以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题 以二次函数为背景的特殊四边形存在性问题 考点一 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 例2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 考点二 以二次函数为背景的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 例2．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 例4．（25-26九年级上·广东东莞·月考）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在以为一边，以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标； (2)过点A作轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在上方），作轴交于点．当四边形的面积最大时，连接，求与直线的夹角的正切值． (3)点Q是抛物线上的动点，点R是抛物线对称轴上的动点，是否存在以A、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题 以二次函数为背景的特殊四边形存在性问题 考点一 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1.(25-26九年级上·甘肃武威月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-3). B (1)求二次函数的解析式： (2)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使△QBC为直角三角形的点9的坐标. 【答案】(1)y=x2-2x-3 【详解】(1)解：将A(-1,0)、C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c得， 0=1-b+c -3=c b=-2 解得 c=-31 :二次函数的解析式为y=x2-2x-3; (2)解：由(1)知，二次函数的解析式为y=x2-2x-3, :对称轴为x=1, 令y=0,则0=x2-2x-3, .(x-3x+1=0 解得x=3或x=-1, 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 B3,0), 设抛物线对称轴上一动点Q(1,m), B(3,0)、C(0,-3, ∴BC2=18,QB2=m2+4,QC2=m2+6m+10, 当4B=90°时，由勾股定理可得QB2+BC2=QC, 则(m2+4+18=m2+6m+10, 解得m=2,则0(1,2)； 当∠C=90°时，由勾股定理可得QC2+BC2=QB2, 则(m2+6m+10)+18=m2+4, 解得m=-4,则01，-4)； 当∠Q=90°时，由勾股定理可得QB2+QC2=BC2, 则(m2+4+m2+6m+10=18, 即m2+3m-2=0, △=32-4×1×-2)=9+8=17>0， 2 综上所送，使0x为直角三角形的立0月生标为到-4安3，)3，） 例2.(25-26九年级上·福建漳州期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3的图象交x轴于 A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴于点C.点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E,交 直线BC于点F. 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 A 图1 图2 (1)求抛物线和直线BC的表达式： (2)求线段EF的最大值； (3)如图2，是否存在以点C,E,F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请 说明理由。 【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3 a号 (3)1,0)或(2,0 【详解】(1)解：：把点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得： a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得： b=2 :抛物线的表达式为y=-x2+2x+3; 设直线BC解析式为y=kx+b, ~直线BC经过点B,C, 3k+b=0 b=3 「k=-1 解得b=3‘ “直线BC的解析式为y=-x+3. 答：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3. (2)解：如图 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 E B 设M(m,0),则E(m,-m2+2m+3,F(m,-m+3) 抛物线y=-x2+2x+3与y轴相交于点C, C(0,3. ~Em,-m2+2m+3, EF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- 329 2+4 m- 当m=时，F取得最大值}， (3)解：由(2)，得 M(m,0),E(m,-m2+2m+3),F(m,-m+3),C(0,3) ∴EF=-m2+3m,CF=√m2+m2=m√2，CE=√m2+(-m2+2m)2. ①当∠ECF=90°时，如图 y不 B ∠ECF=90°， “由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2. 即m2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2, m2(m-1)=0, 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 解得m=1或m=0(不符合题意，舍去)， M(1,0. ②当∠CEF=90°时，如图 4 M LCEF=90°， 由勾股定理，得 CE2+EF2=CF2. 即m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)2=2m2, 整理，得 m2m2-4m+4）+m2(m2-6m+9)-m2=0, m2(m2-5m+6=0, m(m-2)(m-3)=0, 解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)或m=3(不符合题意，舍去)， M(2,0）. ③当∠CFE=90°时，如图， y M ~EM⊥x轴于点M, ∠EMB=90°， ∠MFB<90°， 即∠CFE<90°， U 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 ∴当LCFE=90°时，不符合题意，舍去. 综上，存在满足条件的点M,其坐标为1,0)或(2,0). 例3.(2025湖北襄阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,C（点A在 点C的右边)，与y轴交于点B,直线y=x+b经过点A,B (I)求A,B,C三点的坐标及直线AB的函数解析式. (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q,设点P的横坐标为m(m<0), PQ的长为L.求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； (3)设抛物线的顶点为M,问在y轴上是否存在一点N,使得NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标； 若不存在，请说明理由。 【答案】(1)A(3,0),B(0,3),C(-1,0),直线AB解析式为y=-x+3 (2)L=m2-3m(-1<m<0 6在，N-引碳N 或N(0,1)或N(0,3). 【详解】(1)解：y=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3,当y=0时，-x2+2x+3=0,解得：x=-1,x2=3, A3,0),B0,3,C-1,0), ~直线y=+b经过点A,B [3k+b=0 [k=-1 b=3 ,解得： b=3’ y=-x+3; (2)点P的横坐标为m(m<0), Pm,-m2+2m+3, PQ∥x轴， 6 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 yo=-m2+2m+3, .-m2+2m+3=-x+3, ∴.x=m2-2m, 0m2-2m,-m2+2m+3, ∴L=xo-xp=m2-3m, P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴-1<m<0: L=m2-3m-1<m<0); (3)存在，设点N(0,n, “y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, M(1,4), A3,0), ∴AN2=9+n2,AM2=(3-12+42=20,MW2=1+(4-n2; ①当点4为直角顶点时：9+㎡2+20=1+(4-m2,解得：n=- 2 ②当点w为直角项点时，201：4-则-9+，解得：a子 ox(o2), ③当点N为直角顶点时：9+n2+1+(4-n=20,解得：n=1或n=3, N(0,1或N(0,3: 综上：N0-副或0引成0或N@动 例4.(25-26九年级上·浙江湖州月考)己知，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-1,0), B(3,0两点，与y轴交于点C(0,3· (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.当点P在第一象限时，求线段PE的最 大值： > 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 9 4 3)16)、(山，-6)、(1,0、(1,6或1，) 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3), 将点C(0,3)代入，得3=a(0+1)0-3), 解得a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-（x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (2)解：设直线BC的解析式为y=c+b, [3k+b=0 k=-1 将点83,0、C0,3)代入，得6=3，解得6=3， ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P坐标为x,-x2+2x+3,则E(x,-x+3), pg=+2+3-+=f+3=-} -1<0, 当x-时，PE有最大值，最大值为}： D (3)解：“y=-x2+2x+3=-(x-1)+4 ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 设点Q的坐标为1，m), 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 ×A(-1,0)、C(0,3), “AC=V-1-02+(0-3)2=10;4A0=V-1-1)2+(0-m2=V4+m2;0C=1-02+(m-32=V1+(m-3)2, 当AC=AQ时，V4+m2=√0，解得m=±√6， 点Q的坐标为1,6)或1，-6)： 当AC=C0时，V1+(m-3)2=V10,解得m=0或m=6, ∴点0的坐标为1,0)或1,6， 当A0=C0时，√4+m2=1+(m-3)2,解得m=1, 点Q的坐标为1,1). 综上所述，点Q的坐标为1，V6)、（1,-V6)、(1,0)、(1,6)或1,1· 变式1.(25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交 于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作 DC⊥x轴于点C,交AB于点E. B E (1)求抛物线的函数表达式： (②)若BDE是直角三角形，请直接写出点D的坐标 【答案】(1)y=-x2+x+6 (2)点D的坐标为(1,6)或 125 2’4 【详解】(1)解：令y=0,则-2x+6=0, 则x=3; 令x=0,则y=6, A3,0),B(0,6, 0 以二次函数为背景的特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 把A,B坐标代入y=-x2+bx+c, -9+3b+c=0 得 c=6 「b=1 解得 c=6 :抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+x+6; (2)解：当∠BDE=90°时，如图， B D DC⊥x轴， ∴当∠BDE=90°时，BD∥x轴， 即D纵坐标等于B点纵坐标， 当y=6时，代入y=-x2+x+6得： 6=-x2+x+6, 解得x1=0,x2=1, …D(1,6); 当∠DBE=90°时， L p oc 作DM⊥y轴，EN⊥y轴， ∠DBE=90°， 10