章末综合检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

章末综合检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 器 1.对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是 A.概率太小，不可能发生 B.1000次中一定发生1次 C.1000人中，999人说不发生，1人说发生 D.1000次中有可能发生1次 2.打靶3次，事件A表示“击中i发”，其中i=0,1,2,3.那么事件A=AUA2UA表示( A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中3发 3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就得冠军，乙队需要再赢两局才能 」 得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A月 R号 c D 4.给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信 封装一封信，则全部装错的概率为 中 A号 B后 c号 n号 鉍 5.有4张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A,表 示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”， A。表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，A,表示事件“两次取出的卡片上的数字之 和为7”.则 A.A1与A为相互独立事件 B.A与A为互斥事件 C.A2与A,为相互独立事件 D.A与A,为对立事件 如 数 6.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行 博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获 得全部赎金：但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该 如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方 案.该分配方案是 ( A.甲180枚，乙180枚 B.甲288枚，乙72枚 C.甲240枚，乙120枚 D.甲270枚，乙90枚 闲 7,生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出：3只，则 阳 恰有2只测量过该指标的概率为 ( A号 R 8.有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲 表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事 件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则 A.甲和乙相互独立 B.甲和丙相互独立 C.甲和丁相互独立 D.丁和丙相互独立 105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事 件A,则下列推断错误的是 A.事件A发生的概率等于】 B事件A发生的概率等于号 C.事件A是不可能事件 D.事件A是必然事件 10.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：C=“点数为”，其中i=1,2,3,4,5,6,E,=“点 数不大于3”，E,=“点数大于3”，E=“点数大于4”，F=“点数为奇数”，G=“点数为偶数”，判 断下列结论，错误的有 ( A.F=E UE,UE B.C2,C为对立事件 C.ECE, D.E,E2为对立事件 11.某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对这100 名学生在音乐，美术，戏剧、舞蹈等多个艺术项日进行多方位的素质测评，并把测评结果转化 为个人的素养指标x和y,制成下图，其中“”表示男同学，“十”表示女同学. 1指y 4 4。+ +++++ 10 06 Q.8 1指标 若0<x<0.6,则认定该同学为“初级水平”：若0.6≤x≤0.8，则认定该同学为“中级水平”：若 0.8<x≤1，则认定该同学为“高级水平”.若y≥100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜 质”：否则为“不具备明显艺术发展潜质”.下列说法中，错误的有 ( A.50名参加测试的女同学中，指标0<x<0.6的有20人 且从50名女同学中随机选出1名，则该同学为~初级水平”的概率为品 C,50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人 D.从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学中任选2名，则选出的2 名均为“高级水平”的概率为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某地区牛患有某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否互不影响，今研制了一种新的预防药，任选 12头牛进行试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药 (填“有效”或“无效”). 13.A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为 :已知 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 14.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中 任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间 也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为子，乙在每个环节中获胜的概常都为P,且甲， 乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为品，则p的值为 :“梦队”在比赛中得 分不低于6分的概率为 106 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)为了了解中学生的视力情况，某机构调查了某高中1000名学生，其中有200名学生 棵眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在[0.6,1.0)内，其余的在1.0及以上. (1)估计这个学校的学生需要配镜或治疗（裸眼视力不足1.0）的概率是多少： (2)估计这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率为多少. 16.(15分)某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了书法，诗词、理学三个社团.据资料统计，新 生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选 拔进人该校的书法，诗词，理学三个社闭的概率依次为m,3,已知三个社团他都能进人的 概率为，至少进人一个社团的概率为子，且m>, (1)求m与n的值： (2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入书法社的学生增加校本选修学分1分，对进人诗 词社的学生增加校本选修学分2分，对进入理学社的学生增加校本选修学分3分，求该新生 在社团方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率. 17.(15分)某场知识竞赛比赛中，甲，乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲 家庭回答正确这道题的概率是子，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是立，乙、丙两个家庭都 回答正确的概率是？，若各家庭回答是否正确互不影响。 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率： (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率。 107 18.(17分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市： 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 1 3 2 8 购买基金： 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 P 1 q 1)当p=时，求g的值： (2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于号，求力的取值范围。 19.(17分)为保障食品安全，某地食品安全监管部门对管辖区内甲、乙两家食品企业进行检查， 分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键 质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 [15,20) [20.25) [25,30) [30.35) [35,40) [40,45] 等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品 根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表. 频率 组距 质量指标值 频数 0.080f- [15,20) 2 [20,25) 18 [25,30) 48 0.042 [30,35) 14 0.028 16 0.022 [35,40) 0.020 [40,45] 2 0人5202530354045质量标值 合计 100 (1)现从甲企业生产的产品中任取1件，试估计该件产品为次品的概率： (2)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动.已知乙企业从样本的次品中 随机抽取了2件进行分析，求这2件次品中恰有1件质量指标值在[40,45]内的概率： (3)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较 108 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 章末综合检测卷 姓名 准考证号 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码： 涂 ■ 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体 样 错误填涂 事 工整，笔迹清楚： 例 刀☒】 口一 项3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1L.[A][B][C][DJ 4.[A][B][C][D 7.[A][B][C][DJ 2.[A][B][C][DJ 5.[A][B][C][DJ 8.[A][BJ[C]D] 3.[A][B][C[D] 6.[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.[A][BJ[C][D] 10.[A][B[C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 109 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -110- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -111 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 112-PABC)=P(A)P(B)P(C)=（1-)×(-号)X (1-0.62)×0.62=0.2304. 所以乙晋级复赛的概率为P2=0.3024十0.2304=0.5328， (-)=品 因为P2>P1,所以乙更容易晋级复赛。 :事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三 章末综合检测卷 人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， PMw=1-品-器 1.D概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之 一，每一次发生都是随机的， 17.【解】(1)设元件a,b,c正常工作分别为事件A,B,C, 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生 则A,B,C相互独立且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)= 1次 0.8. 故选：D. 故P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.6×0.8=0.24, 2.BA=A1UA2UA3表示击中1发或2发或3发，即至 P2=P(A·(B+C)=P(A)[1-P(BC)]=0.5X(1 少击中1发 0.4×0.2)=0.46. 故选：B. (2)P(A)=P(B)=P(C)=p, 3.A甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场輸且第 P=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=, 二场赢。甲第一扬赢的概率为，甲第一场输第二场赢的 P2=P(A·(B+C)=P(A)[1-P(C)]=p[1-(1-p)2] =-pm2p,P1-P2=p3-p[1-(1-p)2]=2p3-2p2= 概率为号×(1-）=子，故甲藏得冠军的概率为2十 2p2(p-1). 0<p<1.P1-P2<0,.P1<P2 1=3故选A 44 18.【解】(1)样本中体质健康等级是合格的学生人数为 4.C3封内容不同的信分别为A,B,C,对应的3个信封分别 5十2十4十4十8十11=34，样本总数为20+20=40， 为a,b,c,全部情况为{A一a,B-b,C-c,{A-a,B一c,C 这名学生体质健康等级是合格的概率为器品 b),(A-6,B-a.C-c),(A-6,B-c,C-a),(A-c,B-6, C-a},{A一c,B一a,C-b},共6种情况，故全部装错的 (2)设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健 情况为{A-b,B-c,C-a},或{A-c,B-a.C-b),共2 康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一 51 人，其体质健康等级是优秀”，则P(A)=204 补，故金部装错的概率为号-司 故选：C. PB)=易-0 5.A由题意样本空间2=(11,12,13,14,21,22,23,24， 31,32,33,34,41,42,43,44}, :A,B为相互独立事件， A1={21,22,23,24,41,42,43,44,A2=(31.32,33,34}, ∴.所求概率为PAB+AB)=P(AB)+PAB)= A3={14,23,32,41},A4={34,43}, PA0-PrB]Hi-NPBD-×品+X品器 对于A由古共概率挺率公式可知P(A)-是-之PCA) 19.【解】(1)对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,其 中甲能答对的4个问题的编号为a,b,c,d, 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两 则P(A1A3)=P(A1)P(A3),故A1与A3为相互独立 个题的情况为： 事件，正确： ab,ac,ad,ae.bc,bd,be,cdl,ce,dde,共10种， 其中得0分的情况有：ae,be,ce,de4种， 对于CP)-音-PA)-品-gPA) 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为品=0,4： 则P(A2A1)≠P(A2)P(A:), 故A2与A:不是相互独立事件，错误： (2)甲晋级复赛分两种情况： 对于B:当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：1一 的卡片上的数字为4时， 0.4)×[1-(1-0.4)2]=0.384. 事件A2与A,同时发生，故两个事件不是互斥事件， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：0.4×0.4 错误； =0.064, 对于D:因为A3∩A=☑，AgUA,≠2，所以A3与A不 所以甲晋级复赛的概率为P1=0.384+0.064=0.448: 是对立事件，错误。 乙晋级复赛分两种情况： 故选：A 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为： 0.62×[1-(1-0.6)2]=0.3024 6.D根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为2 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为： 假设两人继续进行比赛， 146 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五 11.AC由题图知，在50名参加测试的女同学中，指标 局甲藏， 0<x<0.6的有15人，故A错误：从50名女同学中随机 选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为P5日 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， ,故B正确：由题图知，参加测试的男同学中，“具备一 3 定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有26人，故C 则甲应该戟得金币是×360=270枚，乙应孩皎得金币} 错误：由题图知，“不具备明显艺术发展潜质却为中级或 高级水平”的男同学共有6人，其中“中级水平”有3人， ×360=90枚， 分别记为A1,A2,A3,“高级水平”有3人，分别记为B1, 故选：D. B2,B3,则任选2名的样本空间Q=《(A1,A2),(A1, 7.B记3只测量过某项指标的兔子分别为A,B,C,另2只 A3),(A1,B),(A,B2,),(A1,B),(A2Ag),(A2,B) 兔子分别为a,b,从这5只兔子中随机取出3只，则样本 (A2,B2),(A2,B),(A,B),(A,B2),(Ag,B3),(B1,B2） 点共有10个，分别为(A,B,C),(A,B,a),(A,B,b),(A, (B1,B3),(B2,B3)},共有15个样本点，设事件C=“两 C,a),(A,C,b),(Aa,b),(B,C,a),(B,C,b),(B,a,b), 人均为高级水平”，则C={(B,B2),(B1,B3),(B2,B3)}, (C,a,b),其中“恰有2只测量过该指标”的样本点有6 个，分别为(A,B,a),(A.B.b),(A,C,a)(A,C,b), MO=3PO=8=是-日故D正确，益选AC (BCa.B,C6,因光所求的能率为号-是长选B 12.有效若此药无效，则12头牛都不患病的概率为(1 0.25)2≈0.032，这个概率很小，故该事件基本上不会发 8.C1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4 生，此药有效 =7, 2 从五个活动中选三个的情况有： 2+1=3,3+1=4,4+1=5,3+2=5,4+2=6,4+3=7, ABC.ABD.ABE.ACD.ACE.ADE.BCD.BCE.BDE. P(甲)=P(乙)=P(丙)=日P(T)=名 CDE,共10种情况， P(甲乙)=0.P甲丙)=日P(甲T)=gP(两T)=0: 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD, ACE,ADE. 对于AP(甲)p(乙)=号×号=≠P(甲乙)=0，故 则甲选到A得祝岸为：P=品=号 A错误： 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD, 对于B调为P(甲)P(两)=号×言-2≠P(甲两) ACE,ADE, 其中再选择B有3种可能性：ABC,ABD,ABE, 合故B错误： 故乙选了A活动，他再选择B活动的能率为号- 对于C.P(甲)P(T)=×号日-P(甲T)=合故 故答案为：：时 C正确： 记事件A=“两人在自主传球环节得分之和为 对于DP(丙)P(T)=吉×号-高≠P(丙T)=0,故 号号 2分”，B,=“甲在自主传球环节得i分”(i=0,2),C,= D错误. “乙在自主传球环节得j分”(=0,2)， 故选：C 由题意可知，B,与C,相互独立，且A一(BC2)U 9.ABC本题考查概率的意义和正五边形的性质，根据正 (B2Co),事件BC2与B2Co互斥， 五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是 等腰三角形，事件A是必然事件，故选ABC 故PA)=1-p)+D=品解得D=号 10.ABC2=“点数为2”，C3=“点数为3”，E1=“点数不大 记事件D=“·梦队’在比赛中得分不低于6分”，E。 于3”=“点数为1,2,3”，E2=“点数大于3”=“点数为4， “甲在自主投篮环节得k分”(k=0,2),F,=“乙在自主投 5,6”,E3=“点数大于4”=“点数为5,6”，F=“点数为奇 篮环节得1分“"(1=0,2)， 效”=“点数为1,3,5”，G=“点数为偏数”=“点数为2， 由题意可知B,C,E,F相互独立， 4,6” D=(BoE2C2F2)U(B2 EC2F2)U(B2 E2CoF2)U E1UE2UE3=“点数为1,2,3,4,5,6”，∴.F≠E1UE2 (B2 E2C2Fo)U(B2 E2C2F2). UE3,故A错误：：C2∩C8=☑，且C2UCg=“点数为 且事件BaE2C2F2,B2EoC2F2,B2E2CoF2,B2E2C2Fo, 2,3”,.C2,C3为互斥事件，故B错误：E二E,故C B2E2C2F2两两互斥， 正确： 则PD-×是×号×号+x×号×号+× 4 EUE2=“点数为1,2,3,4,5,6”，E1∩E2=☑， E1,E2为对立事件，故D正确.故选AB. ××号+是×是×号×号+××号×号 147 篇号 故答案为：号导 有1个家庭回答正确的概率为： 15.【解】(1)记事件A为“裸眼视力在0.6以下”，事件B为 P=PABC+ABC+ABC0)=子×号×号+×专 “裸眼视力在[0.6,1.0)内”，事件C为“裸眼视力不足1.0”. :A,B为互斥事件， PC05. 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为： P=1-R-R=1六员-是 ,∴.这个学校的学生需要配镜或治疗的概率约为0.65. (2)记事件D为“裸眼视力达到1.0及以上”，则事件C 18.【解】(1)，“购买基金”的投资结果只有“获利20%” 与事件D为对立事件. “不賠不赚”“亏损10%”三种，且三种投资结果相互独 主p叶日+q=1.又=子g-品 5 .P(D)=1-P(C)=1-0.65=0.35. ,.这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率约 (2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买 为0.35. 基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一 16.【解】(1)依题意， 人投资获利”， 1 1 3mn=24 则C=ABUABUAB,且A,B相互独立 释1--m(1-吉）1-)= 由道意可知PA)=子，P(B)=p, m>n ∴P(C=PAB)+P(AB)+PAB)=合XI-p)+ m一2 1 解得 1 n一4 5b>3 5 (2)设该新生在社团方面获得校本远修学分的分数为 X,获得校本选修学分分数不低于4分为事件A, 又p+号+9=1g≥0号 则Px=)=号×号×}- PX=5=×专× 19.【解】(1)由频率分布直方图得(a十0.028+0.080+ 0.042+0.022+0.020)×5=1,解得a=0.008, PX==x号×式 ,甲企业的样本中次品的频率为(0.008+0.020)×5 0.14. 故PA-+动+员-后 故从甲企业生产的产品中任取1件，可估计该件产品是 次品的概率约为0.14. 17.【解】(1)由于甲家庭回答正确这道题的概率是子，甲、 (2)记“从乙企业样本的次品中任取2件产品，恰有1件 产品的质量指标值在[40,45]内”为事件M, 丙两个家度都回答错误的概率是立·乙、丙两个家庭都 记质量指标值在[15,20)内的2件产品分别为A1,A2, 回答正确的概牵是行 质量指标值在[40,45]内的2件产品分别为B1,B2, 从乙企业样本的次品中任取2件产品，则样本空间Ω 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道題” {(A1A2),(A1·B1),(A1,B2）.(A2·B1),(A2,B2), “丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C, (B1,B2),共有6个样本点，M={(A1,B1),(A1 则P(A)=是PA·PO=bP(BPC)= 1 B:).(A2,B),(A2B2),n(M0=4P(Mn=nM n(2) 即[1-PA]·[1-P(C]=2P(B)·P(C)=3 1 音-号 所以PB=名PC0=号 (3)答案不唯一，如：以产品的合格率（非次品的占有率） 为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较， 所以乙，两两个家庭各自回答正确这道题的概率为司 由图表可知甲企业产品的合格率为(0.028+0.080+ 0042+0.02)×5=0.86,乙企业产品的合格率为0× (18+48+14+16)=0.96, (2)有0个家庭回答正骗的概率为： 由此估计乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合 P,=PABC)=PA)·P(B·PC)=}X号×号 格率， 认为乙企业生产的食品质量更高 148