精品解析：江苏连云港市灌南县2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测 数学试题 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 3. 已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程列式求解即可. 【详解】因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得，所以实数m的取值范围是. 故选：A. 4. 已知两直线平行，则与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的性质，求出参数值，进而根据平行线间的距离公式，求出结果； 【详解】由题意得，解得，即， 则与间的距离为. 故选：C. 5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可. 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于 、 两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立等量关系式求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即， 即， 又，， 中，， ， 即 解得 由此可得双曲线的离心率 故选：C． 7. 已知，，，则 、 、 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出 、 、 的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当 为奇数时，设，则，为奇数；当 为偶数时，设 ，则，为偶数，所以， ， 所以， 故选：D． 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9. 设等差数列的前 项和为，公差为 ，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时， 的最大值为13 D. 数列前 项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第 项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时， 的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前 项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 10. 设抛物线的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，以 为圆心，为半径的圆交 于两点．若，则（　　） A. B. 直线 的斜率是 C. D. 的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可；对于B，利用几何关系求出直线 的倾斜角即可；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】对于A，以 为圆心，为半径的圆交准线 于两点,且 故, 所以是等边三角形，所以， 设准线 与 轴交于点,则， 故故A错误； 对于B，因为,平行于 轴， 故，故当 点位于第一象限时，直线 的倾斜角为； 当 点位于第四象限时，直线 的倾斜角为； 所以直线 的斜率是，故B正确； 对于C，因为直线 的斜率是，且抛物线， 故直线 的方程为：， 联立方程得：，即 设则， 故，故C正确； 对于D,由A知， ， 故 故 ,故D正确. 故选: BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3个零点 B. 既存在极大值，也存在极小值 C. 若时，，则 的最大值为2 D. 若函数有2个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于函数的零点，可令函数值为求解；对于极值，通过求导判断导数的正负来确定函数的单调性，进而得到极值点；对于最值，结合函数单调性来分析；对于函数的零点问题，可转化为与的交点问题．逐项判断即可. 【详解】令，因为恒成立，所以只需． 可得，即有 个零点，所以 选项错误．  对求导，可得． 令，即，因为恒成立，所以，解得 或 ． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以 是极小值点， 是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确．  由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，． 当时，，若时，，则 的最大值为 ，选项正确．  函数有 个零点，即与的图象有 个交点． ，结合函数单调性和极限情况可知， 当时，与的图象有 个交点，选项正确．  故选：BCD. 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出，然后由复数模的定义求解即可． 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知直线与双曲线交于 、 两点，点是弦 的中点，则双曲线 的渐近线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线 的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 14. 若函数在 处取得极大值，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得： 或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在 处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在 处取得极大值，符合题意； 综上实数 的取值范围为， 故答案为： 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 已知 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，且. （1）求 ； （2）若 的面积为， 边上的高为3，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）根据面积公式以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 根据条件， 由正弦定理，得， 即，即， 因为在 中，，所以， 又因为，所以 【小问2详解】 因为 的面积为，所以，得 由，即，所以. 由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以. 16. 已知圆 的圆心在直线上且与 轴相切于点． （1）求圆 的标准方程； （2）若直线 过点且被圆 截得的弦长为，求直线 的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合题设可先求得圆心，进而求出半径，即可得到圆 的方程； （2）求出圆心到直线 的距离，对直线 的斜率是否存在进行分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为圆 与 轴相切于点，所以圆心 的横坐标为5， 又因为圆 的圆心在直线上，则圆心 的纵坐标为4，即， 则圆 的半径， 所以圆 的方程为． 【小问2详解】 设圆心 到直线 的距离为 ，则， 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时，不满足题意； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为， 即． 则，解得或0， 所以直线 的方程为或． 综上所述，直线 的方程为或. 17. 已知数列中． （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列的通项公式为，求数列的前 项和； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由构造得，又，可证数列是等比数列； （2）利用错位相减法求数列的前 项和. 【小问1详解】 由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点 的直线交于两点，线段 的垂直平分线交 于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线 的斜率存在且不为0，设线段 的中点为 ，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明:设四边形的面积为 ， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线 的垂直平分线段 ，所以， 当直线 与 轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线 过坐标原点 ，由椭圆的对称性知． 当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为． ，， ． ，则直线 的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值，定值； ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可； （2）（ⅰ）从直线 与 轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论; （ⅱ）由（ⅰ）知，而,继而通过换元法结合基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 根据题意，得，解得， 所以椭圆 的方程为． 【小问2详解】 ①四边形的面积为定值，证明略. ②易知，，又， 直线 的斜率存在且不为0， ． 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为． 19. 已知函数 （1）若，讨论的单调性; （2）若有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2） （3）易知， 所以， ， 要证，即证， 不妨设，即证， 设，即证 令， 易知，即单调递增， 所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算即可； （2）问题化为导函数有两个变号零点，分离参数构造新函数研究其单调性，最值，数形结合计算即可； （3）通过作差化简不等式，令，把问题化为证明，构造函数利用导数研究其单调性及最值即可. 【小问1详解】 当，，所以， 显然或时，，即此时单调递增； 时，，即此时单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 易知， 若有两个极值点，等价于有两个不同的变号零点， 令，即有两个不同的变号零点， 则， 易知时，，或时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 在时，取得极小值也是最小值， 在时，取得极大值， 又时，， ， 作出大致图象如下： 要使得有两个不同根，需有两个不同交点， 由题意可知， 注意到时，此时在零点的左右附近， 均有，即，不符合题意，舍去； 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测 数学试题 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两直线平行，则与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于 、 两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知，，，则 、 、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9. 设等差数列的前 项和为，公差为 ，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时， 的最大值为13 D. 数列前 项和为，最大 10. 设抛物线的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，以 为圆心，为半径的圆交 于两点．若，则（　　） A. B. 直线 的斜率是 C. D. 的面积是 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3个零点 B. 既存在极大值，也存在极小值 C. 若时，，则 的最大值为2 D. 若函数有2个零点，则 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 已知复数，则__________. 13. 已知直线与双曲线交于 、 两点，点是弦 的中点，则双曲线 的渐近线方程是__________． 14. 若函数在 处取得极大值，则实数 的取值范围为__________． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 已知 ， ，分别为 的内角 ， ， 的对边，且. （1）求 ； （2）若 的面积为， 边上的高为3，求. 16. 已知圆 的圆心在直线上且与 轴相切于点． （1）求圆 的标准方程； （2）若直线 过点且被圆 截得的弦长为，求直线 的方程． 17. 已知数列中． （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列的通项公式为，求数列的前 项和； 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点 的直线交于两点，线段 的垂直平分线交 于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线 的斜率存在且不为0，设线段 的中点为 ，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 19. 已知函数 （1）若，讨论的单调性; （2）若有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）当时，设函数 为的导函数.证明：对任意的，有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $