精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题

曹杨二中高二期中数学试卷 一、填空题 1. 椭圆长轴长为___________． 2. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 3. 设，若直线与直线垂直，则___________． 4. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示） 5. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 6. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 7. 设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 8. 设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________． 9. 设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________． 10. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 11. 设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________． 12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________． 二、选择题 13. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 直线与直线之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 15. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（ ） A ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三、解答题 17. 已知圆． （1）求圆关于直线的对称圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 19. 已知，椭圆． （1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； （2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 20. 已知四棱锥底面为梯形，，，，，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高； （3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨二中高二期中数学试卷 一、填空题 1. 椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得长轴长. 【详解】椭圆方程为， 所以，则长轴长. 故答案为： 2. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 3. 设，若直线与直线垂直，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 4. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示） 【答案】 【解析】 【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角. 【详解】将代入中得，解得， 故直线的倾斜角为. 故答案为： 5. 已知圆半径为1，且与圆外切于点，则的圆心坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆心坐标为，由两圆外切则圆心距，利用两点间距离公式列方程，再由三点共线，根据列方程，结合两个方程求解出的坐标. 【详解】设的圆心坐标为， 由圆方程得到其圆心为，； 因为圆与圆外切于点，所以， 即，即， 又因三点共线，所以，故，得代入，得到， 所以. 又因为圆与圆外切于点， 所以与在原点同侧，所以 ，所以， 当时，，此时. 故答案为： 6. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为： 7. 设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所过象限得到不等式，求出答案. 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 8. 设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据离心率求出，设，，则，由双曲线定义可得. 【详解】由题意得，故，解得， 设，，则， 由双曲线定义可知， 即. 故答案为：4 9. 设，若圆上恰有两点到直线的距离等于，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与原直线距离为的平行线，计算圆心到这些平行线的距离，结合圆与直线的位置关系确定半径的范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 设与距离为平行线为， 由两平行线的距离公式，可得，即，解得或 于是得两条平行线：和. 分别计算圆心到的距离：， 要使圆上恰有两点到原直线的距离为， 需使圆与相交且与相离，即. 所以. 故答案为：. 10. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可. 【详解】如图，是点关于的对称点，交于， 作于点，于点，， ，， 设、、绕直线旋转所成旋转体的体积 分别为，、，则有，， 所求体积． 故答案为： 11. 设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到双曲线焦点，，利用点到直线距离公式得到，结合题目条件得到，，，再由三角形相似得到方程，求出，将其代入抛物线方程，得到关于的齐次式，求出离心率. 【详解】设双曲线的焦距为， 因为抛物线的准线过双曲线的焦点， 所以，故， 又到渐近线的距离，即， 因为，所以， 所以，所以，则， 所以，， 过点作⊥轴，则， 故，即， 解得，则， 由于在抛物线上，故， 即 ， 解得或（舍去），故. 故答案为： 12. 已知是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，得到点在以为圆心，半径为的圆上，点的轨迹为以为焦点的椭圆方程，数形结合得到与圆相切且与相切时，最大，并求出最大值. 【详解】不妨设，， 由，可得，故， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得， 即， 所以点到的距离之和为， 所以点轨迹为以为焦点的椭圆方程，且，， 所以，椭圆方程为， 如图1所示，在椭圆上固定一个点，作⊥于点， 根据数量投影的概念，需为锐角，才能保证数量投影为正， 则的长即为在方向上的数量投影的大小， 其中， 由于固定点，故为定值，要想最大，则需最大， 所以需最小，显然需与圆相切（如图2所示）， 此时连接，则⊥，且， 所以，直线方程为， 现在移动点，显然当与相切时，最大， 由于，故，设直线方程为， 联立与得， 由得， 由图可知，，故直线方程为， 其中，解得， 故，， 所以，. 故答案为： 二、选择题 13. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 14. 直线与直线之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 15. 如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直，结合面面角的定义可得，，进而根据全等，将问题转化为在正方形内考虑，结合对称性以及平面几何的知识即可求解. 【详解】如图，取正方体的上底面的各边中点， 过作于，作于， 则平面，平面， 平面，则， 同理可得. 由于, 因此,故, 同理可得, 因此只需要在正方形内考虑，即 等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 故选：B. 16. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 三、解答题 17. 已知圆． （1）求圆关于直线的对称圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，得到关于直线对称点为，从而得到对称圆的方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径进行求解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． （1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解. （2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得. 【小问1详解】 由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; 【小问2详解】 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 19. 已知，椭圆． （1）若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； （2）设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率； （2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围 【小问1详解】 由椭圆方程，得 设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率 【小问2详解】 设 则，即，； 令， 因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为； 因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值； 所以，即， 因为，所以，解得， 又因为，所以，所以的取值范围是. 20. 已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. （1）求证：； （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的高； （3）若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求出； （3）先设点的坐标，根据向量和平面的法向量得到对应的数量积公式，构造关于的函数，利用函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 如图连接，作的中点，连接， 因为底面为梯形，，，所以； 又，， 所以，，， ，所以，所以； 又平面，平面，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知，即为所求的四棱锥的高，且两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，则 ，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以， 所以点到平面的距离，解得， 即所求的四棱锥的高为； 【小问3详解】 如图，设，则， 由（2）知，平面的一个法向量为，则， 因为直线与平面所成角为， 所以，化简得； 构造函数， 由函数在上单调递减，且； 又在单调递增，且； 所以在上单调递减，则有， 即，化简得，解得， 即四棱锥的高的取值范围是. 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1）6； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【小问1详解】 点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. 【小问2详解】 抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. 【小问3详解】 设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $