二次函数的图像与系数的关系、二次函数与线段周长问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

二次函数的图像与系数的关系、二次函数与线段周长问题专项训练 二次函数的图像与系数的关系、二次函数与线段周长问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与系数的关系 二次函数与线段周长问题 考点一 二次函数的图像与系数的关系 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：①∵图象开口向下，对称轴为直线，图象与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， 则①错误； ②∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，．故②正确． ③当时，二次函数取得最大值为． 当时，二次函数的值为， ∴ 即， ∴ 故③正确． ④∵当时，． 当时，， ∴， ∴，即，故④错误， 所以正确的结论是②③． 故选C． 例2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数图象如图，则①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【详解】解：由图像可知，当时，， 当时，， 故①正确； 由图像可知，当时，， ， 当时，， 故②正确； 由图像可知，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 故③正确； 由图像可知，抛物线开口向下，与轴的交点在轴的正半轴， ，， 抛物线的对称轴是， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④；⑤若，是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得：当，，故②正确； 由二次函数的性质可得，当时，二次函数取得最大值为，故，即（为任意实数），故③错误； 由图象可得：当时，，故④正确； ∵若，是抛物线上不同的两个点，且两个点的纵坐标相等， ∴，关于对称轴对称， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 例4．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数的图象如图所示， 下列结论：①；②；③；④,其中正确的结论有 (填序号)． 【答案】①②④ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故结论①正确； 观察图像，函数与轴有两个交点， ∴，故结论②正确； ∵抛物线对称轴为直线， 即，得，即，故结论③错误； 观察图象，当时，函数值大于， 即，故结论④正确； 故正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 例5．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，二次函数（、、为常数，）的图象交轴于两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：①；②；③关于的方程的解是，；④．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【详解】解：根据函数图象可得：抛物线的开口向下，交轴于正半轴， ∴，， 又∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交轴于，两点，点，点， ∴关于的方程的解是，， 对称轴与轴的交点即线段的中点，即， ∴结论③④正确； 故答案为：①③④． 例6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤（m是任意实数）． A．①②⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【详解】解：由二次函数的图象可得：该抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，，故①②正确； 由二次函数的图象可得，二次函数与轴有两个交点，故，故③错误； 由图象可得，当时，，则， ∵， ∴，故④正确； 由图象可得，当时，二次函数的值最小为， ∴，即（m是任意实数），故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤， 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②方程有两个相等的实数根；③；④若和是抛物线上两点，则当时，．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将代入抛物线，得到， 故①正确； ②方程根的情况可以看作抛物线与直线的交点个数，如图所示： 由图可知抛物线与直线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， 故②错误； ③由抛物线的对称轴是直线可得，则， 由抛物线开口向下可知， 由①知，将代入可得，则， ， 故③正确； ④由抛物线开口向下可知，则抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大， 和是抛物线上两点，两点到对称轴的距离满足， ， 故④错误； 综上所述，题中结论正确的是①③， 故选：C． 变式4．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ，， ． 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴， ， ，故错误； 由图可知，二次函数与有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，，即，故错误； 当取任意实数时，， 当时，， 由图象可知，当时，二次函数取得最小值， ，即，故正确． 综上，正确的结论有． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）已知二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③．其中正确的有 个． 【答案】①②③ 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ∴，说法①正确； ∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，说法②正确； 如果抛物线的图象向下平移2个单位，那么抛物线与轴只有一个交点， ∴当抛物线向下平移d个单位， 当时，抛物线与轴没有交点， 此时抛物线与y轴的交点向下平移的长度大于2， 所以二次函数中，，说法③正确； 故答案为：①②③． 变式6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有 （直接写编号）． 【答案】③ 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 考点二 二次函数与线段周长问题 例1．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)最大值为 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴， ∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的解析式恰好经过点， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：； （3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点， 由（）得抛物线的解析式为， 令，则； ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． 例2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将点，，点代入中， 得， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 令，则， ， 设， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：由（2）得，， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为； 如图，过点作轴交于点， 则， ， 当取得最大值时，有最小值； 点的横坐标为， ，， ， ， 当时，有最大值，此时有最小值， 点的坐标为． 例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解：根据点，，可设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：∵，， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 解得，    ∴或． 例4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，顶点为D．如图，当时， (1)求该二次函数的解析式； (2)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点Q，求的最大值； 【答案】(1) (2)最大值为； 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为， 把点A，点B和点C的坐标代入二次函数的解析式得， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， 直线的解析式为， 如图1所示，过点作轴，交于点，则， 设，则 ， ∵， ∴， ， ， ∵ 当时，有最大值，最大值为． 变式1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：，， ，，                 当时，， ，                 ∵二次函数的图象经过点A，C． ∴， 解得； （2）解：由（1）知的表达式为， ∵直线与x轴垂直， ，，其中， ，             ， ∴当时，取得最大值． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线的顶点．点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 (3) 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得； （2）解：是直角三角形． 证明：由（1）得，， 当时，， ， ， 在中，令，即， 解得， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质，得， 的周长， 点和点都是定点， 的长为定值， 两点之间线段最短， 当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值． 由，得， 设直线的表达式为，将，代入解析式得， 则， 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 解得 ． 变式3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，抛物线（a，b为常数，）的顶点坐标为，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)求点A和点B、点C的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点P作轴，与直线相交于点Q，求线段的最大值． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则，即， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：如图： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线上方该抛物线上一点， ∴，即， ∵过点P作轴，与直线相交于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 变式4．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像与系数的关系、二次函数与线段周长问题专项训练 二次函数的图像与系数的关系、二次函数与线段周长问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与系数的关系 二次函数与线段周长问题 考点一 二次函数的图像与系数的关系 例1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）二次函数图象如图，则①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③ 例3．（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④；⑤若，是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例4．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数的图象如图所示， 下列结论：①；②；③；④,其中正确的结论有 (填序号)． 例5．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，二次函数（、、为常数，）的图象交轴于两点，点的坐标是，点的坐标是，有下列结论：①；②；③关于的方程的解是，；④．其中正确的有 ． 例6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤（m是任意实数）． A．①②⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②④⑤ 变式3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②方程有两个相等的实数根；③；④若和是抛物线上两点，则当时，．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 变式4．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有 （填序号）． 变式5．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）已知二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③．其中正确的有 个． 变式6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有 （直接写编号）． 考点二 二次函数与线段周长问题 例1．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 例2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 例4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，顶点为D．如图，当时， (1)求该二次函数的解析式； (2)点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点Q，求的最大值； 变式1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线的顶点．点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·天津·月考）如图，抛物线（a，b为常数，）的顶点坐标为，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)求点A和点B、点C的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点P作轴，与直线相交于点Q，求线段的最大值． 变式4．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 2 学科网（北京）股份有限公司 $