1.3直角三角形 同步复习讲义2025-2026学年八年级下数学北师大版

本讲义聚焦直角三角形核心内容，以全等三角形性质为基础，系统梳理直角三角形的特殊性质（如勾股定理、斜边上中线等于斜边一半等），延伸至勾股定理证明（含赵爽弦图等经典方法）、基本作图（尺规作角平分线等）及命题与定理辨析，构建连贯的知识支架。 资料通过题型分类（6大题型）与梯度练习（选择、填空、解答），结合传统文化素材（赵爽弦图）培养几何直观与创新意识（数学眼光），通过推理证明与作图操作提升推理能力与空间观念（数学思维），助力教师课堂系统教学，也便于学生课后针对性练习，查漏补缺。

第1章第3节 直角三角形 题型1 全等三角形的性质 题型2 直角三角形的性质 题型3 勾股定理 题型4 勾股定理的证明 题型5 作图—基本作图 题型6 命题与定理 ▉题型1 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（　　） A．AC与DF是对应边 B．AC与DE是对应边 C．AC与EF是对应边 D．不能确定AC的对应边 2．如图，△ABC≌△DEF，图中和AF相等的线段（　　） A．线段BC B．线段AB C．线段CD D．线段DE 3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．75° B．65° C．40° D．30° 4．如图，已知△ADF≌△CBE，AD＝4，BE＝3，AF＝6，则△CBE的周长为 　　 ． 5．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数是 　　 ． 6．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝50°，则∠DEC的度数为 　　 ． 7．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　　 ． ▉题型2 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 9．将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．90° B．125° C．65° D．55° 11．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 12．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．140° 13．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 14．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角 C．∠1＝∠2 D．图中有3个直角三角形 15．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（　　） A．55° B．35° C．30° D．50° 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 17．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（　　） A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④ 19．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　） A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2 C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A 20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（　　） A．45° B．30° C．90° D．60° 21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝57°，则∠B＝（　　） A．57° B．43° C．33° D．47° 22．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACD，过点A作AD⊥AC交BC于D，若AB＝3，则CD的长为 　 ． 23．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　　 ． ▉题型3 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 24．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 25．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 26．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 27．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 28．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．514 B．8 C．16 D．64 29．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　　 ． 30．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　　 cm2． ▉题型4 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 31．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 32．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 33．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 34．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD，直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，若BN＝a，PN＝b，则用含a、b的式子表示的值是（　　） A． B． C． D． 35．小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若EF＝1，GH＝7，则正方形ABCD的周长为（　　） A．14 B．17 C．20 D．24 36．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 　　 ． ▉题型5 作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 37．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 38．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　） A．以C为圆心，以CD长为半径的弧 B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧 C．以D为圆心，以CD长为半径的弧 D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧 39．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若AC＝15，CD＝4，当DE最小时，△ADE的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 41．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形． ▉题型6 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 42．下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两条直线平行，同位角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 43．下列命题：（1）立方根等于本身的数是0和±1；（2）带根号的数都是无理数；（3）a一定有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的．其中是真命题的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 44．下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A．若a＝b，则|a|＝|b| B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 45．下列命题中，真命题是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么ac＝bc C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 46．下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．同旁内角互补 D．平行于同一直线的两条直线平行 47．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．有两边相等的三角形是等腰三角形 D．两个全等三角形的面积相等 48．下列命题中的真命题是（　　） A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 49．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则ab＞0 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若a＝b，则a2＝b2 50．下列三个定理中，存在逆定理的有（　　） ①有两个角相等的三角形是等腰三角形； ②全等三角形的对应角相等； ③同位角相等，两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 51．“等边对等角”的逆命题是 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章第3节 直角三角形 题型1 全等三角形的性质 题型2 直角三角形的性质 题型3 勾股定理 题型4 勾股定理的证明 题型5 作图—基本作图 题型6 命题与定理 ▉题型1 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（　　） A．AC与DF是对应边 B．AC与DE是对应边 C．AC与EF是对应边 D．不能确定AC的对应边 【答案】A 【解答】解：∵∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角， ∴∠C和∠F是对应角， ∴AC与DF是对应边， 故选A． 2．如图，△ABC≌△DEF，图中和AF相等的线段（　　） A．线段BC B．线段AB C．线段CD D．线段DE 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF， ∴AC+CF＝DF+CF， ∴AF＝CD， 即和AF相等的线段是CD， 故选：C． 3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（　　） A．75° B．65° C．40° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°， ∴∠D＝∠A＝75°， ∵∠DBC＝40°， ∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°， 故选：B． 4．如图，已知△ADF≌△CBE，AD＝4，BE＝3，AF＝6，则△CBE的周长为 　13　 ． 【答案】13 【解答】解：∵△ADF≌△CBE，AD＝4，BE＝3，AF＝6， ∴AD＝CB＝4，AF＝CE＝6， ∴△CBE的周长＝CB+BE+CE＝4+3+6＝13． 故答案为：13． 5．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数是 　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝25°， 故答案为：25°． 6．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝50°，则∠DEC的度数为 　65°　 ． 【答案】65°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝CB，∠ACB＝∠DCE，∠DEC＝∠B， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD＝50°， ∵CE＝CB， ∴∠B＝∠CEB（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DEC＝65°． 故答案为：65°． 7．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　100°　 ． 【答案】100° 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠ACB＝∠CED＝45°， ∵∠D＝35°， ∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°， 故答案为：100°． ▉题型2 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A＝50°， 故选：A． 9．将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解答】解：如图所示，∠B＝90°， 根据题意，∠1＝∠BED＝40°（对顶角相等）， 在△BDE中，∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2＝∠BDE＝50°， 所以∠2的度数是50°， 故选：C． 10．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．90° B．125° C．65° D．55° 【答案】D 【解答】解：90°﹣35°＝55°． 即另一个锐角的度数为55°． 故选：D． 11．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 12．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．140° 【答案】A 【解答】解：∵直角三角形的一个锐角等于40°， ∴它的另一个锐角的度数为：90°﹣40°＝50°， 故选：A． 13．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【解答】解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 14．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（　　） A．∠A＝∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角 C．∠1＝∠2 D．图中有3个直角三角形 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠1＝∠1+∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∵∠1+∠A＝∠A+∠B＝90°， ∴∠1和∠B都是∠A的余角， 直角有∠ACB、∠ADC、∠BDC共3个， ∠1与∠2只有△ABC是等腰直角三角形时相等， 综上所述，错误的结论是∠1＝∠2． 故选：C． 15．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（　　） A．55° B．35° C．30° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°， ∵CD是△ABC 的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°， 故选：B． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，则∠A的度数是（　　） A．60° B．30° C．50° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°． 故选：B． 17．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解答】解：①当∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC是直角三角形， 故本小题不符合题意； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°，故3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意； ⑤∵∠A＝∠B∠C， ∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是②④⑤共3个． 故选：C． 18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（　　） A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC＝90°， ∠BAD+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，故①正确； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°， ∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等）， ∴∠AEF＝∠AFE，故②正确； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 19．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　） A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2 C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， ∴△ACD∽△CBD∽△ABC． A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确； B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误； C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确； D、∵∠2＝∠A；故本选项正确． 故选：B． 20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（　　） A．45° B．30° C．90° D．60° 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝2∠B， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝2∠B＝60°， 故选：D． 21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝57°，则∠B＝（　　） A．57° B．43° C．33° D．47° 【答案】C 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝57°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣57°＝33°． 故选：C． 22．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACD，过点A作AD⊥AC交BC于D，若AB＝3，则CD的长为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设CD的中点E，连接AE，如图所示： ∵AD⊥AC， ∴AE是Rt△ACD斜边CD上的中线， ∴AE＝CE＝DE， ∴∠ACD＝∠EAC，CD＝2AE， ∴∠AEB＝∠ACD+∠EAC＝2∠ACD， ∵∠ABC＝2∠ACD， ∴∠ABC＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴CD＝2AE＝6． 故答案为：6． 23．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　40°　 ． 【答案】40° 【解答】解：∵∠FCD＝75°， ∴∠A+∠B＝75°， ∵∠A：∠B＝1：2， ∴∠A75°＝25°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CFD＝∠AFE＝65°， ∵∠FCD＝75°， ∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°． 故答案为：40° ▉题型3 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 24．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 25．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 【答案】A 【解答】解：A、S△ABC＝4×43×41×22×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； C、∵AB2＝20， ∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意； D、设点A到直线BC的距离为h， 则25×h， 解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 26．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C ∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24， ∴24﹣S正方形C＝6+10， ∴S正方形C＝8． 故选：C． 27．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 【答案】D 【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100， 故选：D． 28．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．514 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2＝225， ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2＝289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64， 则正方形QMNR的面积为64． 故选：D． 29．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　139　 ． 【答案】139 【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144， 所以AB＝5，AC＝12，BC13， 所以S阴影＝BC2132139． 故答案为：139． 30．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　2π　 cm2． 【答案】2π． 【解答】解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC2＝26﹣10＝16， ∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2π（cm2）， 故答案为：2π． ▉题型4 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 31．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：由题意得DH＝AE＝6， ∵AD＝10， ∴AH8， ∴EH＝AH﹣AE＝2， ∴小正方形的边长EF为2， 故选：D． 32．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 33．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 【答案】A 【解答】解：方法一：∵AE＝5，BE＝13， ∴AB， ∴小正方形的面积为：（）24＝194﹣130＝64， 由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍， ∴EF2的值是64×2＝128， 故选：A． 方法二：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13， ∴小正方形的边长为13﹣5＝8， ∴EF2＝82+82＝128， 故选：A． 34．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD，直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，若BN＝a，PN＝b，则用含a、b的式子表示的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：作AL∥BP，交FE的延长线于点L， ∴△ALM∽△NPM， ∴1， ∴AL＝AM＝BN＝a， ∵AL∥NP， ∴△AEL∽△BEP， ∴， 故选：C． 35．小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若EF＝1，GH＝7，则正方形ABCD的周长为（　　） A．14 B．17 C．20 D．24 【答案】C 【解答】解：设每个三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意可得，， 解得， ∴AB5， ∴正方形ABCD的周长为4AB＝4×5＝20， 故选：C． 36．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 　49　 ． 【答案】49． 【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴c＝13， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴a5， ∴小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴小正方形的面积＝49． 故答案诶：49． ▉题型5 作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 37．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【答案】D 【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 故选：D． 38．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（　　） A．以C为圆心，以CD长为半径的弧 B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧 C．以D为圆心，以CD长为半径的弧 D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧 【答案】B 【解答】解：由作图可知，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧． 故选：B． 39．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 【答案】D 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE， ∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AC＝AE， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠CAB＝90°﹣∠B， ∴∠EDB＝∠CAB， ∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB， ∴∠DAB不一定等于∠B， ∴∠DAC不一定等于∠B， 故选：D． 40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若AC＝15，CD＝4，当DE最小时，△ADE的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解答】解：∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短， ∴DE⊥AB， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝4， ∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝15， ∴△ADE的面积AE•DE15×4＝30， 故选：B． 41．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形． 【答案】图形见解答． 【解答】解：如图，△ABC为所作． ▉题型6 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 42．下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两条直线平行，同位角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【解答】解：A、逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立； B、逆命题为：绝对值相等的两个实数相等，不成立； C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立， 故选：A． 43．下列命题：（1）立方根等于本身的数是0和±1；（2）带根号的数都是无理数；（3）a一定有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的．其中是真命题的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：（1）立方根等于本身的数是0和±1，正确，是真命题，符合题意； （2）带根号的数不一定都是无理数如是有理数，错误，是假命题，不符合题意； （3）a是负数时，一定没有平方根，错误，是假命题，不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，是真命题，符合题意， 故选：C． 44．下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A．若a＝b，则|a|＝|b| B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 【答案】C 【解答】解：A、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b；错误，正确结论为a＝±b，故该选项为假命题． B、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，“如两直线平行，内错角相等”，故该选项为假命题； C、全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的两个是全等三角形，根据SSS可判断出该命题正确，故该选项为真命题； D、a＞0，b＞0，则a+b＞0的逆命题为：若a+b＞0，则a＞0，b＞0，错误，如当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝1＞0，a＞0，b＜0，故该选项为假命题； 故选：C． 45．下列命题中，真命题是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么ac＝bc C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 【答案】B 【解答】解：A、如果，那么a＝±b，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、如果a＝b，那么ac＝bc，正确，是真命题，符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC不是直角三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 46．下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．同旁内角互补 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【解答】解：A、两直线平行，同位角才相等，本选项说法是假命题； B、两直线平行，同旁内角互补，不是相等，本选项说法是假命题； C、两直线平行，同旁内角才互补，本选项说法是假命题； D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题； 故选：D． 47．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．有两边相等的三角形是等腰三角形 D．两个全等三角形的面积相等 【答案】D 【解答】解：A、在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，正确，故A不符合题意； B、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故B不符合题意； C、等腰三角形的两腰相等，正确，故C不符合题意； D、面积相等的三角形不一定全等，故D符合题意． 故选：D． 48．下列命题中的真命题是（　　） A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】D 【解答】解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误； C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项正确． 故选：D． 49．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　） A．若a＞0，b＞0，则ab＞0 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若a＝b，则a2＝b2 【答案】C 【解答】解：以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假进行判断即可： A．若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆命题是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，是假命题． 故选：C． 50．下列三个定理中，存在逆定理的有（　　） ①有两个角相等的三角形是等腰三角形； ②全等三角形的对应角相等； ③同位角相等，两直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 故选：C． 51．“等边对等角”的逆命题是 　等角对等边　 ． 【答案】等角对等边 【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 学科网（北京）股份有限公司 $