专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 目录 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 11 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 20 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 28 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)存在，，， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； （3）解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 3．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段长度最大时点P的坐标． (3)点Q是抛物线对称轴上一点，且是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为______ (4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，满足条件的点D的坐标为或或或 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为，则P、E的坐标分别为，从而求出的长，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点Q的坐标是，表示出的长，利用勾股定理计算即可； （4）设抛物线与y轴的交点为K，由题意得，可知轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得到， 解得， 抛物线的解析式为； （2）将C点的横坐标代入，得， ， 设直线的解析式为，把分别代入，得， 解得：， 直线的函数解析式是， 设点P的横坐标为，则P、E的坐标分别为， 点P在点E的上方， ， ， 当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）抛物线的对称轴是， 因为点Q在抛物线对称轴上，所以设点Q的坐标是， ，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 解得， 或； （4）存在，满足条件的点D的坐标为或或或， 理由如下：如下图，设抛物线与y轴的交点为K，由题意得， ， 轴，， 当点F与点K重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则，得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则，得， 当点在x轴的上方时，令， 解得， ， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 5．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 8．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 9．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 10．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 11．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 12.（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 13．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二：二次函数中的矩形存在性问题. 题型三：二次函数中的菱形存在性问题..20 题型四：二次函数中的正方形存在性问题..28 题型专练 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1.(2025山东东营.中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,其中 A(-1,0),C0,5). B (I)求抛物线的表达式： (2)点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； (3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请 直接写出点N的坐标. 2.(25-26九年级上海南省直辖县级单位·期中)已知二次函数的图像经过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,-3), 点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方 (①)求该二次函数的解析式. (②)在二次函数的图像上是否存在一点P,使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由 (3)在平面内是否存在一点Q,使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理由. 3.(25-26九年级上·吉林松原·月考)如图，点A-1,0),B3,0),C(2,m在抛物线y=x2+bx+c上 (1)求抛物线的解析式. (②)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长度最大时点P的坐标. (3)点Q是抛物线对称轴上一点，且△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，则点Q坐标为 (4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由. 4.(25-26九年级上·四川泸州期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C(0,3). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交直线BC于点N,求四边形MBNA的 最大面积，并求出点M的坐标； (3)E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 5.(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，抛物线L:y=-x2+bx+c与x轴交于A-5,0)和B两点，与y轴 交于点C(0,5). 2/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A: :OB (I)求该抛物线的函数表达式： (②)如图，将原抛物线L向左平移4个单位长度得到抛物线'，L与原抛物线L相交于点M,点N为原抛物 线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点A,M,N,H为顶点的四边形为矩形， 若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(25-26九年级上四川成都期中)如图，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)顶点为D. (1)抛物线的解析式是 ,顶点D的坐标是 ,对称轴是 (2)M为抛物线上一点，当CAM=45°时，求M点坐标. (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E,F使得四边形BDEF是 矩形？若存在，求出E,F的坐标；若不存在，说明理由. 7.(25-26九年级上·四川眉山期中)如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(3,0),C(3,3),抛物 线y=-3x+hx+C经过点A和点B. 4 B 备用图 (1)求抛物线的解析式： ②)点E在x轴上方的抛物线上，当S二S形D时，求点E的坐标 (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的 坐标. 3/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 8.(25-26九年级上全国期末)综合运用：如图，一次函数y=x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和 点C,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,C两点，并与x轴交于点B.点M(m,0)是线段OA上一个动 点（不与点O,A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D. D MO B (1)求这个二次函数的解析式： (②)用含m的代数式表示DE,CD; (3)点F是平面内一点，是否存在以C,D,E,F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若 不存在，请说明理由。 9.(25-26九年级上·黑龙江期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-2,0),B(6,0)两点，与y轴交 于点C(0,-3). (1)求抛物线的表达式： (2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接CP,BP,当△CPB的面积最大时，求点P的坐标及SCPB的最大 值； (3)在(2)的条件下，N为x轴上一点，在平面内是否存在点Q,使以A,P,N,Q为顶点的四边形为菱 形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 10.(2025·甘肃天水模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点 B,与y轴负半轴交于点C,A-4,0),B(1,0). D 备用图 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交AC于点F, 当Dr-F时，求点E的坐标 (3)在(2)的条件下，点M是抛物线对称轴1上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N,使以A 、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 11.(25-26九年级上·福建龙岩·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=x2上，过点A作 y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛物线于E ,F两点. D (1)求抛物线对应的函数解析式； (②)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长. 12.(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a(x-2)2+k 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. oc (1)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q，使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长， 13.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线 y=ax2+2x+c经过点A,B,与x轴的另一个交点为C. 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F, FG⊥x轴于点G.当DE=FG时，求点D的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线 CD于点K.P是平面内一点，当以点M,，H,K,P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐 标. 6/6