6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 　 第六章 单元学习四　向量应用 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养逻辑 推理及数学运算的核心素养. 任务一　余弦定理 1 任务二　解三角形 2 任务三　利用余弦定理判断三角形的形状 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　余弦定理 返回 (阅读教材P42－43，完成问题1、2) 问题1.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜，联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 问题导思 由①得｜c｜2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2｜a｜ ｜b｜cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B. 问题2.在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例. 新知构建 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝_________________； c2＝___________________ c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C (1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一.(4)定理特例：当夹角为90°时(例如A＝90°)，定理变为b2＋c2＝a2，这就是勾股定理.所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. 微提醒 (链接教材P43例5)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，求c，A. 解：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋9－2×2×3×＝3， 所以c＝. 所以cos A＝＝＝0， 所以A＝90°. 典例 1 规律方法 已知△ABC的两边及其夹角时，可直接利用余弦定理求第三边 的长. 对点练1.在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值. 解：由余弦定理，得cos B＝， 则＝， 得a2＋c2＝ac＋4，由a＋c＝6， 得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. 返回 任务二　解三角形 返回 (阅读教材P43，完成问题3) 问题3.在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 问题导思 1.余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝，cos B＝，cos C＝_________. 2.解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的______. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________. 新知构建 元素 解三角形 角度1　已知三角形的两边及一角解三角形 (1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，cos A＝，则BC＝ A.1 B. C. D. √ 典例 1 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝，则BC＝.故选D. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，b＝3，c＝5，sin A＝，则cos B＝____. 由A为锐角，且sin A＝，得cos A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋52－2×3×5×＝16，所以a＝4.由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 规律方法 已知三角形的两边及一角，用余弦定理求第三边的方法 1.当该角为已知两边的夹角时，可以直接用余弦定理求第三边. 2.当该角为已知两边的其中一边的对角时，可根据余弦定理列出方程求解第三边，要注意根据边长为正及大边对大角等因素来取舍方程的根. 对点练2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中b＝2，c＝2，C＝60°，解这个三角形. 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得(2)2＝a2＋22－2×a×2×，化简得a2－2a－8＝0，解得a＝4(负值舍去). 由余弦定理的推论cos A＝，得cos A＝0. 因为在△ABC中，A∈(0，π)，所以A＝90°，所以B＝90°－60°＝30°. 角度2　已知三角形的三边解三角形 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b ＝4，c＝，则C＝___. 典例 3 cos C＝＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，b＝2，c＝＋，解此三角形. 由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝60°. cos B＝＝ ＝. 又B∈(0，π)，所以B＝45°， 所以C＝180°－A－B＝75°. 规律方法 　　若已知三角形的三边，则直接代入余弦定理的推论求解；若已知三角形三边的比例关系，则利用比例的性质引入k，转化为已知三边求解. 对点练3.(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝ 6，b＝7，c＝5，则sin C＝_____. 由余弦定理的推论得cos C＝＝.因为0＜C＜π，所以sin C＝＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝ 3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为____. 已知在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，易知C为最大角，由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝，即此三角形中的最大角的大小为. 返回 任务三　利用余弦定理判断三角形的形状 返回 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝bccos A＋accos B＋abcos C，由此三角形必是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 √ 典例 4 由c2＝bccos A＋accos B＋abcos C及余弦定理的推论得c2＝bc×＋ac×＋ab×，即c2＝，整理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC必为直角三角形，无法判断是不是等腰三角形.故选B. 规律方法 1.判断三角形形状的两条思考路线 (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形的形状时的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2 ＞b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； (4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 对点练4.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 √ 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.故选D. 返回 课堂小结 任务再现 (1)余弦定理.(2)解三角形.(3)利用余弦定理判断三角形的形状 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 易忽略三角形中的隐含条件 随堂评价 返回 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝4，b＝3，C＝，则c＝ A. B.13 C. D.37 √ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，解得c＝(负值舍去).故选A. 2.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 √ c＝2acos B＝2a×＝，即c2＝a2＋c2－b2，即a2＝b2，可得a＝b，又无法判断c及三个内角的大小，所以△ABC为等腰三角形，故选D. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2＋ab，则C＝ A.30° B.60° C.120° D.150° √ 由a2＋b2＝c2＋ab，得a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理的推论得cos C＝＝＝.由0°＜C＜180°，得C＝30°.故选A. 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝ 4∶5∶7，则cos C＝_____. － 由a∶b∶c＝4∶5∶7，可设a＝4k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，由余弦定理的推论可得cos C＝＝－. 返回 课时分层评价 返回 1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 由余弦定理得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝，故a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形，A＝30°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，b＝4，c＝5，则a＝ A.6 B.7 C.8 D.4 √ 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋52－2×a×5×＝(4)2，即a2－6a－7＝0，解得a＝7或a＝－1(舍去).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝ A. B. C. D. √ 因为(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，所以a2＝c2＋b2＋bc，根据余弦定理a2＝c2＋b2－2bccos A，得cos A＝－.又因为A∈(0，π)，所以A＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝，则△ABC一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 √ 根据余弦定理的推论得bcos C＋ccos B＝b×＋c×＝＋＝a＝，所以a2＝b2＋c2，则A＝，故△ABC为直角三角形，无法判断是不是等腰三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 √ √ 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，a，b，c为三个内角A，B，C的对边，若tan B＝ac，则角B＝ A.30° B.60° C.150° D.120° √ √ 由题得tan B＝，根据余弦定理可知cos Btan B＝sin B＝，所以B＝60°或B＝120°.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边的长度为______. 2 设“圭田”的底边的长度为x，则由余弦定理可得x2＝42＋42－2×4×4×＝8，解得x＝2(负值舍去)，即该“圭田”的底边的长度为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2－c2＝2a2，cos B＝－，则＝____. 2 由b2－c2＝2a2及余弦定理的推论，得cos B＝＝＝＝－，所以＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝______. 由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0. (1)求A的大小； 解：因为cos A＝2cos2－1， 又2cos2＋cos A＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－， 又0°＜A＜180°， 所以A＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a＝2，b＝2，求c的值. 解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC一定是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.A＝30°的三角形 √ 因为sin2＝，所以＝－，所以cos A＝.由余弦定理的推论可得＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，又无法判断是不是等腰三角形，且无法判断A的大小.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为 A.2 B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，如图所示，在△ABD和△ADC中由余弦定理得：AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos ∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos ∠ADC.又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，DB＝DC，两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，即42＋62＝2AD2＋42＋42，所以2AD2＝20，所以AD＝.即△ABC的中线AD的长为.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是_________. (，5) 因为b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，所以cos A＝＞0，且cos C＝＞0，所以7＜a2＜25，所以 ＜a＜5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)证明：acos B＋bcos A＝c； 解：证明：由题意得acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝c，所以acos B＋bcos A＝c，得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长. 解：因为＝，所以2ccos A＝bcos A＋acos B， 结合(1)可知，2ccos A＝c，即cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝25＋c2－10c×，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(双空题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，a＝7，b＝5，若BC边上有一点D满足BD＝2DC，则c＝_______，AD＝ ______. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 在△ABC中，由余弦定理得72＝52＋c2－2×5×c×，化简得c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)，所以cos B＝＝＝.又BD＝2DC，所以BD＝a＝.在△ABD中，由余弦定理得AD2＝＋64－2××8×＝，解得AD＝(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为钝角，b＝2，cos 2A＋(4＋)sin (B＋C)＝2＋1，点P是△ABC的重心，且AP＝，求a的值. 解：在△ABC中，由cos 2A＋(4＋)sin (B＋C)＝2＋1，得1－2sin2A＋(4＋)sin A＝2＋1，整理得2sin2A－(4＋)sin A＋2＝0. 又0＜sin A≤1，所以sin A＝. 又A为钝角，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点P是△ABC的重心，得＝＋)，则＝＋＋ 2｜｜·｜｜cos ∠BAC)＝×＝×(c2＋4－2c)＝，所以c2－2c－24＝0. 而c＞0，所以c＝6，由余弦定理得a＝＝2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $