5.3.1 复数的三角表示式 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.3.1 复数的三角表示式 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体现逻辑推理能力（重点） 2.了解复数三角表示式的推导过程，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，体现逻辑推理能力（难点） 课程引入 前面我们学习了复数的代数表示和向量表示，本节我们来研究复数的另一种重要表示形式：复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧． 新课学习 复数模的概念 a b Z θ r 新课学习 辐角的概念 以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角. a b Z θ r 新课学习 z=a+bi=rcos θ+irsin θ=r(cos θ+isin θ) 于是，任何复数z=a+bi(a，b∈R)都可以表示为 z=r(cos θ+isin θ) 思考一下：由上图可知a=rcos θ，b=rsin θ，如何求z? 因为a=rcos θ，b=rsin θ，所以 其中r= 新课学习 复数的三角形式的概念 z=r(cos θ+isin θ)这个式子称为复数z=a+bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式，其中a+bi称为复数的代数表示式，简称代数形式. 新课学习 思考一下：如何求z的辐角? 当z=r(cos θ+isin θ)≠0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍. 例如：复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数. 新课学习 辐角主值的概念 将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值的唯一确定. 新课学习 思考一下：设z1=r1(cos θ1+isin θ1)和z2=r2(cos θ2+isin θ2)，如何确定这两个复数相等？ 设z1=r(cos θ1+isin θ1)，z2=r(cos θ2+isin θ2)，当z1=z2时，有 r1(cos θ1+isin θ1)=r2(cos θ2+isin θ2) 所以r1=r2，即 所以θ1=θ2. 结论：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 新课学习 练一练：当a>0，若arg a=0，计算下面的辐角主值： arg(-a)= arg(ai)= arg(-ai)= π 结论：如果z=0，那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的. 新课学习 例1：请将以下复数表示为三角形式(辐角去主值)： (1) +i； 于是 因为 所以 新课学习 例1：请将以下复数表示为三角形式(辐角去主值)： (2)1－i； 于是 因为 所以 新课学习 例1：请将以下复数表示为三角形式(辐角去主值)： (3)-1； 于是 -1=cos π+isin π 所以 因为 新课学习 复数代数形式化为三角形式的步骤 1.先求复数的模r＝|z|； 2.确定Z(a，b)所在的象限； 3.根据象限求出辐角； 4.写出复数三角形式.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值． 课程练习 C 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 i 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.复数模的概念 2.辐角主值的概念 3.复数的三角形式 4.复数代数形式化为三角形式的步骤 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $