1.5 角平分线 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“角平分线”核心知识点，承接角的基本概念，为后续三角形角平分线等知识铺垫，通过定义阐释、性质推导（如∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB）及度量、折叠、尺规作图等平分方法构建学习支架，配套基础选择、综合探究等多样化练习题。 该资料特色在于融合数学核心素养，以轮船方位角等情境题培养几何直观与抽象能力，设计线段中点与角平分线类比探究题（第15题）发展模型意识，多样化题型训练推理能力。课中助力分层教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

第1章第5节 角平分线 题型1 角平分线的定义 ▉题型1 角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 1．下列说法中正确的是（　　） A．单项式xy2z的系数为1，次数是4 B．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点 C．若|a|＝﹣a，则a一定是负数 D．若，则射线OC是∠AOB的平分线 2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，则∠BOC的大小是（　　） A．60° B．40° C．35° D．30° 3．如图，一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，已知BM平分∠ABC，则∠ABC的度数是（　　） A．80° B．60° C．100° D．120° 4．下列说法正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 5．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，∠AOD＝75°，∠COD＝30°，若OB平分∠AOC，则∠AOB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．3.5° 7．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．76° B．74° C．64° D．52° 8．下列说法正确的有（　　） ①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2是三次四项式； ②数轴上表示+a的点一定在原点的右边； ③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离； ④如果线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点； ⑤38°15′＝38.25°； ⑥若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分∠ACD，CN平分∠BCE，则∠MCN的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 10．如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．130° D．135° 11．下列说法：其中正确的说法是（　　） ①单项式的次数是6； ②如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点； ③已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线； ④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角； ⑤2时40分，时针与分针的夹角为160°． A．①② B．②③ C．④⑤ D．③⑤ 12．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠EOC＝90°．下列结论错误的是（　　） A．若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝132°20' B．若∠BOC＝47°40'，则∠AOE＝42°20' C．若∠EOD＝25°则∠AOE＝50° D．若∠EOD＝25°，则∠BOC＝50° 13．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 　　 ． 14．若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝　　 °． 15．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴． （1）如图1，已知线段AB＝6，C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点． ①若AC＝2，则MN的长度为　　 ； ②若AC＝b，则MN的长度为　　 ； “创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下： （2）如图2，已知∠AOB＝70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON． ①若∠AOC＝20°，则∠MON的度数为　　 ； ②若∠AOC＝m°，则∠MON＝　　 ． “领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题： （3）①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝a，AC＝b，求MN的长度； ②若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON，求∠MON的度数？ 16．如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF． （1）若∠BOE＝37°，则∠BOD＝　　 °． （2）若∠BOE＝50°， ①求∠AOC的度数； ②求∠EOF的度数． 17．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 18．综合与探究 问题情境：如图，将一把含30°角的直角三角板和一把含45°角的直角三角板的直角顶点叠放在点C处，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠CDE＝∠CED＝45°．两三角板可绕点C旋转． 计算与观察： （1）①若∠BCD＝120°，则∠ACE的度数为　　 ； ②若∠ACE＝30°，则∠BCD的度数为　　 ． 猜想与证明： （2）猜想∠BCD与∠ACE有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线CM平分∠BCD，且∠BCD：∠ACE＝4：1，直接写出∠ACM的度数． 19．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为　　 ； （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章第5节 角平分线 题型1 角平分线的定义 ▉题型1 角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 1．下列说法中正确的是（　　） A．单项式xy2z的系数为1，次数是4 B．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点 C．若|a|＝﹣a，则a一定是负数 D．若，则射线OC是∠AOB的平分线 【答案】A 【解答】解：A．单项式xy2z的系数为1，次数是4，该选项正确，符合题意； B．如图：若AP＝BP，则点不是线段AB的中点，故该选项错误，不符合题意； C．若|a|＝﹣a，则a≤0，a为0或负数，故该选项错误，不符合题意； D．如图，若∠AOC∠AOB， 则射线OC不是∠AOB的平分线，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，则∠BOC的大小是（　　） A．60° B．40° C．35° D．30° 【答案】D 【解答】解：∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC∠AOB， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC60°＝30°． 故选：D． 3．如图，一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，已知BM平分∠ABC，则∠ABC的度数是（　　） A．80° B．60° C．100° D．120° 【答案】A 【解答】解：一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上， ∵小岛A在B处的北偏西50°， ∴∠ABM＝40°， 又∵BM平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABM＝80°； 故选：A． 4．下列说法正确的是（　　） A．两点之间直线最短 B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D．直线l经过点A，那么点A在直线l上 【答案】D 【解答】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误． （2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误． （3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误． （4）直线过A点，则A一定在直线上． 综上可得只有D正确． 故选：D． 5．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠COD∠COE，∠BOC∠AOC， 又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°， ∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°． 故选：C． 6．如图，∠AOD＝75°，∠COD＝30°，若OB平分∠AOC，则∠AOB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．3.5° 【答案】A 【解答】解：∵∠COD＝30°，∠AOD＝75°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝45°， ∵OB平分∠AOC， ∴， 故选：A． 7．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．76° B．74° C．64° D．52° 【答案】A 【解答】解：∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°， ∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°． 故选：A． 8．下列说法正确的有（　　） ①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2是三次四项式； ②数轴上表示+a的点一定在原点的右边； ③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离； ④如果线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点； ⑤38°15′＝38.25°； ⑥若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2中最高次项2a2b2的次数为4，则该多项式是四次四项式，①错误，不符合题意； ②当a＜0时，+a表示负数，点在原点左边，②错误，不符合题意； ③两点间的距离是线段的长度，不是线段本身，③错误，不符合题意； ④当A，B，C三点不共线时，即使AB＝BC，点B也不是线段AC的中点，④错误，不符合题意； ⑤15′＝（15÷60）°＝0.25°，则38°15′＝38.25°，⑤正确，符合题意； ⑥若OC不在∠AOB内部，则即使∠AOB＝2∠AOC，OC也不是角平分线，⑥错误，不符合题意； 故选：B． 9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分∠ACD，CN平分∠BCE，则∠MCN的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【答案】C 【解答】解：设∠ACM＝α， ∵CM平分∠ACD， ∴∠ACD＝2α， ∵∠ECD＝90°，∠BCA＝30°， ∴∠BCE＝∠ECD+∠ACD+∠BCA＝90°+2α+30°＝120°+2α， ∵CN平分∠BCE， ∴∠BCN＝∠BCE＝（120°+2α）＝60°+α， ∴∠MCN＝∠BCN﹣∠ACM﹣∠BCA＝60°+α﹣α﹣30°＝30°． 故选：C． 10．如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．130° D．135° 【答案】B 【解答】解：由已知条件可知：∠EOB+∠BOD＝60°， ∵OD平分∠AOB，OE也正好平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠EOB，∠AOB＝2∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB， ∴∠AOC＝2∠EOB+2∠BOD＝2（∠EOB+∠BOD）＝2×60°＝120°， 故选：B． 11．下列说法：其中正确的说法是（　　） ①单项式的次数是6； ②如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点； ③已知∠AOB为锐角，如果∠AOP∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线； ④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角； ⑤2时40分，时针与分针的夹角为160°． A．①② B．②③ C．④⑤ D．③⑤ 【答案】C 【解答】解：单项式的次数是2+3＝5，故①不符合题意； 如果A，B，C在一条直线上，AC＝BC，那么C是线段AB的中点，故②不符合题意； ∵∠AOB为锐角，∴，且OP在∠AOB的内部， ∴射线OP是∠AOB的平分线，故③不符合题意； 从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：1+2+3+4+5+6＝21（个）锐角，故④符合题意； 2时4（0分），时针与分针的夹角为：，故⑤符合题意； 综上所述，正确的说法是④⑤． 故选：C． 12．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠EOC＝90°．下列结论错误的是（　　） A．若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝132°20' B．若∠BOC＝47°40'，则∠AOE＝42°20' C．若∠EOD＝25°则∠AOE＝50° D．若∠EOD＝25°，则∠BOC＝50° 【答案】C 【解答】解：若∠BOC＝47°40'， 则∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣47°40'＝132°20'， 故A选项正确，不符合题意； 若∠BOC＝47°40'， ∴∠AOC＝132°20'， ∵∠EOC＝90°， 则∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝42°20'， 故B选项正确，不符合题意； 若∠EOD＝25°， ∵∠EOC＝90°， ∴∠COD＝∠EOC﹣∠EOD＝65°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠COD＝130°， ∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝130°﹣90°＝40°， 故C选项错误，符合题意； 若∠EOD＝25°， ∴∠COD＝90°﹣∠EOD＝65°， ∴∠AOC＝2∠COD＝130°， 则∠BOC＝180°﹣∠AOC＝50°， 故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 13．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 正确的是 　①②③　 ． 【答案】①②③ 【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个， 故①正确． 在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m， ∵∠AOD＝5∠COB， ∴2α+2β+m＝5m， ∴α+β＝2m． ∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m， （∠MOC+∠BON）（∠2+∠4）（α+β）＝3m， ∴， 故②正确． 在③中， ∵M为AB的中点，N为CD的中点， ∴AMAB，NDCD， ∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD（AB+CD）＝AD（AC+CB+CD）＝AD（AD+BC）（AD﹣BC）， 故③正确． 在④中， ∵MC＝CB， ∴设MC＝CB＝x， 设BN＝y， ∴MN＝ND＝2x+y， ∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y， 2CN＝2（x+y）＝2x+2y， ∴CD≠2CN， 故④错误． 综上所述，正确的①②③， 故答案为：①②③． 14．若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝　60　 °． 【答案】60． 【解答】解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°， ∴， 故答案为：60． 15．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴． （1）如图1，已知线段AB＝6，C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点． ①若AC＝2，则MN的长度为　3　 ； ②若AC＝b，则MN的长度为　3　 ； “创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下： （2）如图2，已知∠AOB＝70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON． ①若∠AOC＝20°，则∠MON的度数为　35°　 ； ②若∠AOC＝m°，则∠MON＝　35°　 ． “领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题： （3）①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝a，AC＝b，求MN的长度； ②若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON，求∠MON的度数？ 【答案】（1）①3；②3； （2）①35°；②35°； （3）①MN的长度为；②∠MON的度数为． 【解答】解：（1）①∵AB＝6，AC＝2， ∴BC＝AB﹣AC＝6﹣2＝4． 由条件可知，， ∴MN＝MC+CN＝1+2＝3； 故答案为：3． ②∵AC＝b，AB＝6， ∴BC＝AB﹣AC＝6﹣b． 由条件可知，， ∴； 故答案为：3． （2）①∵∠AOB＝70°，∠AOC＝20°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣20°＝50°． 由条件可知，， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°； 故答案为：35°； ②∵∠AOC＝m°，∠AOB＝70°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝（70﹣m）°． 由条件可知，， ∴； 故答案为：35°； （3）①分三种情况讨论： 如图1，当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝a﹣b， 由条件可知，， ∴； 如图2，当点C在线段AB的延长线上时，BC＝AC﹣AB＝b﹣a， 由条件可知，， ∴； 如图3，当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC＝a+b， 由条件可知，， ∴； 综上，MN的长度为． ②如图，∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且OC在∠AOB外部， ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝（m+n）°． 由条件可知，， ∴， 故∠MON的度数为． 16．如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF． （1）若∠BOE＝37°，则∠BOD＝　53　 °． （2）若∠BOE＝50°， ①求∠AOC的度数； ②求∠EOF的度数． 【答案】（1）53； （2）①40°； ②130°． 【解答】解：（1）∵∠BOE＝37°，∠DOE＝180°﹣∠COE＝90°， ∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝53°； 故答案为：53； （2）①∵∠BOE＝50°，∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°； ②∵OD平分∠BOF， ∴∠BOF＝2∠BOD＝80°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝130°． 17．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°， ∴∠AOC120°＝40°． 又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝40°÷2＝20°； ∠AON＝120°÷2＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°． （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝90°÷3＝30°； ∠BOC＝90°﹣30°＝60°． ∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°． 又∵OM平分∠COD， ∴∠COMCOD30°＝15°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°． （3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α． ∵∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC， ∴2∠AOC＝∠BOC． ∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ， ∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α， ∴2∠AOP＝∠COQ． 18．综合与探究 问题情境：如图，将一把含30°角的直角三角板和一把含45°角的直角三角板的直角顶点叠放在点C处，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠CDE＝∠CED＝45°．两三角板可绕点C旋转． 计算与观察： （1）①若∠BCD＝120°，则∠ACE的度数为　60°　 ； ②若∠ACE＝30°，则∠BCD的度数为　150°　 ． 猜想与证明： （2）猜想∠BCD与∠ACE有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线CM平分∠BCD，且∠BCD：∠ACE＝4：1，直接写出∠ACM的度数． 【答案】（1）①60°； ②150°； （2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE＝180°； （3）18°． 【解答】解：（1）①∵∠BCD＝120°，∠BCA＝∠ECD＝90°， ∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝120°﹣90°＝30°， ∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60°； ②∵∠ACE＝30°，∠BCA＝∠ECD＝90°， ∴∠DCA＝∠ECD﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝90°+60°＝150°； 故答案为：150°； （2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下： ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE＝180°； （3）∵∠BCD：∠ACE＝4：1， 设∠ACE＝x°，则∠BCD＝4x°， 由（2）知x+4x＝180， ∴x＝36， ∠BCD＝4x＝144°， ∵射线CM平分∠BCD， ∴， ∴∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝90°﹣72°＝18°． 19．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为　15°　 ； （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：　∠AOC＝360°﹣2∠DOE ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°， 又∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD∠BOC＝90°150°＝15°； （2）∠AOC＝2∠DOE； 理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE， 则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE）， 所以得：∠AOC＝2∠DOE； （3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE； 理由：∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝2∠COE， 则得∠AOC＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（∠DOE﹣90°）， 所以得：∠AOC＝360°﹣2∠DOE； 故答案为：（1）15°；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE． 学科网（北京）股份有限公司 $