6.4.3 第2课时 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 　 第六章 单元学习四　向量应用 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形 解的个数问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 任务一　正弦定理 1 任务二　三角形解的个数的判断 2 任务三　利用正弦定理判断三角形的形状 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　正弦定理 返回 (阅读教材P45—46，完成问题1、2) 问题1.在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 提示：成立.证明如下：(1)如图所示，在锐角△ABC中， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与－A， j与－C.因为＋＝，所以j·(＋)＝j·.由分配律，得j·＋j·＝j·，即｜j｜｜｜cos ＋｜j｜｜｜cos ＝｜j｜｜｜cos ，也即asin C＝csin A，所以＝.同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得＝.因此＝＝. 问题导思 (2)当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A－，j与－C，仿照上述方法，同样可得＝＝. 问题2.在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 提示：观察右图，无论怎么移动B'，都会有角B'＝B，所 以在△AB'C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB'C 外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝ ＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 1.正弦定理的表示 (1)文字表述：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. (2)公式表达：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 新知构建 正弦 2.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝________； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝＝＝2R； (5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 2Rsin C 典例 1 角度1　已知两角及任意一边解三角形 (链接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解此三角形. 解：因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2(＋). 规律方法 已知两角一边解三角形的步骤 1.根据三角形内角和等于180°求第三角. 2.利用已知边及正弦定理求另外两边. 对点练1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，cos B＝，则b＝ A. B.1 C.2 D.2 √ 因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝，由正弦定理＝，即＝，解得b＝1.故选B. 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 (链接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形. 解：由正弦定理＝，知sin A＝＝. 因为b＜a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 典例 2 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 变式探究 (变条件)若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形. 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝. 因为b＜a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 规律方法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 1.利用正弦定理求另一边对角的正弦，根据边的大小确定该角是锐角还是钝角，并求出该角，如果不确定，则分两种情况. 2.根据三角形的内角和等于180°求第三个角. 3.利用正弦定理求第三边. [注意]　三角形中“大边对大角，小边对小角”. 对点练2.(一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，求b的值. 解：法一：由正弦定理，得sin C＝＝×＝. 因为C∈(0，π)，c＞a，所以C＝或C＝. 当C＝时，B＝，所以b＝＝＝2； 当C＝时，A＝B＝，所以b＝a＝1. 综上，b＝2或1. 法二：在△ABC中，因为a＝1，c＝，A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即1＝b2＋3－2b×cos ，可得b2－3b＋2＝0，解得b＝1或2. 返回 任务二　三角形解的个数的判断 返回 (1)(多选)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 A.a＝1，b＝，B＝45° B.a＝，b＝，A＝30° C.a＝6，b＝20，A＝30° D.a＝5，B＝60°，C＝45° √ 典例 3 √ 对于A，由正弦定理得sin A＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A，即0°＜A＜45°，所以A＝30°，则三角形有唯一解，故A正确；对于B，由正弦定理得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A，即30°＜B＜150°，所以B＝60°或B＝120°，则三角形有两解，故B错误；对于C，由正弦定理得sin B＝＝＝，无解，故C错误；对于D，当三角形的两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，故D正确.故选AD. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝m，b＝4，A＝，若该三角形有两解，则实数m的取值范围为__________. (2，4) 要使三角形有两解，只需bsin A＜a＜b，即4sin ＜m＜4，解得2＜m＜4，故实数m的取值范围为(2，4). 规律方法 判断三角形解的个数的方法 　　在解三角形的过程中会出现两解、一解和无解的情况.在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，则此弧与除去顶点A的射线AB的公共点个数即为三角形解的个数，具体情况如下表： 规律方法   A为锐角 A为钝角或直角 图形           关系式 (1)a＝bsin A (2)a≥b bsin A＜a＜b a＜bsin A a＞b a≤b 解的情况 一解 两解 无解 一解 无解 对点练3.(1)(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 对于A，因为＝，所以sin B＝＝1，所以B＝90°，即只有一解；对于B，因为sin C＝＝＞，且c＞b，所以C＞B，故有两解；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，所以b＝＝＝，故有一解；对于D，因为＝，所以sin B＝＝＜，又b＜a，所以有一解.故选ABD. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，B＝30°，则使此三角形有唯一解的b的取值范围是____________________. {b｜b＝3，或b≥6} 由正弦定理得sin A＝＝，此三角形有唯一解时，A只有一个，此时＝1或所以b＝3或b≥6. 返回 任务三　利用正弦定理判断三角形的形状 返回 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC一定为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 √ 典例 4 由＝＝⇒a2＝b2.因为a和b都是正数，所以a＝b，故△ABC为等腰三角形，又无法判断三个内角的大小.故选C. (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 √ 由bcos C＋ccos B＝asin A及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，即sin (B＋C)＝sin Asin A，即sin A＝sin2A.因为A∈(0，π)，所以sin A＝1，故A＝，故△ABC为直角三角形.故选B. 规律方法 判断三角形形状的两条途径 1.化边为角：将三角等式利用正弦定理、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换得到三个内角的关系式，进而确定三角形的形状. 2.化角为边：将三角等式利用正弦定理、余弦定理的推论化角为边，利用代数恒等变换(分解因式、配方等)得到边的关系式，进而确定三角形的形状. 注意 当等式两边出现公因式时，不要直接约去，应移项、提取公因式，以免漏解. 对点练4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且sin2C＝sin Asin B，那么△ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰且非等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理的推论得cos C＝＝.又0°＜C＜180°，所以C＝60°.由正弦定理及sin2C＝sin Asin B得c2＝ab，所以a2＋b2－2ab＝0，整理得a＝b，所以△ABC是等边三角形.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 (1)正弦定理.(2)正弦定理的变形.(3)利用正弦定理解三角形.(4)三角形解的个数的判断 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论 随堂评价 返回 1.在△ABC中，B＝45°，a＝6，b＝2，则A＝ A.60° B.60°或120° C.120° D.45°或135° √ 由正弦定理＝＝，则sin A＝.因为a＞b，所以A＞B，所以A＝60°或A＝120°.故选B. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝30°，a＝3，b＝4，则满足条件的三角形有 A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 √ 因为A＝30°，a＝3，b＝4，bsin A＝4×＝2，所以bsin A＜a＜b，所以满足条件的三角形有2个.故选C. 3.(多选)在△ABC中，下列式子与的值相等的是 A. B. C. D. √ √ 由正弦定理可知C符合题意.设＝＝＝k，则＝＝k，故A符合题意.故选AC. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝sin2B＋sin2C，B＝45°，则△ABC的形状为__________________. 等腰直角三角形 因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以由正弦定理得a2＝b2＋c2，所以A＝90°，B＋C＝90°.因为B＝45°，所以C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 返回 课时分层评价 返回 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，sin B＝，b＝2，则a＝ A. B. C. D. √ 由正弦定理得a＝·sin A＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，B＝，则C＝ A. B. C. D. √ 根据正弦定理得sin A＝＝，因为A∈，所以A＝，所以C＝π－B－A＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bcsin A＝8sin B，a＝2，则b＝ A.4 B.2 C.2 D.2 √ 因为bcsin A＝8sin B，所以abc＝8b，即ac＝8.又a＝2，所以c＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，从而b＝＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＝c，则△ABC一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为acos B＝c，所以由正弦定理得sin Acos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Asin B＝0.因为sin B＞0，所以cos A＝0.又因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形.又无法判断是不是等腰三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是 A.当k＝5时，△ABC是直角三角形 B.当k＝3时，△ABC是锐角三角形 C.当k＝2时，△ABC是钝角三角形 D.当k＝1时，△ABC是钝角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5，b＝3，c＝4，a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形；对于B，当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3，b＝3，c＝4，显然△ABC是等腰三角形，且c为最大角，a2＋b2－c2＝9＋9－16＝2＞0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2，b＝3，c＝4，可得a2＋b2－c2＝4＋9－16＝－3＜0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形；对于D，当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝1，b＝3，c＝4，此时a＋b＝c，不能构成三角形，故结论错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确 的有 A.A∶B∶C＝a∶b∶c B.＝ C.若A＞B，则a＞b D.若A＞B，则sin A＞sin B √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A错误；设＝＝＝k，则＝＝k＝，故B正确；在三角形中，大角对大边，故C正确；若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝，得sin A＞sin B，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝__________. 3∶5∶7 由a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，得a＝c，b＝c，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝c∶c∶c＝3∶5∶7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝_______. 或 由正弦定理，得sin A＝＝＝.又A∈(0，π)，a＞b，所以A＞B，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝，若△ABC有两解，则b的取值范围是________. (4，8) 要使△ABC有两个解，则csin B＜b＜c，即8sin ＜b＜8，解得4＜b＜8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形. 解：由正弦定理，得sin C＝＝＝. 因为0°＜C＜180°，且c＞a，所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，sin B＝，由正弦定理得b＝＝＋1. 当C＝120°时，B＝15°，sin B＝，由正弦定理得b＝＝－1. 所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的有 A.若b＝19，A＝45°，C＝30°，则三角形有两解 B.若a＝，b＝2，A＝45°，则三角形有两解 C.若a＝3，b＝2，A＝45°，则三角形只有一解 D.若a＝7，b＝7，A＝75°，则三角形只有一解 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由正弦定理＝＝，得a＝，c＝，显然有唯一结果，即三角形只有一解，故A错误；对于B，由正弦定理得sin B＝＝＝＞1，无解，故B错误；对于C，由a＞b，得B＜A＝45°，由正弦定理得sin B＝＝＝＜1，三角形有唯一解，故C正确；对于D，由a＝b，得B＝A＝75°，此时C＝30°，三角形有唯一解，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的有 A.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 C.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D.若acos B－bcos A＝c，则△ABC一定为直角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c，因为B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，则sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，又A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，因为sin C＝sin (π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin Acos B－sin Bcos A＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos A＝0，又因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝0，即A＝，所以△ABC为直角三角形，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是__________(填序号). ①sin A＞sin B； ②cos A＜cos B； ③sin A＋sin B＞cos A＋cos B. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，故①成立；函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，因为A＞B，所以cos A＜cos B，故②成立；在锐角三角形中，因为A＋B＞，所以0＜－B＜A＜.又函数y＝sin x在区间上单调递增，则sin A＞sin (－B)，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，所以sin A＋sin B＞cos A＋cos B，故③成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由A－C＝90°，得A为钝角，且A－90°＝C， 所以cos (A－90°)＝cos C，即sin A＝cos C. 由a＋c＝b及正弦定理，得sin A＋sin C＝sin B， 所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin (C＋45°)＝sin B. 又角A，B，C是△ABC的内角，所以C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去). 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＜，c＝bsin C，则cos (A－C)的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABC中，因为c＝bsin C，所以sin C＝sin Bsin C.因为sin C≠0，所以sin B＝.因为0＜B＜，所以B＝，即A＋C＝.所以A－C＝A－＝2A－.根据条件得0＜A＜，所以－＜2A－＜，所以－＜cos (2A－)≤1，即－＜cos (A－C)≤1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且＝. (1)求角A的大小； 解：由＝＝，整理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝， 因为0°＜A＜180°，故得A＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若sin Bsin C＝，bc＝2，求边a. 解：由sin Bsin C＝，bc＝2可得＝＝8. 又由正弦定理＝＝ 可得，＝＝8. 由(1)知A＝60°，代入解得a＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $