11.3二次根式的加减寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

11.3二次根式的加减寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 · 理解同类二次根式的定义，能准确判断两个或多个二次根式是否为同类二次根式，掌握最简二次根式的化简方法； · 掌握二次根式加减运算的核心法则，能独立完成简单的二次根式加减及混合运算； · 学会将二次根式的加减运算与实际问题结合，初步运用相关知识解决面积、周长计算等实际问题； · 培养根式化简的运算能力，养成先化简再运算的解题习惯，提升对无理数运算的理解。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1同类二次根式】 1．定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 【重点提示】（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关． 2．合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变．（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【重点提示】（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式． 【知识点2二次根式的加减】 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并．对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中． 2.二次根式加减运算的步骤：  （1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式；  （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；  （3）合并同类二次根式． 【重点提示】在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。 【知识点3二次根式加减的实际应用】 ●常见题型：求几何图形（正方形、长方形、矩形）的周长、面积，判断线段长度、铁丝能否围成图形等； ●解题思路 (1)根据几何公式列出含二次根式的算式（如正方形周长 = 4× 边长，长方形面积 = 长 × 宽）； (2)按照二次根式的运算法则化简、计算； （3）若涉及 “能否” 判断，需结合无理数的估算，将计算结果与已知数值比较大小。 【知识点4二次根式的混合运算】  二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用． 【重点提示】（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式． ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1同类二次根式 例1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．最简根式与是同类二次根式，则 ． 变式2．计算：． 题型2二次根式的加减运算 例2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 题型3二次根式的混合运算 例3．已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 变式1．已知长方形的长为，宽为，其面积为 ． 变式2．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 题型4已知字母的值，化简求值 例4．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 变式1．已知，，则 ． 变式2．先化简，再求值：，其中． 题型5已知条件式，化简求值 例5．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 变式1．若，则 ． 变式2．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 题型6比较二次根式的大小 例6．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．比较大小： （填 、或） 变式2．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 题型7二次根式的应用 例7．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 变式1．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 变式2．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．的结果是（   ） A．2 B． C． D． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 4．如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 5．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 9． ； ． 10．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式 ． 11．已知，，则代数式的值等于 ． 12．已知，，则的值为 ． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 14．海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为 ． 三、解答题 15．计算题 (1)计算： (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．已知：，求代数式的值． 18．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 19．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 20．如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3二次根式的加减寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 · 理解同类二次根式的定义，能准确判断两个或多个二次根式是否为同类二次根式，掌握最简二次根式的化简方法； · 掌握二次根式加减运算的核心法则，能独立完成简单的二次根式加减及混合运算； · 学会将二次根式的加减运算与实际问题结合，初步运用相关知识解决面积、周长计算等实际问题； · 培养根式化简的运算能力，养成先化简再运算的解题习惯，提升对无理数运算的理解。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1同类二次根式】 1．定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 【重点提示】（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关． 2．合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变．（合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似） 【重点提示】（1）根号外面的因式就是这个根式的系数；（2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式． 【知识点2二次根式的加减】 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并．对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中． 2.二次根式加减运算的步骤：  （1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式；  （2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；  （3）合并同类二次根式． 【重点提示】在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。 【知识点3二次根式加减的实际应用】 ●常见题型：求几何图形（正方形、长方形、矩形）的周长、面积，判断线段长度、铁丝能否围成图形等； ●解题思路 (1)根据几何公式列出含二次根式的算式（如正方形周长 = 4× 边长，长方形面积 = 长 × 宽）； (2)按照二次根式的运算法则化简、计算； （3）若涉及 “能否” 判断，需结合无理数的估算，将计算结果与已知数值比较大小。 【知识点4二次根式的混合运算】  二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用． 【重点提示】（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；（2）在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；（3）二次根式混合运算的结果要写成最简形式． ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1同类二次根式 例1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的判断． 先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断． 【详解】解：A选项：已是最简二次根式，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式； D选项：已是最简二次根式，被开方数为6，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B． 变式1．最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 先计算二次根式的乘除，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 题型2二次根式的加减运算 例2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法、除法运算．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法运算对D选项进行判断． 【详解】解：、与不能合并，所以该选项符合题意； B、，所以该选项不符合题意； C、，所以该选项不符合题意； D、，所以该选项不符合题意； 故选：． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴能围成这两个正方形． 题型3二次根式的混合运算 例3．已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 变式1．已知长方形的长为，宽为，其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算、平方差公式的运算等，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：该长方形的面积为． 故答案为：． 变式2．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 题型4已知字母的值，化简求值 例4．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 变式1．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和二次根式的混合运算．先将分解因式，然后将，代入求值即可． 【详解】解：∵， 将，代入得： 原式 ． 故答案为：． 变式2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型5已知条件式，化简求值 例5．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 变式1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用进行化简是解题的关键． 根据题意可知，、同号，再利用二次根式的性质分两种情况对原式中得每一项进行化简，再合并同类项，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解：， ∴、同号， 当，时， ， 当，时， ； 综上，当，原式． 故答案为：． 变式2．阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 题型6比较二次根式的大小 例6．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 变式1．比较大小： （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 变式2．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 题型7二次根式的应用 例7．如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 变式1．装修工人携带一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知小明家的电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条最长为 ．（结果保留根号，并不考虑木条的粗细） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示： 由勾股定理得：， （米； 即放入电梯内的木条的最大长度是米． 故答案为：． 变式2．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 2．的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简及减法运算，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 4．如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把代数式进行化简． 首先将进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， ． 即． 故选：A． 5．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 6．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 二、填空题 8．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 9． ； ． 【答案】 7 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 7 ；. 10．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式 ． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的数字规律探究，关键是拆分等式的各部分，分别找出与序号的对应关系． 【详解】解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即； 根号内的数依次为，，，…，对应， 故左边整体为． 再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即， 所以第个等式为． 故答案为：． 11．已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：19． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由，，得，则可将所求式子变形为，再将 和 代入求值即可． 【详解】解：设 ， 因为，， 所以，， 则， 代入 ，， 得， 故答案为 ． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 14．海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为 ． 【答案】30 【分析】根据海伦-秦九韶公式，需先计算三角形的半周长 p，再代入公式求解面积． 本题考查了二次根式的运算，解题关键是明确题意，代入数值后准确计算． 【详解】解：由题意，设 ，，， 则， ∴ ． 故答案为 30． 三、解答题 15．计算题 (1)计算： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根式的运算、绝对值以及完全平方公式： （1）先求绝对值、零指数幂以及根式，再加减； （2）先用完全平方公式展开，再计算乘法，最后加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 先将二次根式内的二次三项式因式分解为完全平方形式，再根据二次根式的性质化简，最后代入的值计算结果即可． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 17．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 18．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，； (2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； （3）解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 19．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式． （1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为 团扇面积为， ∴， 解得（舍负） 故答案为：9． （2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装 ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 20．如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． 先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $