精品解析：江苏如皋中学2025-2026学年第一学期综合练习（四）高一数学试题

江苏如皋中学2025-2026学年第一学期综合练习（四）高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由向量，，且，则，解得. 2. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期排除A，C两项，对于B，D两项，两函数的图象可通过正弦函数与余弦函数的图象翻折得到，结合图象即可判断. 【详解】依题意，对于A，C，两函数的最小正周期都是，故A，C均不正确； 对于B，因函数可由正弦函数的图象，将轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为正弦函数的周期的一半，即，且函数在上单调递增，故B正确； 对于D，因函数可由余弦函数的图象，将轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为余弦函数的周期的一半，即，且函数在上单调递减，故 D不正确. 故选：B. 3. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程，可得结果. 【详解】因为正切函数的对称中心为， 由可得， 因此，函数图象的对称中心是. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 5. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案. 【详解】由题意可得，， 所以 因为，，，所以， 所以. 故选：B 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 7. 已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值. 【详解】令，得出，令，得出， 则函数与函数、交点的横坐标分别为、. 函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直， 如下图所示： 联立，得，则点， 由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则， 由题意得，解得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的值域为，则的值域为 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由图象的平移判断A；求函数且的图象恒过定点，即可判断B；利用换元法及对勾函数的性质，求出函数的最小值，即可判断C；求出方程有一正根和一负根时，的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为的图象是由的图象向右平移1个单位得到的， 又因为的值域为，所以的值域也为，故A错误； 对于B，对于，令，可得， 故函数且图象过定点，故B正确； 对于C，令，则函数即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，当，即时，取得最小值， 即函数的最小值为，故C错误； 对于D，当关于的方程有一正根和一负根， 则有，解得，所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确． 故选：BD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象关于对称 C. 在[4，7]上单调递减 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由对称轴为，计算得解；选项C，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项C不正确；选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为-4，结合图像得到，计算得解． 【详解】选项在的图象上， ， ， 在轴左侧，， 的最大值为4，最小值为，又， ，故选项A正确； 选项对称轴为， 当时，对称轴为，故选项B正确； 选项C，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项C不正确； 选项， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，故选项D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为锐角，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及诱导公式可得. 【详解】因为为锐角，且，由同角三角函数关系式得， 又由诱导公式及商数关系式得． 故答案为：． 13. 如图，已知，如果，则__________________． 【答案】18 【解析】 【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点，得到四边形ODCE平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解． 【详解】如图所示， 过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于D，E两点， 所以四边形ODCE是平行四边形，则， 因为向量与和的夹角分别为和， 即，则， 在直角中，，所以， 在直角中，，所以， 又由，可得， 又因为，所以， 所以． 故答案为：18． 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算性质结合题干中的等式可得出的值，由已知条件得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得结果. 【小问1详解】 因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即, 解得. 【小问2详解】 因为， ， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解； （2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案. 【小问1详解】 因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限， 所以点，即有，， 因为且为锐角，为钝角， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 设，则， 因为，所以， 则，所以， 因为 所以， 所以，， 所以的取值范围为. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）求函数的解析式及在上的单调增区间； （2）将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1）和 （2）且 【解析】 【分析】（1）首先求，先求的范围，再求函数在上的单调增区间； （2）利用图像变换规律得，再利用函数与在上有两个交点，即可求得． 【小问1详解】 由条件可知，解得：，即， 代入可得， 因为，所以， 即， 当时，， 所以在和上单调递增， 即在和上单调递增． 【小问2详解】 函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位， 得， 因为，所以， 因为在上有两个不同的解， 所以函数与在上有两个交点， 所以且， 解得且 18. 在平面直角坐标系中，已知． （1）若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； （2）若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； （3）若，且与的夹角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，可得坐标，根据三点共线，可得与共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案； （2）转化为二次函数最小值即可求解； （3）根据题意，求得坐标，根据题意可得恒成立，可得恒成立，令，利用换元法，可得恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案． 【小问1详解】 设，则， 所以， 因为与共线，所以，解得， 所以当三点共线时，点的坐标为； 【小问2详解】 由题可知，， 因为P为直线的一动点，所以设点， 则， 当时，， 此时P点坐标为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以； 因为与的夹角，所以恒成立， 所以， 又因为，所以， 所以， 即恒成立， 又因为，所以恒成立， 令，则， 换元可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，有最小值5， 所以的取值范围是： 19. 已知函数，，. （1）求函数的值域； （2）若，且对任意，都有，求实数的取值范围； （3）若，且对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）换元令，，转化为二次函数求值域； （2）由题，问题转化为，分和讨论求出最值得解； （3）由题设，的值域为集合，的值域为集合，问题等价于，方法1，讨论求出的值域；法2，当时，，所以只需. 【小问1详解】 令，，则， 所以，. 因为对称轴，所以. 【小问2详解】 因为， 由题意可知. ①若，即时， 因为在上单调递增， 所以，. 所以，所以. 所以. ②若，即时， 因为在上单调递减，在上单调递增，且，. 所以，. 所以，即，所以. 所以. 综上所述. 【小问3详解】 方法一：设，的值域为集合，的值域为集合，所以. 由（1）知. ①当时，，对称轴，所以在上单调递增， 所以，. 所以，即，即，解得. 所以. ②当，即时，，所以在上单调递增， 所以，. 所以，即，即， 解得，所以无解. ③当时，即，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，. 所以，即，即， 解得. 所以. ④当时，即，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，. 所以，即，所以， 所以. ⑤当时，，，在上单调递减， ，， 所以，满足； 综上所述实数的取值范围为. 方法二：设，的值域为集合，的值域为集合，所以. 由（1）知. 又因为当时，，所以只需. ①当时，， 因为在上单调递增， 所以.即，解得. 所以. ②当，即时，， 因为在上单调递增， 所以.即，解得. 所以无解. ③当时，则，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为，. 所以，即，即， 解得. 所以. ④当时，则，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得. 所以. ⑤当时，，，在上单调递减， ，合题意. 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏如皋中学2025-2026学年第一学期综合练习（四）高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 2. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A. B. C. D. 8. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的值域为，则的值域为 B. 函数且的图象恒过定点 C. 函数的最小值为6 D. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象关于对称 C. 在[4，7]上单调递减 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为锐角，且，则____________． 13. 如图，已知，如果，则__________________． 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量、满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的取值范围. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）求函数的解析式及在上的单调增区间； （2）将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知． （1）若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； （2）若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； （3）若，且与的夹角，求的取值范围． 19. 已知函数，，. （1）求函数的值域； （2）若，且对任意，都有，求实数的取值范围； （3）若，且对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $