数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 利用累加法求数列通项 利用累乘法求数列通项 利用构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1.(25-26高三上辽宁沈阳月考)数列a,的前”项和为，S,=-n+9m+5: ①)求数列a的通项公式： 2设H,=a+a++a,求H 例2.(25-26高二下安徽期中)已知正数列a的前”项和为S,45,=+2a,其中neN (①求a,的通项公式： ∫1 (2)求数列a,an1的前n项和Hn 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 例3.(25-26高三下江西月考)已知数列a的前n项和为5，且满足5，=2a,-3-2neN) (1求数列a. 6=(n+2)a (2)设°。nn+14,求数列{b的前n项和T. 变式1.(25-26高三上陕西渭南月考)记5为数列a的前n项和，已知5，=14-」 )求a,的通项公式： (2求数列a,的前n项和T. 2 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 变式2。(25-26高三上河北衡水月考)已知数列a,的前n项和为S.,且满足5，+a,=2n+4meN). (I)求数列a 的通项公式； 4 (2)若数列 (,+2 的前项和为，求证：对于任意心，都有.<4十 3n n∈N* 1 1 变式3，(25-26高三上·湖南衡阳月考)已知数列(a,满足a+34+京a+ 30m=3n. )求a,的通项公式： (2若0，+at+an= 321-310 2,求k. 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 考点二 利用累加法求数列通项 例1.(2026-四川二模)已知数列a,的首项4=1，且满足0。-0=川n≥2，neN) )求a的通项公式： 1+1++1<2 (2)证明：41a2an. 例2.(25-26高二下福建福州期中)在数列a,中，a=6,4=20,4,=30,且-是等差数列 2 (1)求： 1++1 11 (2)求4a2am的值， 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 例3.(2026-宁夏银川一模)已知数列a,满足4=1,4=3,0=30。-2a≥2). (1)证明：数列 -a是等比数列： (2)求数列a, 的通项公式： [1 (3)令bn=log2(an+l,求数列b,b+的前n项和Sn 变式1.(2026福建漳州二模)已知数列0，满足：4=2,010，=2m+2。 )求a,的通项公式 「1 (2)求数列an」的前n项和Sn· 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 变式2.(2026广东佛山模拟预测)已知数列a,满足4=1，a=a,+2”,n∈N, (①)求数列a的通项公式 (2)若 a,,设数列b的前n项和为T,求证.了<( 3. 变式3。(2025山东枣庄二模)在数列a,中，4=20，a1=a+2”-2 )求a,的通项公式， 2考么=a,-2”,，求数列b的前”项和的最大值 6 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 考点三 利用累乘法求数列通项 例1.(25-26高二上湖北黄冈期末)设数列a,满足4=1，na,1=(n+2)a,，n∈N (①求数列的通项公式“： 2设6，=92，求数列6的前n项和S n 例2。(2026广余头模拟)记8为效列a的前×项和，已知4=2，=”2。 3 a (①)求数列a的通项公式： (2)记，为数列-a,的前n项和，求I. > 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 例3.(25-26高二上浙江杭州期末)已知5为数列a,的前”项和，35，=(n+2)0,4=1. (①)求a,的通项公式： 1 (2)设数列an的前n项的和为T,求Tn 变式1.(24-25高三上云南昆明月考)已知数列a,的前n项和为S,且4S,=2m+山a,+1n∈N) ①求a,的通项公式： (2)记”aa1,求数列b}的前n项和Tn. P 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 变式2.（2026-陕西榆林模拟预测)已知数列0，的前”项和为S,且4=3，S:+S,=(m+1a1. ()求a的通项公式： 6、1 (2)若”a01,求数列{b,}的前n项和T,. 变式3，(2435商三上陕西源南月考)在数列a,4=1:且2：4+0+写4++， 1 .1 n-141=0. )求a,的通项公式： 61 (2)若”a,a1,且数列{b}的前项n和为Sn,证明：Sn<3 9 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 考点四 利用构造法求数列通项 例1.(24-25高三上内蒙古呼和浩特期中)设数列0，的前”项和为S,若对于任意的正整数”，都有 S,=2a-3n ①求a,的通项公式 ②)求数列，的前20项和.（设2”=m,计算结果用合m的式子表示） 例2.(2425高三上湖北期中)已知a,是公差不为0的等差数列，a=21,且%，0,4成等比数列，数列 {b,满足：b=46-3,且么=24-1 )求a和b,的通项公式： an (2)若工为数列b,-1的前n项和，求T, 0 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 创3.(25-26离二上广东广州月考)（1D已知数列a,满足=3a,+5x2+44=1,求数列a的通项公 式 (2)已知数列a,满足=2a,+3+4切+54=，求数列a,的通项公式 变式1.(25-26高三下-河北张家口开学考试)已知数列满足4=5，且”，=30，-2(meN. ①)求数列，的通项公式： ②设数列b,的前”项和满足3江，+4=4”，对任意正整数”，试比较与的大小. 11 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 变式2，(25-26高三上黑龙江哈尔滨月考)已知数列a财满足4=14，a=30,-4 (①)求a,的通项公式： (-1)”an 2设么，3+13”+可，数列b,的前n项和为工，若存在1N,使m≥，求m的取值范围. 变式3.(2025河南南阳模拟预测)若数列4满足4=2,41-24，=3 )证明：a,-3a,是等比数列： (②)设0的前n项和为S,求满足S,<2023 的n的最大值. 2数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 数列：利用an与Sn的关系、累加法、累乘法、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项 利用累加法求数列通项 利用累乘法求数列通项 利用构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项 例1．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 例2．（25-26高二下·安徽·期中）已知正数列的前项和为，，其中. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推式及的关系求得，利用等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，当时，， 所以，而，则， 当时，有， 所以， 所以，， 所以，则是首项、公差均为2的等差数列， 所以. （2）因为，所以， 因此. 例3．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得，当时，化简得到，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：， 可得， 所以 . 变式1．（25-26高三上·陕西渭南·月考）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 变式2．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用得到，进而可知是以为首项，为公比的等比数列，求出从而求出答案； （2）利用分组求和法求出，从而得到，利用放缩法即可证明. 【详解】（1）当时，由得， 所以，即， 当时，，所以，所以，故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2） ， 所以， 当时，，不等式成立， 当时， ， 综上. 变式3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列和与项的关系求得，进而求得； （2）根据等比数列的前项公式可得关于的方程，求解可得. 【详解】（1）当时，， 由， 可得当时，， 两式作差，得，所以． 又满足上式，所以． （2）由（1）知， 因为，所以数列是等比数列. 所以是首项为，公比为3的等比数列． 所以， 所以 所以． 考点二 利用累加法求数列通项 例1．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 例2．（25-26高二下·福建福州·期中）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用等差中项的性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）设，，，， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即， 而满足上式，故， ， 则. 例3．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【详解】（1）因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. （3）， 所以， 所以. 变式1．（2026·福建漳州·二模）已知数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知 ，可通过累加法求出 的通项公式 （2）先对 进行裂项，再利用裂项相消法求数列的前n项和. 【详解】（1）已知 ，则当 时： . 将以上 个式子累加可得： ， 即 . 又因为 ，所以 ， 当 时， ，上式也成立. 因此，的通项公式为 . （2）由（1）知 ，则 ． 所以 ， 即 . 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用累加法与等比数列前项和公式，即可求解. （2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）：；证法2：利用化简后放缩，证法3（等比放缩）：，从而可求解. 【详解】（1）由 累加可得． 故数列的通项公式为：. （2）证法1：（借助“糖水不等式”放缩）： 由（1）可得， ， 所以． 证法2：， 所以． 证法3（等比放缩）：由证法2得， 所以． 变式3．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 【答案】(1)； (2)90. 【分析】（1）利用累加法，结合分组求和法及等比数列前项和公式求解. （2）求出并判断单调性，求出所有非负数项的和即可. 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 考点三 利用累乘法求数列通项 例1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）设数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知得，应用累乘法求通项公式即可； （2）由（1）及已知得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）因为，，所以， 所以 ， 所以时，，又也符合， 故数列的通项公式； （2）因为， 于是， ， 相减得， ， 所以. 例2．（2026·广东汕头·模拟预测）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 例3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项的和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的递推公式，再利用累乘法可得数列的通项； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由已知， 当时，， 则， 化简可得，即，，，，， 等式左右分别相乘可得，即， 又，所以； （2）由（1）得，即， 所以. 变式1．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式； （2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，令得， 因为， 所以， 两式相减得， 即． 所以， 所以， 即， 所以当时，， 又，所以． （2）由（1）可得， 所以. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式； （2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，由，得， 两式相减得，即， 利用累乘可得， 即，因为，所以； 所以的通项公式为. （2）由（1）可知，裂项可得， 则. 所以数列的前项和 变式3．（24-25高三上·陕西渭南·月考）在数列中，，且，. (1)求的通项公式； (2)若，且数列的前项n和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式， （2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论. 【详解】（1）解：因为， 所以当， 两式相减，得，即， 当时，， 所以当时，， 所以当时，， 当时，上式成立；当时，上式不成立， 所以 （2）证明：由（1）知 当时，， 所以当，； 当时， . 综上，. 考点四 利用构造法求数列通项 例1．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有. (1)求的通项公式. (2)求数列的前20项和.（设，计算结果用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）求出，利用分组求和及错位相减法求求和即可. 【详解】（1）对于任意的正整数，，则， 两式相减，得，整理得， 于是，而当时，，解得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列，故， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，设数列的前项和为， 则， 令， 因此， 两式相减得：， 则，于是， 所以. 例2．（24-25高三上·湖北·期中）已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且. (1)求和的通项公式； (2)若为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件结合等差、等比数列的基本公式即可求出的通项公式，运用构造法求的通项公式. （2）先确定，利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， 整理有：，解得（舍）， 所以，； 因为，所以， 又，， 所以为首项为，公比为的等比数列， 所以， （2）因为， ①， ② 两式相减，得： ， 所以. 例3．（25-26高二上·广东广州·月考）（1）已知数列满足，求数列的通项公式. （2）已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； （2）根据递推关系构造数列是等比数列，求出通项公式，进而求得； 【详解】（1）， ， 即，又，， 所以数列是首项为13，公比为3的等比数列， ， . （2）， ， 又， 所以数列是以32为首项，2为公比的等比数列， ， . 变式1．（25-26高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，. 【分析】（1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，即可求得结果； （2）根据的关系，求得，构造函数，利用其单调性，即可比较大小. 【详解】（1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即 . （2）已知，① 当时，． 当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即； 当时，，即． 因此，当时，；当时，． 变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 故数列是以12为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）解：由（1）知， 所以. 当为偶数时， ， 因为是单调递减的，所以. 当为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以. 要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是. 变式3．（2025·河南南阳·模拟预测）若数列满足,． (1)证明:是等比数列； (2)设的前n项和为,求满足的n的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】 (1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可, (2)由(1)求出的通项公式,与题中等式联立,求出通项公式,进而求出前n项和为,代数使得即可求出n的最大值. 【详解】（1）证明：因为, 所以,, 故 , 又,则,, 故是以－1为首项,2为公比的等比数列． （2）由(1)得①, 又②, ②－①得,, 故 , 易得为递增数列, 又,, ,故n的最大值为7. 2 学科网（北京）股份有限公司 $