6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 　 第六章 单元学习四　向量应用 学习目标 1.利用正弦、余弦定理求解三角形的面积. 2.会利用正弦、余弦定理求解平面几何问题，培养数学运算 的核心素养. 任务一　有关三角形面积的计算 1 任务二　求解平面几何问题 2 任务三　正弦、余弦定理的综合问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　有关三角形面积的计算 返回 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ______. 典例 1 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且 △ABC的面积为a2sin B，则cos B＝___. 由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B.由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 规律方法 求三角形面积的解题思路 　　在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式. 对点练1.(1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝ A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° √ 由面积公式S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的面积为______. 2 依题意sin A＝2sin Bcos C，由正弦定理得a＝2bcos C，2＝2×3×cos C，cos C＝＞0，所以0＜C＜，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为absin C＝×2×3×＝2. 返回 任务二　求解平面几何问题 返回 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； 解：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝， 解得sin ∠BCA＝. 典例 2 (2)若AD＝3AC，求AC. 解：设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝ ＝2x，sin ∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos ∠BAC＝sin ∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 规律方法 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 对点练2.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝. (1)求sin ∠BAD； 解：在△ADC中，因为cos ∠ADC＝， 所以sin ∠ADC＝， 所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝. (2)求的值. 解：在△ABD中，sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝ sin ∠ADC＝， 由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以AC＝7，所以＝. 返回 任务三　正弦、余弦定理的综合问题 返回 在△ABC中，c＝1，A＝，且△ABC的面积为. (1)求a的值； 解：由于c＝1，A＝， S△ABC＝bcsin A＝b·1·sin ＝，解得b＝2； 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，解得a＝. 典例 3 (2)若D为BC上一点，且__________，求sin ∠ADB的值. 从①AD＝1；②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 解：若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理＝， 即＝，所以sin B＝，因为AD＝AB， 所以sin∠ADB＝sin B＝； 若选②，则当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知， cos B＝＝＝， 因为∠DAB＝－＝，所以sin∠ADB＝cos B＝. 规律方法 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 　　正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键. 对点练3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； 解：由正弦定理可得＝，即＝，解得sin B＝. (2)求c的值； 解：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)求sin 的值. 解：由正弦定理可得＝，即＝，解得sin C＝， 而A＝120°，所以B，C都为锐角， 因此cos C＝＝，cos B＝＝. 故sin＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝－. 返回 课堂小结 任务再现 (1)利用正弦、余弦定理解三角形(含三角形面积).(2)利用正弦、余弦定理解平面几何问题.(3)正弦、余弦定理的综合应用 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形 随堂评价 返回 1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝ A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4 (舍去).故选A. 2.已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对的边长，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则 的值为 A. B.2 C. D. √ 因为A＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以＝×1·csin 60°，所以c＝4.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝1＋16－4＝13，a＝，所以由正弦定理得＝＝＝ .故选A. 3.(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 A. B.1 C. D. √ √ 因为AB＝，AC＝1，B＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，所以BC2－3BC＋2＝0，所以BC＝1或BC＝2.当BC＝1时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××1×＝，当BC＝2时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××2×＝.综上，S△ABC＝或S△ABC＝.故选AD. 4.(双空题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝___，b＋c＝__. 7 由已知及正弦定理可得2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，可得2cos Asin (B＋C)＝sin A，即2cos Asin A＝sin A. 又sin A≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝.由面积公式可得3＝bcsin A＝bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7. 返回 课时分层评价 返回 1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为 A.2 B.2 C.2－2 D.1 √ 由题设及正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A.又sin B≠0，所以tan A＝.又0＜A＜π，所以A＝，又b＝2，c＝2，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝16－12＝4，解得a＝2(负值舍去).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为 A. B.2 C.2 D.4 √ 由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，△ABC的面积为bcsin A＝×4×2×＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2A＋2sin2B＝2sin2(A＋B)＋3sin Asin B，则cos C＝ A.－ B. C.－ D. √ 2sin2A＋2sin2B＝2sin2(A＋B)＋3sin A·sin B＝2sin2C＋3sin Asin B，由正弦定理得2a2＋2b2＝2c2＋3ab，由余弦定理的推论得cos C＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于 A. B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接BD(图略).在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是 A.a2＝b2＋c2－2bccos A B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B D.acos B＋bcos C＝c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；对于B，根据正弦定理得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理得a＝bcos C＋ccos B⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin (B＋C)＝sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，又 sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，b＝，ccos A＋acos C＝2bcos B，则 A.B＝ B.C＝ C.c＝ D.S△ABC＝ √ √ 对于A，ccos A＋acos C＝2bcos B，由正弦定理得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin Bcos B，即sin (A＋C)＝2sin Bcos B，所以sin B＝2sin Bcos B.因为B∈(0，π)，所以 sin B≠0，所以cos B＝，故B＝，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，根据正弦定理＝＝，则sin A＝.因为A∈，所以A＝，所以C＝π－－＝，故B错误；对于C，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得3＝2＋c2－2c×，解得c＝或c＝(舍去)，故C错误；对于D，S△ABC＝acsin B＝×××＝，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝____. 6 因为asin A－bsin B＝4csin C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论得cos A＝＝＝＝－，所以＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，则＝____. 2 设△ABC的外接圆的半径为R，则根据正弦定理可知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以＝＝2R.又＝＝＝2＝2R，所以＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝___. 1 因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A.所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.所以cos A＝.所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a. (1)求角B； 解：因为(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a，所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 因为0＜B＜π，所以B＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值. 解：因为c＝4，△ABC的面积为3， 所以acsin B＝3， 即×4a×＝3，解得a＝3. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝(负值舍去)， 所以cos C＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为 A.8＋ B.9＋ C.10＋ D.14 √ 由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4.根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为S1，S2，S3，且S1－S2＋S3＝，若b＝c，cos C＝，则△ABC的面积为 A. B. C. D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为S1＝a2sin ＝a2，同理可得S2＝b2，S3＝c2，所以S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝，所以a2＋c2－b2＝2①.因为cos C＝＝，所以a2＋b2－c2＝②.因为b＝c③，所以联立①②③可得a＝，b＝，c＝.因为cos C＝，所以C为锐角，且sin C＝＝.所以S△ABC＝absin C＝×××＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＋ asin B＝0，b＝c，则＝____. 由bsin 2A＋asin B＝0，结合正弦定理，可得sin Bsin 2A＋sin Asin B＝0，即2sin Bsin Acos A＋sin Asin B＝0.由于sin Bsin A≠0，所以cos A＝－.因为0＜A＜π，所以A＝.又b＝c，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝3c2＋c2＋3c2＝7c2，即a2＝7c2，所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，D为BC上一点，CD＝，BD＝4，且∠BAD＝90°. (1)求的值； 解：如图所示，因为∠BAC＝120°，∠BAD＝90°， 所以∠CAD＝30°. 在△ACD中，＝，所以AC＝2sin ∠ADC＝ 2sin ∠ADB. 在Rt△ABD中，sin ∠ADB＝， 所以AB＝4sin ∠ADB. 故＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求△ACD的面积. 解：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos ∠BAC，即(5)2＝AC2＋(2AC)2－4AC2cos 120°，解得AC＝5，则AB＝10. 在Rt△ABD中，AD＝＝2. 故△ACD的面积为AC·ADsin ∠CAD＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为 A.4 B.6 C.8 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A.在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C.因为A＋C＝180°，所以20－16cos A＝52＋48cos A，解得cos A＝－，所以A＝120°，C＝60°.所以S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C. (1)试确定△ABC的形状； 解：在△ABC中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得sin A＝，sin B＝， sin C＝， 代入＝，得＝， 所以b2－a2＝ab.① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C， 所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C， 所以sin Asin B＝sin2C. 由正弦定理得·＝，所以ab＝c2.② 把②代入①得b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2. 所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求的取值范围. 解：由(1)知B＝，所以A＋C＝， 所以C＝－A，所以sin C＝sin ＝cos A. 根据正弦定理得＝＝sin A＋cos A＝sin . 因为ac＜ab＝c2，所以a＜c， 所以0＜A＜，所以＜A＋＜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＜sin ＜1， 所以1＜sin ＜， 即的取值范围是(1，). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $