17、6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 　 第六章　6．4　6．4.3　余弦定理、正弦定理 学习目标 1.利用正弦、余弦定理求解三角形的面积．　 2.会利用正弦、余弦定理求解平面几何问题，培养数学运算核心素养． 应用一　有关三角形面积的计算 1 应用二　求解平面几何问题 2 应用三　正弦、余弦定理的综合问题 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 应用一　有关三角形面积的计算 返回 例1 (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________． 规律方法 求三角形面积的解题思路 对点练1．(1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为 ，则B＝ A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° √ (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，则△ABC的面积为________． 返回 应用二　求解平面几何问题 返回 例2 (2)若AD＝3AC，求AC. 规律方法 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．　　 (1)求sin ∠BAD； 返回 应用三　正弦、余弦定理的综合问题 返回 例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ a cos B． (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解：因为sin C＝2sin A，所以由正弦定理，得c＝2a， 规律方法 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　　 对点练3．(2023·天津卷) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝ ，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； 解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)求sin 的值． 返回 课堂小结 知识 (1)利用正弦、余弦定理解三角形．(2)利用正弦、余弦定理解平面几何问题．(3)正弦、余弦定理的综合应用． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 随堂演练 返回 √ √ 3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝________． 返回 7 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．6 B．5 C．4 D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是 A．a2＝b2＋c2－2bc cos A B．a sin B＝b sin A C．a＝b cos C＋c cos B D．a cos B＋b cos C＝c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正确；对于B，根据正弦定理，可得a sin B＝b sin A⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B⇒sin A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得，sin A cos B＋sin B cos C＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin B cos C＝cos A sin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确．故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝60°，c＝ ，则△ABC的面积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，B＝ ，则AC边上的高为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a. (1)求角B；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．已知△ABC，则“cos2A＋cos2B－cos2C>1”是“△ABC为钝角三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(11分)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍． (1)求 的值；(5分) 由题意有S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，故有AB＝2AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长．(6分) 解：因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ . 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得： AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，① AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC.② 由①②式得AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 又由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)试确定△ABC的形状；(7分) 解：在△ABC中，设其外接圆半径为R， 所以b2－a2＝ab.① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C， 所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C， 所以sinAsin B＝sin2C. 把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2. 所以△ABC是直角三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求 的取值范围．(7分) 因为ac<ab＝c2，所以a<c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).所以S△ABC＝ac sin B＝×5×3sin 120°＝. 由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 在应用三角形面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．　　 由面积公式S△ABC＝ac sin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. 2 依题意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0<C<，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为ab sinC＝×2×3×＝2. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； 解：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin ∠BCA＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos ∠BAC＝sin ∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 解：设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x， sin ∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠BAC＝＝. 对点练2．如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝. 解：在△ADC中，因为cos ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝，所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－B)＝sin ∠ADC cos B－cos ∠ADC sin B＝×－×＝. 所以AC＝7，所以＝. (2)求的值． 解：在△ABD中，sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC＝，由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49， 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝，所以B＝. 解：因为b sin A＝a cos B， 所以由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B． 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，解得a＝，所以c＝2a＝2. 解：由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin B＝. 解：由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即39＝4＋c2－2×2×c×， 故sin ＝sin B cos C－cos B sin C＝×－×＝－. 解：由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin C＝，而A＝120°， 所以B，C都为锐角，因此cos C＝＝，cos B＝＝， 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为 A．2 B． C． D． 由题意可知，a＝，b＝4，C＝，所以S△ABC＝ab sin C＝××4×＝.故选B. 2．在△ABC中，sin2A＝sinB sin C，若A＝，则B＝ A． B． C． D． 因为sin2A＝sinB sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C. 由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝. 由已知及正弦定理可得，2cos A(sin B cos C＋sin C cos B)＝sin A，可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，即2cos A sin A＝sin A，又sin A≠0，所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.由面积公式可得3＝bc sin A＝bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(b cos C＋c cos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________． 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为 A． B．2 C．2 D．4 由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，△ABC的面积为bc sin A＝×4×2×＝2.故选B. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝ A． B． C． D． 由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝ab sin C＝＝ab cos C，可得sin C＝cos C，因为C∈(0，π)，所以C＝.故选A. 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝ 因为a sin A－b sin B＝4c sin C，所以由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，所以＝6.故选A. A． B．5 C．6 D．7 连接BD(图略).在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以 S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.故选B. 5．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 A． B．1 C． D． 因为AB＝，AC＝1，B＝，又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，所以BC2－3BC＋2＝0，所以BC＝1或BC＝2，因为S△ABC＝·AB·BC·sin B，所以S△ABC＝或S△ABC＝.故选AD. 由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝.又c<a，所以C<A，且0°<C<180°，所以C＝30°，故B＝90°，所以S＝ac＝×1×＝. 在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×＝7，解得b＝(负值舍去)，设AC边上的高为h，则S△ABC＝ac sin B＝h·b，即×2×3×sin ＝h×，解得h＝. 9．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝________． 因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bc sin A＝sin A，所以sin A＝cos A．所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.所以cosA＝.所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1. 解：因为(c－b)(sin B＋sin C)＝(sin C－sin A)a，所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 因为0<B<π，所以B＝. 即×4a×＝3，解得a＝3. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝(负值舍去)， 所以cos C＝＝＝. (2)若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值．(5分) 解：因为c＝4，△ABC的面积为3， 所以ac sin B＝3， 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为 A．8＋ B．9＋ C．10＋ D．14 由题意及三角形的面积公式，得ab sin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋.故选B. 因为cos2A＋cos2B－cos2C>1，故1－sin2A＋1－sin2B－1＋sin2C>1，故sin2C>sin2A＋sin2B，故c2>a2＋b2，故cosC＝<0，而C为三角形内角，故C为钝角，但若△ABC为钝角三角形，比如取C＝B＝，A＝，此时cos2A＋cos2B－cos2C＝<1，故cos2A＋cos2B－cos2C>1不成立．故选A. 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin2A＋a sin B＝0，b＝c，则＝______. 由b sin 2A＋a sin B＝0，结合正弦定理，可得sin B sin 2A＋sin A sin B＝0，即2sin Bsin Acos A＋sin A sin B＝0，由于sin B sin A≠0，所以cos A＝－，因为0<A<π，所以A＝.又b＝c，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝3c2＋c2＋3c2＝7c2，即a2＝7c2，所以＝. 解：由三角形的面积公式及正弦定理得S△ABD＝AB·AD sin ∠BAD，S△ADC＝AC·AD sin ∠CAD. 由正弦定理可得＝＝. A．4 B．6 C．8 D．10 如图，在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，因为A＋C＝180°，所以20－16cos A＝52＋48cos A，解得cos A＝－，所以A＝120°，C＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.故选C. 代入＝，得＝， 16．(14分)在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C. 根据正弦定理得，sin A＝，sin B＝， sin C＝， 由正弦定理，得·＝，所以ab＝c2.② 根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin . 所以0＜A＜，所以＜A＋＜. 所以＜sin <1， 解：由(1)知B＝，所以A＋C＝， 所以C＝－A，所以sinC＝sin ＝cos A. 所以1＜sin <， 即的取值范围是(1，). $$