以二次函数为背景的面积问题、以二次函数为背景的角度问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

以二次函数为背景的面积问题、以二次函数为背景的角度问题专项训练 以二次函数为背景的面积问题、以二次函数为背景的角度问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的面积问题 以二次函数为背景的角度问题 考点一 以二次函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 例2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并写出抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②点是直线下方抛物线上一点（不与重合），连接．若点的横坐标为，已知的面积随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①5；② 【详解】（1）解：将代入， 得， 将点代入抛物线得， 解得， ，对称轴为直线； （2）解：①根据题意得，直线与抛物线交于两点， 则， 解得，或， 由于点是右侧交点， 则点的横坐标为5； ②根据题意，点的横坐标为5， ∴，且， 过点作轴的垂线，交直线于点， 设点，则点， ， ， ∴ ， ∴对称轴为， 当时，随的增大而增大， 因此，的面积随的增大而增大时，的取值范围为． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与轴交于、两点(点在点的左边)，交轴于点． (1)点的坐标(________)，点的坐标(________，________)，点的坐标(________，________)； (2)如图1，若直线下方拋物线上存在一点，使，求点坐标； (3)如图2，点为抛物线上一动点(点在第一象限)，作交拋物线于另一点，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，直线与交于点，若为线段中点，当时，求点坐标． 【答案】(1)；；； (2) (3)或 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，则，解得或． 点在点左边，，； 令，则， ； 故答案为：；；． （2）解：记交轴于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，将代入得，解得， ∴直线的解析式为； 联立直线与抛物线得， 消去得，整理得， 解得或(为点的横坐标，舍去)， 将代入得， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，，代入得，解得， ∴直线的解析式为； 设，， ∵轴交直线于，轴交直线于， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为； 联立直线与抛物线的解析式得， 消去得， 整理得， ∴，即， ∴点的坐标为． 设直线的解析式，将，代入， 求得直线的解析式为； 设直线的解析式，将，代入， 求得直线的解析式为． 联立直线与的解析式， 得到，解得， 将代入得， ∴； ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴； 分两种情况讨论： ①当时，，则， 解得，(大于2舍去)， 将代入，得， ∴； ②当时，，则， 解得， 将代入得， ∴； 综上，点的坐标为或． 例4．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 变式1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C． (1)当时，的取值范围是______； (2)求二次函数的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，点的坐标为和 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于、，且开口向下， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为：或． （2）解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴设二次函数的交点式为， ∵函数图象与轴交于点， ∴将，代入得，解得， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∴，解得， ∵二次函数，其最大值为， ∴不符合抛物线的取值范围，舍去； 当，解得， ∴点的坐标为和． 变式2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第四象限上的点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)连接、，若的面积为3，求出符合条件的点坐标； (3)如图2，点在轴正半轴，且，直线与直线相交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为,． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 故， 设函数的解析式为， 将代入： ． 函数表达式为：． （2）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵的面积为3， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或． （3）解：点是抛物线上的一动点，且在第四象限， 设，且 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点在轴正半轴，且，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式得： 解得， ∴直线的解析式为：． ∵直线与直线相交于点， ∴， 解得 ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴，交直线于点N，则， 则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为,此时． 变式3．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与轴交于点，与直线交于点． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________（用数字或含m的代数式表示）； (2)求证：为线段的中点； (3)，为二次函数图象上两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，连接，，，．若与的面积相等，求的值． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：二次函数中，令，则， ∴， 二次函数中，令，则， 解得或， ∴， ∵点是二次函数的顶点， ∴， 故答案为：，，． （2）解：设直线的解析式为， ∵直线过、， 将代入得， 解得， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上且横坐标为， 代入解析式得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为线段的中点； （3）解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点在二次函数上，横坐标为， 代入得， ∴， ∵点在二次函数上，横坐标为， 代入得， ∴， ∵点、在直线：上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 解得或， 故答案为：或． 变式4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图， 二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线，直线的函数表达式．且为二次函数图像上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点M ，N重合），且点 P 的横坐标为，作，若直线与线段分别交于点D，E 且 与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为 把B，C代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图像上两点， ， ． ． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ， ∴不存在实数m使得． （3）解：如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为， ∴，， ， ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 考点二 以二次函数为背景的角度问题 例1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴ 解得： ∴， （2）解：∵图象与轴负半轴交于点 当时， ∴，则 ∵， ∴ ∵面积为8， ∴ 解得： （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，则 ∴ 解得： 当时，如图，过点，作于点 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 又∵ ∴, ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或 例2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解：、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 例3．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将代入，， 解得， ，即； （2）解：连接， 设， 将代入得，解得， ， 平移， ， 点到的距离等于点，到的距离， ∴， 解得， ， 设，将代入得， ， 令， 解得（舍去）， 把代入， 此时； （3）解：如图：过作，交于点，分别过点作轴的垂线交过点平行于轴的直线于点，则四边形是矩形，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设，将代入得：， 解得， ， 令， 解得（舍）， 将代入得， 当时，． 例4．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令，则， ， ， ∴当时，的面积取最大值，此时； 如图，把沿的方向移动个单位，点的对应点为，点的对应点为点， ， 根据勾股定理可得， ， ∴把沿的方向移动个单位，相当于向左平移个单位，向下平移1个单位， ， ， ， 当取最小值，即取最小值， 三点共线时，取最小值，此时点在处， ， ∴的最小值为； （3）解：， 为等腰直角三角形， ， 抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，即向下平移个单位，向右平移个单位， ， 抛物线的顶点为， ∴新抛物线的顶点为，即， ， ， ， ， ， ， 如图，当点在轴上方时，作，交轴于点， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 如图，当点在轴下方时，作直线关于轴的对称直线，交轴于点， 则， 令， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 令， 解得，， ，； 综上，点的坐标为或或或． 变式1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过两点，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为，连接，是否存在点，使得？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：关于，令，则， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图1，过点作轴交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，对称轴， ∴当时，取最大值，最大值是． （3）解：存在． ∵点为的中点， ∴， 过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，如图2， ， ∴， ∴， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去） 所以点的横坐标为． 变式2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，过点作直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点为抛物线上一点，连接，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)有最大值，最大值为；此时点的坐标为 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：有最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由如下： 如图，过点作轴交于点， 设，直线为， 抛物线与轴相交于点， ， ， 解得：， 直线为， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， ，即此时点的坐标为； （3）解：如图，连接AC，过点作交于点，设与轴交于点，则， ，， ，，， ， ， ， ， 当点与点重合时，此时有，即此时点的坐标为， 过点作交轴于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则 解得：， ， 联立， 解得或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 变式3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于A，B两点在的左侧），交轴于点，连接AC，其中． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点，过点作直线交拋物线于点，点是轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向右平移一个单位长度得到点，点为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点作直线交抛物线于点．连接PA，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：∵抛物线交 y 轴于点 C， ∴令，得， ∴． ∵ ∴ ∵点 A 在 B 左侧， ∴． 将 代入抛物线方程： ​，解得． ∴抛物线的表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 则，解得： ∴直线的解析式为． ∵ ， 设的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为． 设， 设直线的解析式为， 则，解得： ∴直线的解析式为， 联立、得：，解得：， ∴， 如图：过P作轴，轴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，此时； ∵，， ∴， ∴； 如图：过点F作，过点B作垂足为G， ∴ ， ∴， ∴， 如图：过点F作于H，垂足为H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 如图：过点作交于，则是直角三角形， 由垂线段最短可知：为的最小值， 设，则， ， ∴，解得：或2； 当时与点B重合，不符合题意，故， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵抛物线沿方向平移​个单位， ∴向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ，化简得 ． 联立，解得：或（与点B重合舍去）， ∴， ∵将点向右平移一个单位长度得到点， ∴， 设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴或（与点K重合，不符合题意）， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图：当即，点Q位于对称轴的左侧，延长使其相交于点H，则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍去）， ∴点Q的横坐标为． 变式4．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以二次函数为背景的面积问题、以二次函数为背景的角度问题专项训练 以二次函数为背景的面积问题、以二次函数为背景的角度问题专项训练 考点目录 以二次函数为背景的面积问题 以二次函数为背景的角度问题 考点一 以二次函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为． (1)求的值，并写出抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于两点，其中点是右侧交点． ①求点的横坐标； ②点是直线下方抛物线上一点（不与重合），连接．若点的横坐标为，已知的面积随的增大而增大，求的取值范围． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与轴交于、两点(点在点的左边)，交轴于点． (1)点的坐标(________)，点的坐标(________，________)，点的坐标(________，________)； (2)如图1，若直线下方拋物线上存在一点，使，求点坐标； (3)如图2，点为抛物线上一动点(点在第一象限)，作交拋物线于另一点，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，直线与交于点，若为线段中点，当时，求点坐标． 例4．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C． (1)当时，的取值范围是______； (2)求二次函数的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第四象限上的点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)连接、，若的面积为3，求出符合条件的点坐标； (3)如图2，点在轴正半轴，且，直线与直线相交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与轴交于点，与直线交于点． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________（用数字或含m的代数式表示）； (2)求证：为线段的中点； (3)，为二次函数图象上两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，连接，，，．若与的面积相等，求的值． 变式4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图， 二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线，直线的函数表达式．且为二次函数图像上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点M ，N重合），且点 P 的横坐标为，作，若直线与线段分别交于点D，E 且 与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 考点二 以二次函数为背景的角度问题 例1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数．图象与轴交于，两点，点在点左边，图象与轴负半轴交于点． (1)求点坐标； (2)若面积为8，求的值； (3)若中有一个内角为，求的值． 例2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 例3．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知抛物线过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，把直线向下平移，平移后的直线交轴于点，交轴左侧的抛物线于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，且位于第四象限，当时，求点的坐标． 例4．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为下方抛物线一动点，直线上有点、满足点在点的左侧且，当最大时，求此时点的坐标与的最小值． (3)将抛物线沿直线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线找一点使，求符合条件的所有的坐标，并写出至少一个求解的坐标的过程． 变式1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过两点，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为，连接，是否存在点，使得？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，过点作直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点为抛物线上一点，连接，当时，直接写出点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于A，B两点在的左侧），交轴于点，连接AC，其中． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点，过点作直线交拋物线于点，点是轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向右平移一个单位长度得到点，点为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点作直线交抛物线于点．连接PA，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 变式4．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $