1.4线段的垂直平分线 同步复习讲义2025-2026学年八年级下数学北师大版

本初中数学讲义聚焦线段垂直平分线，系统梳理其定义、性质（垂直平分线段、上点到两端距离相等、三角形外心）及基本作图，通过例题应用构建从理论到实践的学习支架。 资料以情境化例题（如居民小区超市选址）培养几何直观，规范作图题提升推理能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习，落实数学眼光与思维的核心素养。

第1章第4节 线段的垂直平分线 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作图—基本作图 ▉题型1 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　） A．70° B．75° C．80° D．50° 2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．AC、BC两边高线的交点处 B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处 D．∠A、∠B两内角平分线的交点处 3．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 4．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，△CBD的周长为14 cm，则△ACB的周长为（　　） A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm 7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 　　 ． 8．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为　　 ． 9．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 　　 ． 10．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ 　　 °． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 　　 ． 12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）若△DAF的周长为20，求BC的长． 14．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． ▉题型2 作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 16．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 17．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　） A．以C为圆心，以CD长为半径的弧 B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧 C．以D为圆心，以CD长为半径的弧 D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧 18．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 19．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 20．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形． 21．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2． （1）用尺规作∠A的平分线AD． （2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长． 22．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为： （1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B； （2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D； （3）连接AD、BC相交于点E； （4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线． 你认为他这种作法对吗？试说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章第4节 线段的垂直平分线 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作图—基本作图 ▉题型1 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　） A．70° B．75° C．80° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝25°， ∵∠B＝60°，∠C＝25°， ∴∠BAC＝95°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°， 故选：A． 2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．AC、BC两边高线的交点处 B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处 D．∠A、∠B两内角平分线的交点处 【答案】B 【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上， 故选：B． 3．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　） A．105° B．100° C．110° D．140° 【答案】C 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°， ∵∠DAE＝40°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE， ∴∠BAD+∠EAC＝70°， ∴∠BAC＝110°， 故选：C． 4．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD，DE＝2，EC，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AD，AE， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴AD＝BD，AE＝EC， ∵DE＝2， ∴， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠ADE＝90°， 由勾股定理可得：AC， 故选：D． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：如图，∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠2＝∠C， ∴BE＝CE， ∵AC﹣CE＝AE， ∴AC﹣BE＝AE，故①正确； ∵BE＝CE， ∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确； ∵∠1＝∠2＝∠C， ∴∠C＝∠1＝30°， ∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠C，故③正确； 在Rt△BAC中，∠C＝30°， ∴BC＝2AB， 在Rt△BDA中，∠1＝30°， ∴AB＝2AD， ∴BC＝4AD，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D． 6．如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，△CBD的周长为14 cm，则△ACB的周长为（　　） A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝14cm， ∵BC＝6cm， ∴AC＝14﹣6＝8（cm）， ∵AB＝AC， ∴△ACB的周长为：AB+AC+BC＝8+8+6＝22（cm）， 故选：A． 7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 　31°　 ． 【答案】31° 【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵PE是线段BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB， ∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°＝180°， 解得，∠ABP＝31°， 故答案为：31°． 8．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为　130°　 ． 【答案】130° 【解答】解：由作图可知：DE是线段BC的垂直平分线，BF平分∠ABC， 则DB＝DC，∠ABF＝∠CBF， ∴∠DCB＝∠CBF， ∴∠DCB＝∠CBF＝∠ABD＝25°， ∴∠BDC＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故答案为：130°． 9．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 　150°　 ． 【答案】150° 【解答】解：连接AP， ∵∠A＝75°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝105°， ∵AB，AC的垂直平分线相交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝75°， ∴∠PBC+∠PCB＝105°﹣75°＝30°， ∴∠BPC＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150°． 10．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ 　40　 °． 【答案】40． 【解答】解：∵DE垂直平分AB，MN垂直平分AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C， ∴∠BAE+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BAE+∠CAE+∠EAN＝110°， ∴∠BAC+∠EAN＝110°， ∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°． 故答案为：40． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 　20°　 ． 【答案】20° 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝80°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°． 故答案为：20°． 12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）若△DAF的周长为20，求BC的长． 【答案】（1）∠DAF＝20°； （2）BC＝20． 【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°； ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝30°， 同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°； （2）∵△DAF的周长为20， ∴DA+DF+FA＝20， 由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC， ∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20． 14．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE＝CE，OE＝OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD＝OC， ∴△DOC是等腰三角形， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线； （2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝∠BOE＝30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°， ∴∠EDF＝30°， ∴DE＝2EF， ∴OE＝4EF． 15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）△AEF是等边三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ▉题型2 作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 16．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【答案】D 【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 故选：D． 17．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　） A．以C为圆心，以CD长为半径的弧 B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧 C．以D为圆心，以CD长为半径的弧 D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧 【答案】B 【解答】解：由作图可知，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧． 故选：B． 18．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 【答案】D 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE， ∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AC＝AE， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠CAB＝90°﹣∠B， ∴∠EDB＝∠CAB， ∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB， ∴∠DAB不一定等于∠B， ∴∠DAC不一定等于∠B， 故选：D． 19．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线， ∵∠MON＝60°， ∴∠AOC＝30°， ∵AC＝AO， ∴∠AOC＝∠ACO＝30°． 故选：B． 20．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形． 【答案】图形见解答． 【解答】解：如图，△ABC为所作． 21．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2． （1）用尺规作∠A的平分线AD． （2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，AD为所求； （2）作DE⊥AC于E，如图， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2． ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠C＝45°， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CDDE， ∵AD为角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC， ∴BD＝BE， 设BD＝x，则CDx， ∴xx＝2， ∴x＝2（1）＝22， 即BD的长为22． 22．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为： （1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B； （2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D； （3）连接AD、BC相交于点E； （4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线． 你认为他这种作法对吗？试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：正确， 理由：由题意可得；AO＝BO，CO＝DO， 在△OBC和△OAD中 ， ∴△OBC≌△OAD（SAS）， ∴∠OCB＝∠ODA，∠OAD＝∠OBC， ∴∠CAE＝∠DBE， 在△CAE和△DBE中 ， ∴△CAE≌△DBE（ASA）， ∴CE＝ED， 在△OOE和△DOE中 ， ∴△COE≌△DOE（SSS）， ∴∠CAE＝∠DOE， 即OE为∠MON的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $