C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n 02提能力之 5.学校组织同学们春游，租用45座和30座两 种型号的客车.若租用45座客车x辆，租用 30座客车y辆，则不等式“45.x+30y≥500” 表示的实际意义是 A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人 6.(教材变式)用甲、乙两种原料配制成某种饮 料，已知这两种原料的维生素C的含量及购 买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg) 500 80 原料价格/八元/kg) 10 4 (1)现配制这种饮料10kg,要求至少含有 3600单位的维生素C,试写出所需甲种原 料的质量x(单位：kg)应满足的不等式. (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费 用不超过65元，试写出x应满足的另一个 不等式 下册第二章 第2课时 不等式的解集 要点提示 不等式的解：在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解 不等式的解集和解不等式： ()不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.(2)解不等式：求不等式解集的 过程叫作解不等式。 01 固基础 02提能力 知识点不等式的解与解集 5.若一个不等式的正整数解只有1,2，则该不 1.下列数中，能使不等式5x一1<6成立的x 等式的解集在数轴上的表示可能是( ) 的值为 ■ ( -10123 0123 A.1 B.2 C.3 D.4 A B 2.(教材变式)请写出满足下列条件的解： -10123 -10123 ()x≤的正整数解有 C D 6.在实数范围内规定新运算。 1 -2-101 (2)x>- 3的负整数解有 “▲”，其规则：a▲b=3a一 第6题图 b.已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数 3.关于x的不等式的解集在数轴上的表示如 轴上表示如图所示，则k的值是 图所示，则该不等式可能是 A.-5B.-1 C.1 D.5 -5-4-3-2-102345 7.已知不等式x≤a的正整数解为1,2,3. 第3题图 (1)当a为整数时，a的值为 》易错点 对不等式的解集概念理解 (2)当a为实数时，a的取值范围为 不清 4.“因为满足x<0的每一个数都是x十2 8.x>2的最小整数解是m,y≤2025的最大 <5的解，所以不等式x+2<5的解集 整数解是n,则mn的值为 就是x<0.”这句话是否正确？请说明 9.定义新运算：对于任意实数a,b,都有a①b =a·(a-b)-1.比如：2①5=2×(2-5)- 理由。 1=-7 (1)求(-1)①(-2)的值. (2)若（一1）①x的值大于一2，求x的取值 范围，并在数轴上表示出来 数学八年级BS版 第3课时 不等式的基本性质 要点提示 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的其他性质：(1)对称性（互逆性）.若a>b,则b<a;(2)传递性.若a>b,b>c,则a>c. O1固基础之 02提能力之… 知识点1不等式的基本性质 6.(2025抚州临川区月考)若x>y,且(m一2)x 1.已知a<b,则下列各式中，错误的是( >(m一2)y,则m的值可以是 ( A.a+4<b+4 B.a-4<b-4 A.0 B.1 C.2 D.3 C.-4a<-4b D号 7.推理能力设▲、●、■表示三种不同的物 体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么 2.若x<y,且a.x<ay,则 ( ▲、●、■这三种物体按质量从重到轻的顺 A.a>0 B.a<0 序排列应为 C.a>1 D.a<1 3.填空（填“>”“<”“≥”或“≤”）： 第7题图 (1)若m>n,则-2m -2n. A.▲>●>■ B.▲>■>● (2)若x<y,则3-5x 3-5y. C.■>●>▲ D.●>▲>■ (3)若-a<-b,则-2a+9 -2b 8.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如 +9. 图所示，则a一b a一c(填“>” (4)若a>b,且c为实数，则ac2 “<”或“=”) be. 06 知识点2将不等式化为“x>a”或“x<a”的 第8题图 形式 9.已知a,b,c为直角三角形的三边，c为斜 4.若一3x>1,两边都除以一3，得 边，比较c2+2(c一a)和a2+b2+2b的 A.x<-司 大小 B.x>- 3 C.x<-3 D.x>-3 ◆易错点未对a的取值范围进行分类 讨论 5.(教材变式)小明说：“a一定比一3a 大.”小明的说法 (填“正 确”或“错误”) 下册第二章