利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练-2026届高三数学二轮复习

利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1.(25-26高二上湖南邵阳期末)已知各项均为正数的数列a,前n项和为3，且6，=a,a,+3) 3 (1)求数列m 的通项公式； 1112 (2)证明：3393. 例2.(25-26高二上江苏期未)已知数列a的前n项和为，0，>0，且2，=0+a,-2 (①求证：{a是等差数列： (2)设。，-2，求数列的前n项和H 1 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 2n+1 例3.(25-26高二上河南信阳月考)已知数列{a,}满足a,+2a,+3a++na,=n-3”,neN,记数列a, 的前n项和为 (求数列a,3 的通项公式： 2求5 创4.(25-26高二上安徽宜城期末)已知数列a,的前n项和为，4=之，a=2,+2(1eN). (①求a,的通项公式： ②记么4：+礼，数列6的前n项和为，若≥恒成立，求实数的取值范围。 2 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式1，(25-26高二上广东韶关期末)已知数列0，的前”项和为5，且点aS,)在函数)=2x-2的图象 上 (①)求数列a的通项公式： 2设么，=a,求数列b,的前”项和 变式2.(2526高=上安徽安庆期末)已知数列0满足：号+学+2++受=22neN, 23 ①)求数列a,的通项公式： 2若=a,+log:a,求数列b,的前”项和S,. 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式3。(2425高三上贵州遵义月考)已知数列的前n项和为S,且S,=n+2n+1 ()求a的通项公式： 2若.=2”，求数列a,+b的前n项和乙. 变式4.(25-26高三上山东德州期末)已知数列0的首项为2，前n项和为S,且1-1=a,+2n+, ①求数列a,的通项公式： 1 bn二1 2尼知a,+2n-,记数列b的前n项和为7，求证：3s< 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点二 构造法求数列通项 例1.(25-26高二上陕西榆林期末)已知首项为2的数列0，满足4,1=20，+2 (①求数列a,的通项公式 1 g,a+20g,a+2,数列2的前n项和为，求证：6，工<号 (2)记“ 例2.(25-26高三上黑龙江期中)已知数列a满足4=1，a4=2,数列b的前”项和为S, 8经0+96-5 ()求数列a 的通项公式. 2求数列b,的通项公式。 ③)设数列c满足，=a,+b,若c中的三项，，心(P<<9)成等差数列，证明：9=k+1 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 例3.(24-25高二下四川绵阳期中)已知数列a},若4=2，且01=30，+2. )证明数列a,+少是等比数列，并求出a,的通项公式 (2)若b,="g+) ∫1 3”，且数列b,b1了的前n项和为S,求Sn: _2(an+1) ⑧法C4，且G的前顶和为，求：8S<号 例4.（2025：陕西西安模拟预测)已知数列a的前n项和为S4=1,且满足n+S,=Sn+. (①求数列a,的通项公式： 2设（口+3”cosm,求数列b,的前n项和乙. 6 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式1，(25-26高三上山东枣庄月考)已知数列a中，4=1na1=(n+a. ①求， b=-n+1 ②)设0a2,求证：么+4+场，< 16. 变式2，(25-26高三上·福建厦门月考)已知数列a,的前”项和为5，且25。-(m+2a,+】 )求数列a的通项公式： 31+1++1s- +…十 (2)求证：4SS2Sn3. > 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 变式3.(2s-26高三上福建莆田月考)设数列a,的前n项和为S.,已知2S,=0-2+1neN),且4，=5 (①)求数列。的通项公式： 2设么，=1og,a,+2),若对于任意的n∈N,不等式1+川-n6,+2)-6<0恒成立，求实数元的取值范围. 变式4.(25-26高三上河北唐山月考)已知5为数列a,的前”项和，4=12a,-是公差为1的等差数列. ()证明：数列a,+是等比数列，并求a的通项公式： n(n+1 ②考，-3，+n+2,数列，的最大项为A,求k的值. P利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 利用an与Sn的关系求数列通项、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知各项均为正数的数列前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵①， 当时，，∵，∴，    当时，②， 由②-①，可得，     即，     ∵，∴，即是首项为3，公差的等差数列，      所以，满足此式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）可得，     则，     于是， 即得证. 例2．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，，且. (1)求证：是等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 则当时，， 两式相减得，， 所以，即 因为，则，所以， 所以是等差数列，且公差为. （2）当时，， 即，解得或（舍去）. 由（1）知，. 所以. 所以， ， 两式相减得， 即， 所以. 例3．（25-26高二上·河南信阳·月考）已知数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，， 可得，， 两式相减可得， 即，， 又当时，符合上式， 所以，， 即，， （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得： 例4．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知数列的前n项和为，，（）． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得：（）， 两式相减得：，即（）， 又时，，（）， 是以为首项，公比的等比数列，. （2）， ， ， 易知，随n增大而增大，的最小值是， 由恒成立，可得，故的取值范围是. 变式1．（25-26高二上·广东韶关·期末）已知数列的前项和为，且点在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点在函数图象上， 所以. 当时，，解得； 当时，， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为 （2）解：由，可得， 则， 则， 两式相减，可得 所以. 变式2．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，所以， 当时，①， ②， ①②得，，所以， 也满足． 综上，． （2）由题可知， 所以 ． 变式3．（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 当时，， 因为不满足上式，所以. （2）因为，所以 ， 所以. 变式4．（25-26高三上·山东德州·期末）已知数列的首项为2，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【详解】（1）由题得，且，则有， 递推后联立，得， 化简得，即，故， 故数列的通项公式为. （2）由题得，则 因为，则，所以， 易得为递增数列，故，即， 故，得证. 考点二 构造法求数列通项 例1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 例2．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的通项公式． (3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【详解】（1）数列中，，， 当时，，则，当时，，则， 因此数列均是公比为4的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）在数列中，，当时，， 当时，，两式相减得，， 当时，， 即，因此当时，数列是常数列， ，整理得，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. （3）由（1）（2）得，显然且数列是递增的， 由成等差数列，得， 假设，则，即，整理得， 设，则， 因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾， 于是假设不成立，所以成立. 例3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得， 所以 所以 （3）由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 例4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，，所以， 由于，则是以首项为1，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，. 验证时满足通项公式，故数列的通项公式为. （2）由（1）知. 设的前项和为，则当为偶数时， . 当为奇数时，， 设的前项和为，则. 因为，所以 变式1．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知数列中，. (1)求； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得，故为常数列. ，故. （2） 故 变式2．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，. 由，则， 则， 化简得，所以，， 所以，， 则为常数列． 因为，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 所以， 由随的增大而减小，故， 故， 即. 变式3．（25-26高三上·福建莆田·月考）设数列的前项和为，已知，且 (1)求数列的通项公式; (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则，故， 当时，，， 两式相减得到，即，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， ，故， 时满足，故. （2），， ，即， 设，且，， 在上单调递增，故函数在上单调递增， 当趋近时，趋近，故，故. 变式4．（25-26高三上·河北唐山·月考）已知为数列的前项和，是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)2或3． 【详解】（1）由题设，得， 因为是公差为1的等差数列， 所以．① 所以，② ②－①，得，即， 所以，又，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 所以，所以． （2）由（1）知，， 所以． 解法一  ，（点拨：作差，，所以只需考虑的正负即可） 当时，，即；当时，，即； 当时，，即．所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为2或3． 解法二  ，（点拨：作商，判断与1的大小关系） 令，解得；令，解得；令，解得． 因为，所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为2或3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $