二次函数：二次函数的图像与性质、二次函数的平移、二次函数的实际应用专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

二次函数：二次函数的图像与性质、二次函数的平移、二次函数的实际应用专项训练 二次函数：二次函数的图像与性质、二次函数的平移、二次函数的实际应用专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 二次函数的平移 二次函数的实际应用 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：由一次函数的图象可得，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于， ， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：B． 例2．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 例4．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方， ∴当时，它的图象位于轴的下方，当时，它的图象位于轴的上方， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 例6．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 【答案】①③④ 【详解】解：根据图表，和时，，则抛物线对称轴为直线， 当，，根据抛物线的对称性，当时，， 即抛物线与轴的交点为和； 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，即最大值大于6， 并且在直线的左侧，随增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故答案为：①③④． 变式1．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 变式2．（24-25九年级上·湖北孝感·月考）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 变式3．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与轴的两个交点为， 故函数有最大值，故A选项正确，不符合题意； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时，；故B选项正确，不符合题意； 当时，随的增大而减小；故C选项错误，符合题意； 由图象可知：当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 变式4．（2025·北京石景山·模拟预测）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象，直接利用对称轴的公式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 变式5．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 变式6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且， 若恒有，则或． 其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①② 【详解】解：①把点代入，得， ∴， ∵此抛物线顶点在第四象限， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， 故②正确； ③时，与x轴只有一个公共点，此时，故③错； ④∵对称轴为直线， ∴或或时， 恒有， ∴或或．故④错． 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 考点二 二次函数的平移 例1．（2026·湖北襄阳·二模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 向左平移1个单位，得到， 向下平移2个单位，得到． 故选：A． 例2．（2025·河南濮阳·一模）将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位得到． 故选：C． 例3．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 例4．（2026·上海松江·一模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得． 故答案为：． 变式1．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【详解】解：∵ 的顶点为，而的顶点为， ∴ 需向右平移5个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 变式2．（2025·四川南充·一模）将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（    ） A． B．0 C．4 D．12 【答案】D 【详解】解：原抛物线为 ， 向右平移4个单位：将x替换为， ； 向上平移2个单位：将y替换为， ， ， 即新抛物线为 ， 与 比较， 得 ， ， ， ． 变式3．（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 【答案】 【详解】解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 变式4．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度后得到 ， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：5 考点三 二次函数的实际应用 例1．（2026·陕西西安·一模）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵拱门的跨度，， ∴点M为，， ∵拱高，， ∴顶点E为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形框架的周长， 即矩形框架的周长为． 例2．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． (1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大利润为元； (3)． 【详解】（1）解：∵销售单价为元，成本为每件元， ∴单件利润为元， 据题意得：； （2）解：， ∵， ∴当时，有最大值为：元； （3）解：∵每销售一件商品就捐赠元， ∴单件利润为元． 据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵扣除捐赠后的利润随的增大而增大， ∴， 解得：． 例3．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)右边：或左边： (2)米 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 例4．（25-26九年级上·山东济南·月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为18元 (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 变式1．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析； (3)． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 变式2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， 米， 故答案为：； （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ， 在时，此时（米），取得最大值，最大为平方米， 当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； (3)该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∵利润率不得高于， ∴，解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解得：，， ∵， ∴当时，日销售利润不低于元， 设该超市购进这批元宵的进货总成本为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小，   ∴当时，有最小值，最小值为， 答：该超市购进这批元宵的日进货总成本最低为元． 变式4．（25-26九年级上·山东威海·期中）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：二次函数的图像与性质、二次函数的平移、二次函数的实际应用专项训练 二次函数：二次函数的图像与性质、二次函数的平移、二次函数的实际应用专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 二次函数的平移 二次函数的实际应用 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 例2．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么 （填“”、“”或“”）． 例5．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ． 例6．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 变式1．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 变式2．（24-25九年级上·湖北孝感·月考）函数与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 变式3．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．函数有最大值 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时， 变式4．（2025·北京石景山·模拟预测）抛物线的对称轴为直线 ． 变式5．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 变式6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且， 若恒有，则或． 其中正确的结论是 （填序号）． 考点二 二次函数的平移 例1．（2026·湖北襄阳·二模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·河南濮阳·一模）将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为 ． 例4．（2026·上海松江·一模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 变式1．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 变式2．（2025·四川南充·一模）将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（    ） A． B．0 C．4 D．12 变式3．（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 变式4．（2025·内蒙古·模拟预测）将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则 ． 考点三 二次函数的实际应用 例1．（2026·陕西西安·一模）某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 例2．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． (1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 例3．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 例4．（25-26九年级上·山东济南·月考）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 变式1．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 变式2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？ 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)求出关于的函数关系式； (2)按照有关管理部门规定，利润率不得高于，当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)在日销售利润不低于元的前提下，该超市当日购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？ 变式4．（25-26九年级上·山东威海·期中）问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $