上海市松江二中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

松江二中2025-2026学年高二上期中考试数学试卷 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ (满分 150分, 时间120分钟) 1、 2、 填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．如果x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　 　 ． 2．已知事件A与事件B为互斥事件，且，，则P（B）＝ 　 　 ． 3．若直线x+my+5＝0与直线x+y+2＝0的夹角为，实数m的值为 　 　 ． 4．设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是 从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 . 5044664421    6606580562    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 5．直线l1：3x+my+2＝0与直线l2：mx+3y﹣4＝0平行，则实数m＝　 　 ． 6．如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大. 7．已知直线l的斜率， 则该直线的倾斜角α的取值范围为　 　 ． 8． 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束；试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 9．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）． 10．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN， 切点分别为M，N，则的最大值为 . 11．体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是 一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光 与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则 . 12．已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：①曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线围成区域的面积大于8；④曲线上任意一点到原点的距离都不小于．其中正确结论的序号是 . 二.选择题(本大题共有4题, 13-14每题4分, 15-16每题5分, 满分18分) 13．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 14．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（ ）的记录数据作为 一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于 的样本个数 至少有（     ） A. 1个 B 2个 C.3个 D.4个 15．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点， 则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．9 D．8 16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（     ）  A． B． C． D． 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17．空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量， 这个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲､乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测， 获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（1）根据你所学的统计知识估计 甲､乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理由. （2）在15天内任取1天，估计甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率. 18．已知双曲线的离心率为为上一点． （1）求的方程；（2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 19．某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的 成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数； （2） 用分层随机抽样的方法从[70，80），[90，100]两个区间共抽取出8名学生，再从这8名学生中随机抽取2名 依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[70，80）的概率；（3）学校决定从知识竞赛中抽出成绩 最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局， 三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，p，各项目的比赛结果 相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 20．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线的方程；（3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线 垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 21．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该 椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为 椭圆的相似比；如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆；如图2，为左、右焦点 分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆；若△ABF₂与相似，则称椭圆，是“相似椭圆”，三角形的相似比称为椭圆的相似比.    （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”；若是，求出相似比；若不是，请说明理由， 并找出椭圆的一个“相似椭圆”；（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； 若与椭圆相似，相似比是，直线与椭圆，交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上． 松江二中2025-2026学年高二上期中考试数学试卷 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ 1．【解析】根据题意，x2+ky2＝1化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆， 则有1；解可得0＜k＜1；故答案为0＜k＜1． 2． 【解析】根据题意可知，事件A与事件B为互斥事件，． 故答案为：． 3.0【解析】∵直线x+y+2＝0的斜率为﹣1，它的倾斜角为，直线x+my+5＝0与直线x+y+1＝0的夹角为， ∴直线x+my+5＝0的倾斜角为或π；若直线x+my+5＝0的倾斜角为，则m＝0；直线x+my+5＝0的倾斜角为π， 则m不存在；综上可得，m＝0；故答案为：0． 4．56【解析】从第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字可得64（舍），42，16，60，65（舍），80（舍），56，26，15，符合要求的数为42，16，60，56，26，所以第四个数为56；故答案为：56. 5．﹣3或3【解析】由直线l1：3x+my+2＝0与直线l2：mx+3y﹣4＝0平行， 可得3×3＝m×m且﹣4×3≠2×m，解得m＝﹣3或m＝3．故答案为：﹣3或3． 6．4【解析】因为方差越大，说明三天的跳绳次数越不稳定，由图可知从4日开始连续4，5，6三天的跳绳次数 方差最大，故答案为：4. 7．【解析】由题意知，α∈[0，π），由，得，所以． 8．【解析】两次数字和为的有，，，，共个结果，其中拋次骰子共有种结果，所以游戏结束时棋子回到点处的概率;故答案为：. 9．7（8，9，10均可）【解析】7位同学成绩如下：6，7，7，8，8，9，10其第25百分位数为第三个数据， 为7，要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以;故答案为：7（8，9，10均可）． 9． 【解析】由题意，得圆C：的圆心到直线l： 的距离，所以l与圆C相离， 如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离， 即，此时，所以，故的最大值为;故答案为：. 11．【解析】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即，即，解得，而， 故. 12．①③④【解析】曲线，将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，①正确；，得，要使均为整数， 则可得整点有、、、共9个，故②错误；曲线，将换成， 方程不变，故曲线关于轴对称，故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2， 当，时，，得，故， 因与轴，轴构成的三角形面积为，故曲线围成区域的面积大于8，故③正确； 由对称性，根据得，得，故曲线上的点到原点的距离为， 故④正确，故答案为：①③④. 13．C【详解】对于A，由于是独立事件，故，A正确；对于B，， 故B符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D， 由于是 独立事件，则也是相互独立事件，,D正确，故选：C. 14.C【详解】关键点：“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确；②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是，第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确；③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误；④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确；故选：C. 15． A【解析】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径，易知椭圆右焦点， 显然在圆上，如下图：易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为 ，因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6；故选：A. 16． D【解析】如下图建系，令双曲线为，且，则，，如图，，， 则，故，将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.        ，故选：D. 17．（1）甲；（2）. 【解析】（1）由茎叶图知：甲城市的中位数为：61，乙城市的中位数为79， 并且甲的大多集中在65以下，乙的大多集中在76以上，所以甲城市空气质量总体较好； （2）甲城市空气质量类别为优或良的有10天，所以甲城市空气质量类别优或良的概率为, 乙城市空气质量类别为优或良的有5天，所以乙城市空气质量类别优或良的概率为, 所以甲､乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 18．（1）；（2）. 【解析】（1）由题得:，解得，所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以，所以 所以. 19．（1）a＝0.03，平均数为分；（2）；（3）甲最终获胜的可能性更大，理由见解析. 【解析】（1）由题意得10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）＝1，解得a＝0.03， 所以样本成绩的平均数约为45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在[70，80），[90，100]的学生比为3：1， 用分层随机抽样的方法从在[70，80）的学生中抽取8＝6（人），从[90，100]的学生中抽取8＝2（人）． 从这8名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有8×7＝56种情形，第一个和第二个交流分享的学生成绩均在 区间[70，80），有6×5＝30种情形，第一个交流分享的学生成绩在区间[90，100]，第二个交流分享的学生成绩 在区间[70，80），有2×6＝12种情形，故所求概率为； （3） 乙最终获胜的可能性大；理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是，可得， 其中0≤p≤1，解得，则甲得2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为，甲最终获胜的可能性大． 20．（1）；（2）或；（3）. 【解析】（1）设，由圆与直线相切于点，得，解得， 所以，则圆半径，所以圆的标准方程为； （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得，则，整理得， 综上，切线方程为或； （3）方法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，； 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ，当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 方法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 21．（1）椭圆不是“相似椭圆”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）点在定曲线上. 【解析】（1）椭圆不是“相似椭圆”，理由如下： 椭圆中，，，． 椭圆中，，，． 因为，所以椭圆的“焦顶三角形”不相似，所以这两个椭圆不是“相似椭圆”； （2）不妨令两个椭圆均为焦点在轴上的椭圆，椭圆方程为，． 必要性：若两个椭圆是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等． 由题图，知若，因为，，所以， 又因为，，所以； 充分性：若离心率相等，则，所以，则，，则； 同理，，，则，所以， 所以椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”，故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （2）椭圆的相似比为的相似椭圆的方程为，设，，，各点坐标依次为，，，，，，，，将代入椭圆方程，得：， ，，， ，将代入椭圆的方程得： ，，，， ，线段，中点相同，，由，可得;线段的中点是点N， =，，所以， ，化简得， 满足式， ，即点在定曲线上． 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $